有限表示加群

同義語：有限表示的加群finitely presented modulemodule of finite presentation

概要

前提知識: 有限生成加群, 自由加群, 完全列

アーベル群 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は、2 つの生成元 $u,v$ と 2 つの関係式 $2u=0$、$6v=0$ で決まる。行列の言葉で言えば、$\mathbb{Z}^2$ から $\mathbb{Z}^2$ への行列 $\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}$ の余核である。有限表示加群とは、このように有限個の生成元と有限個の関係式で書ける加群、すなわち有限な大きさの行列の余核として書ける加群である。有限生成加群は生成元が有限個であることだけを求めるが、関係式まで有限個であることを求めると、加群は「有限個のデータから復元できる対象」になる。この強い有限性のおかげで、有限表示加群からの準同型は帰納極限や局所化と交換し、平坦性と射影性が一致する。Noether 環の上では有限生成と有限表示は同じだが、一般の環では異なり、Noether でない環を扱う代数幾何学（有限表示の射、連接層）ではこの区別が本質になる。

定義

以下、$R$ は単位元 $1$ をもつ可換環、加群は $R$ 加群、準同型は $R$ 線形写像を指す。$R^n$ は $R$ の $n$ 個の直和、$e_1,\dots,e_n$ はその標準基底である（$R^0=0$）。

有限表示加群

$R$ 加群 $M$ が 有限表示（finitely presented）であるとは、整数 $m,n\ge0$ と完全列
$$ R^m\xrightarrow{\ \partial\ }R^n\xrightarrow{\ \varphi\ }M\longrightarrow0 $$
があることをいう。すなわち、全射準同型 $\varphi\colon R^n\to M$ で、その核 $\ker\varphi=\operatorname{im}\partial$ が有限生成であるものがあることをいう。有限表示な $R$ 加群を 有限表示加群（finitely presented module）という。このような完全列を $M$ の 有限表示（presentation）という。

$\varphi(e_i)=x_i$ とおくと $x_1,\dots,x_n$ は $M$ の生成系であり、$\partial(e_j)=\sum_i a_{ij}e_i$ と書くと、$\ker\varphi$ は $n$ 成分のベクトル $(a_{1j},\dots,a_{nj})$（$j=1,\dots,m$）で生成される。各ベクトルは関係式 $\sum_ia_{ij}x_i=0$ にあたる。$\partial$ を $n\times m$ 行列 $A=(a_{ij})$ で表すと、加群の記事の定理「加群の準同型定理」により
$$ M\cong R^n/AR^m=\operatorname{coker}\bigl(A\colon R^m\to R^n\bigr) $$
である。逆に任意の $n\times m$ 行列 $A$ の余核は有限表示加群である。有限表示加群とは、ちょうど「有限な大きさの行列の余核」と同型な加群である。$A$ を 表示行列 という。
有限表示加群は有限生成である。定義は全射 $\varphi$ を 1 つ選んでいるが、有限表示であれば、どの全射 $R^k\to M$ の核も有限生成になる（有限生成加群の記事の命題「有限表示は全射の取り方によらない」）。したがって、有限生成加群 $M$ が有限表示であるかどうかは、生成系を 1 組選び、その間の関係式の全体が有限生成かどうかで判定できる。
「有限表示」という語はほかの対象にも使われる。群の有限表示（有限個の生成元と関係式による群の表示。群の表示）や、環の準同型 $R\to S$ の有限表示（$S\cong R[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_m)$ と書けること。有限型射の記事の定義「環の準同型の有限型と有限表示」）は、生成元と関係式が有限個という考え方は同じだが、加群の有限表示とは別の概念である。たとえば $R[x]$ は $R$ 代数として有限表示だが、$R\neq0$ なら $R$ 加群としては有限生成ですらない。

直感

有限生成加群 $M$ は、生成元を選ぶと $R^n$ の商 $R^n/K$ になる。$K$ は生成元の間の関係式の全体で、$R$ が Noether でなければ $K$ は有限生成とは限らない。有限表示とは、$K$ も有限個の関係式から「生成」されることである。$M$ から加群 $N$ への準同型を与えることは、生成元の行き先 $y_1,\dots,y_n\in N$ を、関係式 $\sum_ia_{ij}y_i=0$（$j=1,\dots,m$）を満たすように選ぶことと同じなので、$\operatorname{Hom}_R(M,N)$ は $N$ の中の有限個の線形方程式の解の全体として書ける：
$$ \operatorname{Hom}_R(M,N)\cong\Bigl\{(y_1,\dots,y_n)\in N^n\ \Bigm|\ \sum_{i=1}^na_{ij}y_i=0\ (j=1,\dots,m)\Bigr\}. $$
有限個の元と有限個の方程式しか関わらないので、$N$ を帰納極限や局所化に取り替えても、解の全体は同じ操作と交換する。これが有限表示加群の基本性質（thm-fp-module-colimit、prop-fp-module-localization）の中身である。

