完全体

1：$h$ を $f$ と $f'$ のモニックな最大公約数とする。$h$ は既約多項式 $f$ を割り切るので、$h=1$ か、$h$ は $f$ の定数倍である。後者は $f\mid f'$ を意味するが、$f'\neq0$ なら $\deg f'<\deg f$ なので $f\mid f'$ は起こらず、$f'=0$ なら $f\mid f'$ は成り立つ。よって $h=1$ であることと $f'\neq0$ であることは同値であり、Galois拡大 の記事の補題「分離性と微分」により、これは $f$ が分離的であることと同値である。
2：既約多項式は定数でないので $f=a_nx^n+\dots$（$a_n\neq0$、$n\ge1$）と書け、標数 $0$ では $f'$ の $x^{n-1}$ の係数 $na_n$ は $0$ でない。よって $f'\neq0$ であり、1 により $f$ は分離的である。
3：$f=\sum_ia_ix^i$ とすると $f'=\sum_iia_ix^{i-1}$ である。標数 $p$ の体では整数 $i$ は $p\mid i$ のときだけ $0$ になるので、$f'=0$ であることと、$p\nmid i$ なるすべての $i$ について $a_i=0$ であることは同値である。後者は $f=\sum_ja_{pj}(x^p)^j=g(x^p)$（$g=\sum_ja_{pj}x^j$）と書けることにほかならない。$\square$

この証明で他の記事から引くのは、分離性の微分による判定（prop-perfect-field-irreducible-separable が引く Galois拡大 の記事の補題「分離性と微分」）、根をもつ拡大体の存在（体の拡大 の記事の命題「根をもつ拡大体の構成」）、有限次拡大が代数拡大であること（同記事の命題「有限次拡大と有限生成な代数拡大」）の 3 つである。
標数 $0$ の場合：1 は定義により成り立ち、2 は prop-perfect-field-irreducible-separable の 2 により成り立つ。2 と 3 の同値は下の標数 $p$ の場合と同じ議論で示されるので、以下では標数が素数 $p$ の場合を扱う。
1 ⇒ 2：$K^p=K$ とし、既約多項式 $f\in K[x]$ が分離的でないとする。prop-perfect-field-irreducible-separable の 1 と 3 により $f=\sum_ja_jx^{pj}$ と書ける。仮定により各 $a_j$ は $a_j=b_j^p$（$b_j\in K$）と書ける。多項式環 $K[x]$ は標数 $p$ の可換環なので $p$ 乗写像は環準同型であり、
$$ f=\sum_jb_j^p(x^j)^p=\Bigl(\sum_jb_jx^j\Bigr)^p $$
となる。$f$ は定数でないので $\sum_jb_jx^j$ も定数でなく、$p\ge2$ だから $f$ は定数でない 2 つの多項式の積になり、既約であることに反する。よって $f$ は分離的である。
2 ⇒ 1：$K^p\neq K$ とし、$a\in K\setminus K^p$ をとる。$f=x^p-a$ を考える。$f$ の根 $b$ をもつ拡大体 $M$ をとると $b^p=a$ であり、$M[x]$ において $f=x^p-b^p=(x-b)^p$ である。$g\in K[x]$ を $f$ のモニックな因子で $0<\deg g< p$ のものとすると、$M[x]$ は一意分解整域で $x-b$ は既約なので $g=(x-b)^k$（$k=\deg g$）である。その $x^{k-1}$ の係数 $-kb$ は $K$ に属し、$0< k< p$ より $k$ は $K$ で可逆なので $b\in K$、したがって $a=b^p\in K^p$ となり矛盾する。よって $f$ は $K[x]$ で既約である。一方 $f'=px^{p-1}=0$ なので、prop-perfect-field-irreducible-separable の 1 により $f$ は分離的でない。これは 2 に反する。
2 ⇒ 3：$L/K$ を代数拡大、$\alpha\in L$ とすると、最小多項式 $m_{\alpha,K}$ は既約なので 2 により分離的であり、$\alpha$ は分離的である。
3 ⇒ 2：$f\in K[x]$ を既約多項式とし、$f$ の根 $\alpha$ をもつ拡大体として $M=K[x]/(f)$ をとる（$x$ の類が根）。$M/K$ は有限次拡大なので代数拡大であり、3 により分離拡大である。したがって $m_{\alpha,K}$ は分離的である。$f$ は $\alpha$ を根にもつ既約多項式なので $m_{\alpha,K}$ の定数倍であり、定数倍は根と重複度を変えないので $f$ も分離的である。$\square$

$K$ と $L$ の標数は等しい。標数 $0$ ならどちらも完全体なので、標数が素数 $p$ の場合を示せば十分である。
まず、有限次拡大 $L/K$ について $[L^p:K^p]=[L:K]$ であることを示す。$u_1,\dots,u_n$ を $L$ の $K$ 上の基底とする。$y=\sum_ic_iu_i\in L$（$c_i\in K$）に対し $y^p=\sum_ic_i^pu_i^p$ なので、$u_1^p,\dots,u_n^p$ は $L^p$ を $K^p$ 上張る。$d_i\in K^p$ について $\sum_id_iu_i^p=0$ とし、$d_i=c_i^p$（$c_i\in K$）と書くと $\bigl(\sum_ic_iu_i\bigr)^p=0$ なので $\sum_ic_iu_i=0$、よってすべての $c_i=0$、すなわち $d_i=0$ である。したがって $u_1^p,\dots,u_n^p$ は $L^p$ の $K^p$ 上の基底であり、$[L^p:K^p]=n$ である。
1：まず $L/K$ が有限次の場合を示す。$K=K^p\subset L^p\subset L$ であり、上のことから $[L^p:K]=[L:K]$ である。拡大次数 の乗法性により $[L:K]=[L:L^p]\,[L^p:K]$ なので $[L:L^p]=1$、すなわち $L^p=L$ である。一般の代数拡大の場合、$\alpha\in L$ は $K$ 上代数的なので $K(\alpha)/K$ は有限次拡大である（拡大次数 の記事の定理「元の次数と単純拡大の次数」）。有限次の場合から $K(\alpha)$ は完全体であり、$\alpha=\beta^p$ となる $\beta\in K(\alpha)\subset L$ がある。よって $L$ は完全体である。
2：$L^p=L$ なので、上のことから $[L:K^p]=[L^p:K^p]=[L:K]<\infty$ である。$K^p\subset K\subset L$ に乗法性を用いると $[L:K^p]=[L:K]\,[K:K^p]$ なので $[K:K^p]=1$、すなわち $K^p=K$ である。$\square$