例

基本的な例

自由加群 $R^n$ は有限表示である（$m=0$ として $0\to R^n\xrightarrow{\mathrm{id}}R^n\to0$）。
有限生成イデアル $I=(a_1,\dots,a_r)$ による商 $R/I$ は有限表示である。$R^r\to R$、$e_j\mapsto a_j$ の像が $I$ なので、$R^r\to R\to R/I\to0$ が完全である。逆に $R/I$ が有限表示なら、全射 $R\to R/I$ の核 $I$ は有限生成である（有限生成加群の記事の命題「有限表示は全射の取り方によらない」）。すなわち、$R/I$ が有限表示であることと $I$ が有限生成であることは同値である。
$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ は表示行列 $\begin{pmatrix}2&0\\0&6\end{pmatrix}$ をもつ。表示行列は一意でなく、たとえば $\begin{pmatrix}2&2\\0&6\end{pmatrix}$ も同じ加群を表す（関係式 $2u=0$、$2u+6v=0$ と $2u=0$、$6v=0$ は互いに他から従う）。
Noether環の上では、有限生成加群はすべて有限表示である（有限生成加群の記事の命題「Noether 環の上では有限生成と有限表示が一致する」）。とくに体上の有限次元ベクトル空間、有限生成アーベル群、$k[x_1,\dots,x_n]$ 上の有限生成加群は有限表示である。
有限生成な射影加群は有限表示である（prop-fp-module-projective）。

有限生成射影加群は有限表示

有限生成な射影加群 $P$ は有限表示である。

射影加群の記事の定理「射影加群の特徴づけ」により、$P$ が有限生成なら、ある加群 $Q$ と $n\ge0$ で $P\oplus Q\cong R^n$ となる。この同型のもとで、$R^n$ から第 2 成分を捨てる射影 $\varphi\colon R^n\to P$ は全射で、その核は $Q$ である。$Q$ は $R^n$ から第 1 成分を捨てる射影の像なので有限生成である（有限生成加群の記事の命題「商と拡大」の 1）。よって $\varphi$ は核が有限生成の全射であり、$P$ は有限表示である。$\square$

逆は成り立たない。$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は有限表示な $\mathbb{Z}$ 加群だが、射影加群でない（射影加群の記事の例「反例：捩れのある加群」）。
Noether でない環でも、有限生成と有限表示が近い振る舞いをする環がある。有限生成加群 $M$ で、その有限生成部分加群がすべて有限表示であるものを 連接加群（coherent module）といい、$R$ 自身が連接加群であるとき、すなわち有限生成イデアルがすべて有限表示であるとき、$R$ を 連接環 という。連接環の上では、有限表示加群と連接加群は一致し、とくに有限表示加群の有限生成部分加群は有限表示である。Noether 環と付値環は連接環である（Stacks26 Tag 05CV、Tag 05CX、Tag 05CY、Tag 0EWV）。

反例

次の表は、有限表示の仮定を外したり、Noether の仮定を外したりすると崩れる主張を並べたものである。以下、$k$ は体、$A=k[x_1,x_2,\dots]$ は可算無限個の変数の多項式環、$\mathfrak{m}=(x_1,x_2,\dots)$ とする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$R$ が Noether 環	$A$ 加群 $A/\mathfrak{m}$	有限生成なら有限表示
$R$ が連接環	$B=k[x,y_1,y_2,\dots]/(xy_1,xy_2,\dots)$ のイデアル $(x)$	有限表示加群の有限生成部分加群は有限表示
$M$ が有限表示	$A$ 加群 $A/\mathfrak{m}$	$\operatorname{Hom}_R(M,-)$ は帰納極限と交換する
$M$ が有限表示	$\mathbb{Z}$ 加群 $\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$、$S=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$	$S^{-1}\operatorname{Hom}_R(M,N)\cong\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)$
$M$ が有限表示	$\mathbb{Z}$ 加群 $\mathbb{Q}$	平坦なら射影的
$M_1$ が有限生成	$0\to\mathfrak{m}\to A\to A/\mathfrak{m}\to0$	$M_2$ が有限表示なら $M_3=M_2/M_1$ も有限表示

反例：有限生成だが有限表示でない加群

$A$ 加群 $A/\mathfrak{m}$ は $1+\mathfrak{m}$ で生成されるが、有限表示でない（有限生成加群の記事の例「反例：有限生成だが有限表示でない加群」）。ex-fp-module-basic の 2 の言い換えでは、$A/\mathfrak{m}$ が有限表示でないことは $\mathfrak{m}$ が有限生成でないことと同じである。この例は「有限生成」を満たすが「有限表示」を満たさず、「有限生成なら有限表示」という含意を破る。破れている仮定は「$A$ は Noether 環」である。

詳細

$\mathfrak{m}$ が有限生成でないこと：有限個の元 $f_1,\dots,f_r\in\mathfrak{m}$ に現れる変数が $x_1,\dots,x_N$ に限られるとき、各 $f_i$ は定数項をもたないので $(f_1,\dots,f_r)\subset(x_1,\dots,x_N)$ である。$x_1=\dots=x_N=0$ を代入する準同型 $A\to A$ は $(x_1,\dots,x_N)$ を $0$ に送り、$x_{N+1}$ を $x_{N+1}\neq0$ に送るので、$x_{N+1}\notin(f_1,\dots,f_r)$ である。

反例：有限生成だが有限表示でない部分加群

$B=k[x,y_1,y_2,\dots]/(xy_1,xy_2,\dots)$ とし、$x,y_i$ の $B$ での像も同じ文字で書く。$B$ は有限表示な $B$ 加群（自由加群）で、そのイデアル $(x)$ は $x$ の 1 元で生成される。しかし $(x)$ は有限表示でない。要点は、$x$ を掛けて $0$ になる元の全体が $I=(y_1,y_2,\dots)$ で、$(x)\cong B/I$ となり、$I$ が有限生成でないことである（ex-fp-module-basic の 2）。
この例は「$B$ は有限表示」「$(x)$ は $B$ の有限生成部分加群」を満たすが「$(x)$ は有限表示」を満たさず、「有限表示加群の有限生成部分加群は有限表示」という含意を破る。破れている仮定は「$B$ は連接環」である。

確かめの計算を開く

$B$ の元は、$x$ と $y_i$ の両方を含む単項式を除いた単項式、すなわち $x^a$（$a\ge0$）と $y$ だけの単項式の $k$ 係数の和として一意に書ける（単項式で生成されたイデアルによる商だから）。$x$ を掛けると $x^a\mapsto x^{a+1}$、$y$ だけの定数でない単項式 $\mapsto0$ なので、$xf=0$ となるのは $f$ に $x^a$ の項がないとき、すなわち $f\in(y_1,y_2,\dots)$ のときに限る。よって $1\mapsto x$ で定まる全射 $B\to(x)$ の核は $I=(y_1,y_2,\dots)$ であり、$(x)\cong B/I$ である。

$I$ は有限生成でない：$I$ の有限個の元 $f_1,\dots,f_r$ を上の単項式の和で書いたとき、現れる $y$ が $y_1,\dots,y_N$ に限られるとすると、各単項式はある $y_i$（$i\le N$）で割り切れるので $(f_1,\dots,f_r)\subset(y_1,\dots,y_N)$ である。一方、$x\mapsto0$、$y_{N+1}\mapsto t$、ほかの $y_i\mapsto0$ で定まる $B\to k[t]$（関係式 $xy_i$ は $0$ に送られるので定まる）は $(y_1,\dots,y_N)$ を $0$ に、$y_{N+1}$ を $t\neq0$ に送るので、$y_{N+1}\notin(f_1,\dots,f_r)$ である。ex-fp-module-basic の 2 により $B/I\cong(x)$ は有限表示でない。

性質

短完全列と直和

有限生成性は商と拡大に受け継がれ、部分加群には受け継がれない（有限生成加群の記事の命題「商と拡大」）。有限表示性については次のようになる。

短完全列と有限表示

$0\to M_1\xrightarrow{f}M_2\xrightarrow{g}M_3\to0$ を $R$ 加群の短完全列とする。

$M_1$ と $M_3$ が有限表示なら、$M_2$ は有限表示である。
$M_2$ が有限表示で $M_1$ が有限生成なら、$M_3$ は有限表示である。
$M_3$ が有限表示で $M_2$ が有限生成なら、$M_1$ は有限生成である。

3：$M_2$ は有限生成なので全射 $\varphi\colon R^n\to M_2$ がある。$g\circ\varphi\colon R^n\to M_3$ は全射で、$M_3$ は有限表示なので、その核 $K=(g\circ\varphi)^{-1}(0)=\varphi^{-1}(\ker g)$ は有限生成である（有限生成加群の記事の命題「有限表示は全射の取り方によらない」）。$\varphi$ は全射なので $\varphi(K)=\ker g=f(M_1)$ であり、$f(M_1)$ は有限生成加群 $K$ の像として有限生成である。$f$ は単射なので $M_1\cong f(M_1)$ は有限生成である。
2：有限表示 $R^m\xrightarrow{\partial}R^n\xrightarrow{\varphi}M_2\to0$ と、全射 $\alpha\colon R^k\to M_1$ をとる。$\varphi$ は全射なので、$f\circ\alpha(e_j)=\varphi(z_j)$ となる $z_j\in R^n$ を選び、$\beta(e_j)=z_j$ で $\beta\colon R^k\to R^n$ を定めると $\varphi\circ\beta=f\circ\alpha$ である。$g\circ\varphi\colon R^n\to M_3$ は全射で、その核は $\varphi^{-1}(f(M_1))$ である。$y\in\varphi^{-1}(f(M_1))$ なら $\varphi(y)=f(\alpha(w))=\varphi(\beta(w))$ となる $w\in R^k$ があり、$y-\beta(w)\in\ker\varphi=\operatorname{im}\partial$ である。よって $\ker(g\circ\varphi)=\operatorname{im}\partial+\operatorname{im}\beta$ であり（逆の包含は $\varphi(\operatorname{im}\beta)=f(\alpha(R^k))\subset f(M_1)$ から）、これは $\partial(e_1),\dots,\partial(e_m),\beta(e_1),\dots,\beta(e_k)$ で生成される。したがって $R^{m+k}\xrightarrow{(\partial,\beta)}R^n\xrightarrow{g\circ\varphi}M_3\to0$ は有限表示である。
1：全射 $\alpha\colon R^a\to M_1$ で核 $K_1$ が有限生成のものをとる。$M_3$ の有限表示 $R^b\to M_3$ の標準基底の像を $M_2$ に持ち上げ（$g$ は全射）、$\psi\colon R^b\to M_2$ を $g\circ\psi$ がその全射 $R^b\to M_3$ になるように定める。その核を $K_3$ とすると $K_3$ は有限生成である。$\pi\colon R^a\oplus R^b\to M_2$、$(u,v)\mapsto f(\alpha(u))+\psi(v)$ は全射である（有限生成加群の記事の命題「商と拡大」の 2 の証明と同じ）。$K=\ker\pi$ とおくと、列
$$ 0\longrightarrow K_1\xrightarrow{\ u\mapsto(u,0)\ }K\xrightarrow{\ (u,v)\mapsto v\ }K_3\longrightarrow0 $$
は完全である（$g\circ f=0$ と $f$ の単射性、$\alpha$ の全射性から確かめられる）。

詳細

$(u,v)\in K$ なら $0=g(\pi(u,v))=g(\psi(v))$ なので $v\in K_3$ である。$v\in K_3$ なら $\psi(v)\in\ker g=f(M_1)$ で、$\alpha$ は全射なので $\psi(v)=-f(\alpha(u))$ となる $u$ があり、$(u,v)\in K$ である。よって右の写像は全射である。$(u,0)\in K$ は $f(\alpha(u))=0$、すなわち（$f$ は単射なので）$u\in K_1$ と同値であり、左の写像は単射で、その像は右の写像の核に一致する。

$K_1$ と $K_3$ は有限生成なので、有限生成加群の記事の命題「商と拡大」の 2 により $K$ は有限生成であり、$M_2$ は有限表示である。$\square$

2 と 3 の仮定は外せない（2 の「$M_1$ は有限生成」、3 の「$M_3$ は有限表示」）。

反例：部分加群が有限生成でない場合

$A=k[x_1,x_2,\dots]$、$\mathfrak{m}=(x_1,x_2,\dots)$ について、短完全列 $0\to\mathfrak{m}\to A\to A/\mathfrak{m}\to0$ を考える。$M_2=A$ は有限表示だが、$M_3=A/\mathfrak{m}$ は有限表示でない（ex-fp-module-not-fp）。この例は「$M_2$ は有限表示」を満たすが「$M_3$ は有限表示」を満たさず、thm-fp-module-exact の 2 の結論を破る。破れている仮定は「$M_1=\mathfrak{m}$ は有限生成」である。同じ列で、$M_3$ が有限表示という仮定を外すと 3 の結論（$M_1$ は有限生成）も崩れる。

直和と直和因子

有限個の加群の直和 $M_1\oplus\cdots\oplus M_r$ が有限表示であることと、各 $M_i$ が有限表示であることは同値である。とくに、有限表示加群の直和因子は有限表示である。

$r=2$ の場合を示せば、あとは $r$ についての帰納法による。短完全列 $0\to M_1\to M_1\oplus M_2\to M_2\to0$（包含と射影）を考える。$M_1,M_2$ が有限表示なら thm-fp-module-exact の 1 により $M_1\oplus M_2$ は有限表示である。逆に $M_1\oplus M_2$ が有限表示なら、$M_1$ は $M_1\oplus M_2$ の射影による像なので有限生成であり、thm-fp-module-exact の 2 により $M_2$ は有限表示である。役割を入れ替えれば $M_1$ も有限表示である。$\square$

帰納極限との交換による特徴づけ

$(N_i)_{i\in I}$ を有向集合 $I$ 上の $R$ 加群の帰納系、$\mu_i\colon N_i\to\varinjlim_iN_i$ を標準射とする（帰納極限）。$R$ 加群 $M$ について、準同型 $M\to N_i$ に $\mu_i$ を合成する写像は両立するので、標準写像
$$ \Phi_M\colon\varinjlim_i\operatorname{Hom}_R(M,N_i)\longrightarrow\operatorname{Hom}_R\Bigl(M,\ \varinjlim_iN_i\Bigr),\qquad[h\colon M\to N_i]\longmapsto\mu_i\circ h $$
が定まる。

帰納極限との交換による特徴づけ

$R$ 加群 $M$ について、次は同値である。

$M$ は有限表示である。
有向集合上の任意の帰納系 $(N_i)$ について、$\Phi_M$ は全単射である。

1 ⇒ 2 は帰納極限の記事の命題「Homとの交換」の 2 である。要点は、$M=R^n$ なら $\operatorname{Hom}_R(R^n,N)\cong N^n$ なので $\Phi_{R^n}$ は $N^n$ の帰納極限の計算になり、一般の $M$ は有限表示 $R^m\to R^n\to M\to0$ から $\operatorname{Hom}_R(-,N)$ の左完全性と帰納極限の完全性で $R^n$、$R^m$ の場合に帰着することである。
2 ⇒ 1 を示す。まず $M$ が有限生成であることを示す。$M$ の有限生成部分加群の全体は包含について有向集合をなし、その帰納極限は $M$ 自身である（帰納極限の記事の命題「有限生成部分加群の帰納極限」）。$\Phi_M$ の全射性を恒等写像 $\mathrm{id}_M$ に当てると、ある有限生成部分加群 $M'$ と準同型 $t\colon M\to M'$ があって、包含 $\iota\colon M'\to M$ について $\iota\circ t=\mathrm{id}_M$ となる。よって $M=\iota(t(M))\subset M'$ であり、$M=M'$ は有限生成である。
次に全射 $\varphi\colon R^n\to M$ をとり、$K=\ker\varphi$ とおく。$K$ の有限生成部分加群 $K_j$ の全体を包含で並べた有向集合 $J$ をとると、$K=\bigcup_jK_j$ であり、$N_j:=R^n/K_j$ は $j\le j'$ のとき標準全射 $N_j\to N_{j'}$ で帰納系をなす。その帰納極限は $R^n/K\cong M$ である（帰納極限の記事の補題「帰納極限の元の表示」により、$R^n$ の元の像が極限で $0$ になるのは、ある $N_j$ で $0$ になるとき、すなわち $K$ に属するときである）。極限への標準射を $q_j\colon N_j\to M$（$\varphi$ が誘導する写像）とする。$\Phi_M$ の全射性を $\mathrm{id}_M$ に当てると、ある $j$ と $s\colon M\to N_j$ で $q_j\circ s=\mathrm{id}_M$ となるものがある。すると $N_j=s(M)\oplus\ker q_j$ と分解し（$x=s(q_j(x))+(x-s(q_j(x)))$）、$\ker q_j=K/K_j$ は有限生成加群 $N_j$ の直和因子として有限生成である（射影 $x\mapsto x-s(q_j(x))$ の像）。$K_j$ と $K/K_j$ が有限生成なので、有限生成加群の記事の命題「商と拡大」の 2 により $K$ は有限生成であり、$M$ は有限表示である。$\square$

2 ⇒ 1 の証明で使ったのは $\Phi_M$ の全射性だけである。逆に、$M$ が有限生成なら $\Phi_M$ はいつも単射であり、$\Phi_M$ がすべての有向な帰納系で単射であることは $M$ が有限生成であることと同値である（Stacks26 Tag 0G8N）。したがって、有限生成で有限表示でない加群では、$\Phi_M$ は単射だが全射でない帰納系がある。次の例はそれを具体的に示す。

反例：帰納極限と交換しない Hom

$A=k[x_1,x_2,\dots]$、$M=A/\mathfrak{m}$ とし、$N_n=A/(x_1,\dots,x_n)$（推移射は標準全射）とおく。$(x_1,\dots,x_n)$ の和集合は $\mathfrak{m}$ なので、$\varinjlim_nN_n=A/\mathfrak{m}=M$ である。$A$ 加群の準同型 $M\to N$ は $1+\mathfrak{m}$ の行き先 $y$ で決まり、$y$ は $\mathfrak{m}y=0$ を満たす元である。$N_n\cong k[x_{n+1},x_{n+2},\dots]$ は整域で $x_{n+1}$ が $0$ でないので、$x_{n+1}y=0$ から $y=0$ となり、$\operatorname{Hom}_A(M,N_n)=0$ である。よって左辺 $\varinjlim_n\operatorname{Hom}_A(M,N_n)=0$ だが、右辺 $\operatorname{Hom}_A(M,M)$ は $\mathrm{id}_M\neq0$ を含む。この例は「$M$ は有限生成」「$\Phi_M$ は単射」を満たすが「$\Phi_M$ は全射」を満たさず、thm-fp-module-colimit の 2 を破る。破れている仮定は「$M$ は有限表示」である。

局所化と Hom

$S\subset R$ を積閉集合とする（局所化）。$R$ 加群 $M,N$ について、写像
$$ \theta_M\colon S^{-1}\operatorname{Hom}_R(M,N)\longrightarrow\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N),\qquad\theta_M\Bigl(\frac{h}{s}\Bigr)\Bigl(\frac{x}{t}\Bigr)=\frac{h(x)}{st} $$
が定まる（右辺の写像は $\frac1s\,S^{-1}h$ であり、代表元のとり方によらない）。

詳細

$\frac hs=\frac{h'}{s'}$、すなわちある $u\in S$ で $u(s'h-sh')=0$ なら、$\frac{h(x)}{st}=\frac{us'h(x)}{uss't}=\frac{ush'(x)}{uss't}=\frac{h'(x)}{s't}$ である。

$\theta_M$ は $S^{-1}R$ 線形で、$M$ について自然である（$a\colon M'\to M$ に対し $\theta_{M'}(\frac{h\circ a}{s})=\theta_M(\frac hs)\circ S^{-1}a$）。

局所化と Hom の交換

$M$ が有限表示なら、任意の $R$ 加群 $N$ と積閉集合 $S$ について $\theta_M$ は同型である。

$M=R^n$ のとき：$h\mapsto(h(e_i))_i$ で両辺を $S^{-1}(N^n)$ と $(S^{-1}N)^n$ に同一視すると、$\theta_{R^n}$ は $(y_i)_i/s\mapsto(y_i/s)_i$ になり、これは同型である。

詳細

$\operatorname{Hom}_R(R^n,N)\cong N^n$ であり、$S^{-1}(R^n)\cong(S^{-1}R)^n$ は自由 $S^{-1}R$ 加群なので $\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}(S^{-1}R^n,S^{-1}N)\cong(S^{-1}N)^n$ である。$\theta_{R^n}(h/s)(e_i/1)=h(e_i)/s$ なので上の形になる。逆写像は、共通の分母にそろえて $(y_i/s_i)_i\mapsto(\prod_{l\neq i}s_l\,y_i)_i/\prod_ls_l$ で与えられる。

一般の場合：有限表示 $R^m\xrightarrow{\partial}R^n\xrightarrow{\varphi}M\to0$ をとる。$\operatorname{Hom}_R(-,N)$ は右完全列を左完全列に送る（$h\mapsto h\circ\varphi$ は $\varphi$ が全射なので単射であり、$h'\circ\partial=0$ となる $h'\colon R^n\to N$ は $\ker\varphi=\operatorname{im}\partial$ 上で $0$ なので $M\cong R^n/\operatorname{im}\partial$ を経由する。Stacks26 Tag 0582）。局所化は完全列を完全列に送る（局所化の記事の命題「局所化の完全性」）ので、$S^{-1}R^m\to S^{-1}R^n\to S^{-1}M\to0$ も完全である。したがって、次の図式の 2 つの行は完全であり、$\theta$ の自然性により図式は可換である。
$$ \xymatrix{ 0 \ar[r] & S^{-1}\operatorname{Hom}_R(M,N) \ar[r] \ar[d]_{\theta_M} & S^{-1}\operatorname{Hom}_R(R^n,N) \ar[r] \ar[d]^{\theta_{R^n}}_{\cong} & S^{-1}\operatorname{Hom}_R(R^m,N) \ar[d]^{\theta_{R^m}}_{\cong} \\ 0 \ar[r] & \operatorname{Hom}(S^{-1}M,S^{-1}N) \ar[r] & \operatorname{Hom}(S^{-1}R^n,S^{-1}N) \ar[r] & \operatorname{Hom}(S^{-1}R^m,S^{-1}N) } $$
下の行の $\operatorname{Hom}$ は $\operatorname{Hom}_{S^{-1}R}$ である。図式が可換であるとは、$\theta_{R^n}\circ S^{-1}(\varphi^*)=(S^{-1}\varphi)^*\circ\theta_M$、$\theta_{R^m}\circ S^{-1}(\partial^*)=(S^{-1}\partial)^*\circ\theta_{R^n}$ ということである（$\varphi^*=-\circ\varphi$ など）。右の 2 つの縦の写像が同型で、2 つの行が完全なので、左の縦の写像 $\theta_M$ も同型である（行の左端はどちらも右の写像の核だから）。

図式の追跡を開く

$\theta_M$ が単射であること：$\theta_M(\xi)=0$ なら $\theta_{R^n}(S^{-1}(\varphi^*)(\xi))=0$ で、$\theta_{R^n}$ と $S^{-1}(\varphi^*)$ は単射なので $\xi=0$ である。全射であること：$\eta\in\operatorname{Hom}(S^{-1}M,S^{-1}N)$ をとり、$(S^{-1}\varphi)^*(\eta)=\theta_{R^n}(\zeta)$ となる $\zeta$ をとる。$\theta_{R^m}(S^{-1}(\partial^*)(\zeta))=(S^{-1}\partial)^*((S^{-1}\varphi)^*(\eta))=0$ で $\theta_{R^m}$ は単射なので、$S^{-1}(\partial^*)(\zeta)=0$ であり、上の行の完全性から $\zeta=S^{-1}(\varphi^*)(\xi)$ となる $\xi$ がある。すると $(S^{-1}\varphi)^*(\theta_M(\xi))=\theta_{R^n}(\zeta)=(S^{-1}\varphi)^*(\eta)$ で、$(S^{-1}\varphi)^*$ は単射なので $\theta_M(\xi)=\eta$ である。

以上で $\theta_M$ は同型である。$\square$

反例：局所化と交換しない Hom

$R=\mathbb{Z}$、$S=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$（$S^{-1}\mathbb{Z}=\mathbb{Q}$）、$M=\bigoplus_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$、$N=\mathbb{Z}$ とする。$\operatorname{Hom}_\mathbb{Z}(M,\mathbb{Z})\cong\prod_n\mathbb{Z}$、$\operatorname{Hom}_\mathbb{Q}(S^{-1}M,\mathbb{Q})\cong\prod_n\mathbb{Q}$（どちらも $h\mapsto(h(e_n))_n$）であり、この同一視のもとで $\theta_M((a_n)_n/s)=(a_n/s)_n$ である。$\theta_M$ の像の元は分母が共通の $s$ でそろう列だけなので、$(1/(n+1))_n$ は像に入らない（$a_n/s=1/(n+1)$ なら $n+1$ は $s$ を割り切るが、$0$ でない整数 $s$ の約数は有限個である）。この例は $\theta_M$ の全射性を破る。破れている仮定は「$M$ は有限表示」である（$M$ は有限生成でもない）。

底変換

底変換と有限表示

$R\to R'$ を環準同型、$M$ を有限表示な $R$ 加群とすると、$M\otimes_RR'$ は有限表示な $R'$ 加群である。とくに、積閉集合 $S$ について $S^{-1}M$ は有限表示な $S^{-1}R$ 加群である。

有限表示 $R^m\xrightarrow{\partial}R^n\to M\to0$ に $-\otimes_RR'$ を施すと、テンソル積の記事の命題「テンソル積の右完全性」により $R^m\otimes_RR'\to R^n\otimes_RR'\to M\otimes_RR'\to0$ は完全である。同じ記事の系「自由加群とのテンソル積」により $R^k\otimes_RR'\cong R'^k$（$R'$ 加群として）なので、これは $M\otimes_RR'$ の有限表示 $R'^m\to R'^n\to M\otimes_RR'\to0$ である。局所化については、$S^{-1}R^m\to S^{-1}R^n\to S^{-1}M\to0$ が完全（局所化の記事の命題「局所化の完全性」）で、$S^{-1}(R^k)\cong(S^{-1}R)^k$ であることから直接分かる。$\square$

表示行列で言えば、$M=\operatorname{coker}(A)$ なら $M\otimes_RR'=\operatorname{coker}(A')$ であり、$A'$ は $A$ の成分を $R\to R'$ で送った行列である。たとえば $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{F}_2=\operatorname{coker}(6\colon\mathbb{F}_2\to\mathbb{F}_2)=\mathbb{F}_2$、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\otimes_\mathbb{Z}\mathbb{Q}=\operatorname{coker}(6\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q})=0$ である。

平坦性と射影性

有限表示の平坦加群

$R$ 加群 $M$ について、次は同値である。

$M$ は有限表示かつ平坦加群である。
$M$ は有限生成な射影加群である。
$M$ は有限生成な自由加群 $R^n$ の直和因子である。
とくに $R$ が局所環なら、有限表示な平坦加群は自由である。

証明の所在

この定理はこの記事では証明しない。同値は Stacks26 Tag 00NX（Lemma 10.78.2）にあり、局所環の場合は平坦加群の記事の注意「有限表示の平坦加群と局所環」も参照。2 と 3 の同値は射影加群の記事の定理「射影加群の特徴づけ」、2 ⇒ 1 の有限表示の部分は prop-fp-module-projective である。1 ⇒ 2 が有限表示の仮定を本質的に使う部分で、要点は、有限表示なら $\operatorname{Hom}_R(M,-)$ の性質が局所化で調べられる（prop-fp-module-localization）ことと、局所環上では剰余体上の基底を持ち上げた元が平坦性から一次独立になることである。

有限表示の仮定は外せない。$\mathbb{Q}$ は平坦な $\mathbb{Z}$ 加群だが射影的でない（平坦加群の記事の例「反例：平坦だが射影的でない加群」）。$\mathbb{Q}$ は有限生成でもない（有限生成加群の記事の例「反例：有理数の加法群」）。この例は「平坦」を満たすが「射影的」を満たさず、定理の 1 ⇒ 2 の含意を、有限表示の仮定を外すと破る。

注意

有限性の条件の比較

加群の有限性の条件を並べると次のようになる。上の行ほど弱い条件である。

条件	定義	部分加群・商への遺伝
有限生成	全射 $R^n\to M$ がある	商に遺伝する。部分加群には遺伝しない
有限表示	核が有限生成の全射 $R^n\to M$ がある	有限生成な部分加群による商に遺伝する。有限生成な部分加群には遺伝しない
連接	有限生成で、有限生成部分加群がすべて有限表示	有限生成な部分加群と、有限生成な部分加群による商に遺伝する

連接加群は有限表示である（定義で部分加群として $M$ 自身をとる）。連接加群の遺伝は Stacks26 Tag 05CW による。3 つの条件が一致するのは Noether 環の上であり（有限生成加群の記事の命題「Noether 環の上では有限生成と有限表示が一致する」）、連接環の上では有限表示と連接が一致する。

代数幾何学での現れ方

スキーム $X$ 上の $\mathcal{O}_X$ 加群層の「有限型」「有限表示」「連接」は、この記事の 3 つの条件の層版である（連接層の記事の定義「有限型と有限表示の加群層」）。アフィンスキーム $\operatorname{Spec}R$ 上では、有限表示な $R$ 加群 $M$ から作る準連接層 $\widetilde{M}$ が有限表示の層になる。Noether 環の上ではこれらの区別は現れないが、Noether でない底（付値環、無限変数の多項式環、帰納極限で作る環）の上の議論では、有限生成でなく有限表示を仮定するのが基本である。

この記事の性質と層の性質の対応を開く

prop-fp-module-localization は、有限表示な層の間の $\mathcal{H}om$ が茎ごと・基本開集合ごとに計算できることの代数的な根拠であり、thm-fp-module-flat は、有限表示な平坦加群の層が局所自由層（ベクトル束）にほかならないことの代数的な根拠である。環の準同型 $R\to S$ が有限表示なら、Kähler 微分の加群 $\Omega_{S/R}$ は有限表示な $S$ 加群である（Stacks26 Tag 00RY。Kähler微分）。thm-fp-module-colimit は、有限表示の対象についての主張を帰納極限の途中の段階へ下ろす議論の基礎になる。

文献

有限表示加群の定義は Stacks26 Tag 0518（Definition 10.5.1）、thm-fp-module-exact は Tag 0519（Lemma 10.5.3 の (2)(4)(5)）、thm-fp-module-colimit は Tag 0G8P（Lemma 10.11.4）、prop-fp-module-localization は Tag 0583（Lemma 10.10.2）、thm-fp-module-flat は Tag 00NX（Lemma 10.78.2）にある。局所化と Hom の交換は Vak25 Exercise 1.5.H にもある。