体積と回転体

底面が円板 $x^2+y^2\le r^2$ で、$x$ 軸に垂直な平面で切った断面が、底面上の弦を 1 辺とする正三角形になる立体を考える。位置 $x$ の弦の長さは $2\sqrt{r^2-x^2}$ なので、断面積は $\frac{\sqrt3}4\bigl(2\sqrt{r^2-x^2}\bigr)^2=\sqrt3(r^2-x^2)$ であり、
$$ V=\int_{-r}^r\sqrt3(r^2-x^2)\,dx=\frac{4\sqrt3}3r^3 $$
である。同じ計算で、半径 $r$ の球（断面は半径 $\sqrt{r^2-x^2}$ の円板）の体積は $\int_{-r}^r\pi(r^2-x^2)\,dx=\frac43\pi r^3$ である。

$E=\{(x,y)\mid0\le y\le x\le1\}$ を含む正方形 $[0,1]^2$ を、1 辺 $\frac1n$ の $n^2$ 個の正方形のセル $\bigl[\frac{i-1}n,\frac in\bigr]\times\bigl[\frac{j-1}n,\frac jn\bigr]$ に分ける。セルが $E$ に含まれるのは $j\le i-1$ のとき、$E$ と共通点をもつのは $j\le i+1$ のときなので、
$$ a_*=\frac1{n^2}\cdot\frac{n(n-1)}2=\frac{n-1}{2n},\qquad a^*=\frac1{n^2}\cdot\frac{n^2+3n-2}2 $$
である（$n=10$ で $0.45$ と $0.64$）。$n\to\infty$ で両者は $\frac12$ に近づくので、$E$ は面積をもち、$\mathrm{area}(E)=\frac12$ である。

1. 面積 $B$ の平面図形を底面とし、底面を平行移動しながら高さ $h$ まで積み上げた柱（斜めの柱でもよい）は、どの高さの断面も底面の平行移動なので面積 $B$ であり、体積は $\int_0^hB\,dz=Bh$ である。直円柱と同じ体積になる。
2. 面積 $B$ の底面と、底面から高さ $h$ の頂点をもつ錐（円錐・角錐など）を考える。頂点から距離 $t$ の平面での断面は、頂点を中心に底面を $\frac th$ 倍に縮小した図形なので、面積は $B\bigl(\frac th\bigr)^2$ である。よって
   $$ V=\int_0^hB\frac{t^2}{h^2}\,dt=\frac13Bh $$
   であり、底面の形によらず「底面積 × 高さ ÷ 3」となる。

半径 $r$ の半球 $\{x^2+y^2+z^2\le r^2,\ z\ge0\}$ と、半径 $r$・高さ $r$ の円柱から、上面を底面とし頂点を原点とする円錐をくり抜いた立体 $L$ を比べる。高さ $z$（$0\le z\le r$）での半球の断面は半径 $\sqrt{r^2-z^2}$ の円板で、面積は $\pi(r^2-z^2)$ である。$L$ の断面は半径 $r$ の円板から半径 $z$ の円板を除いた円環で、面積は $\pi r^2-\pi z^2$ である。両者は等しいので、cor-vcav-cavalieri により
$$ \text{半球の体積}=\pi r^2\cdot r-\frac13\pi r^2\cdot r=\frac23\pi r^3 $$
であり、球の断面積を積分しなくても、円柱と円錐の体積（ex-vcav-prism-cone）から球の体積 $\frac43\pi r^3$ が得られる。

半径 $r$ の 2 つの円柱 $y^2+z^2\le r^2$（$x$ 軸が中心軸）と $x^2+z^2\le r^2$（$y$ 軸が中心軸）の共通部分 $K$ の体積を求める。
$x$ 軸に垂直な平面で切ると、断面は円板 $y^2+z^2\le r^2$ を帯 $|z|\le\sqrt{r^2-x^2}$ で切り取った図形で、面積は弓形の面積の公式を使う複雑な式になる。これに対し、$z$ 軸に垂直な平面で切ると、断面は $|x|\le\sqrt{r^2-z^2}$、$|y|\le\sqrt{r^2-z^2}$ の正方形で、面積は $4(r^2-z^2)$ である。よって
$$ \mathrm{vol}(K)=\int_{-r}^r4(r^2-z^2)\,dz=\frac{16}3r^3 $$
である。2 つの中心軸の両方に平行な平面で切ると、どちらの円柱も幅 $2\sqrt{r^2-z^2}$ の帯として現れ、断面が単純になる。

$y=\sqrt x$（$0\le x\le4$）と $x$ 軸の間の図形を $x$ 軸の周りに回転させると、thm-vcav-disk により
$$ V=\pi\int_0^4x\,dx=8\pi=25.13\ldots $$
である。これは外接する半径 $2$・長さ $4$ の円柱の体積 $16\pi$ のちょうど半分である。

$D=\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le\sin x\}$ を $y$ 軸の周りに回転させる。殻の方法では、部分積分により
$$ V=2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx=2\pi\bigl[-x\cos x+\sin x\bigr]_0^\pi=2\pi^2 $$
である。$y$ 軸に垂直に切る方法では、高さ $y$（$0\le y\le1$）での断面が内径 $\arcsin y$・外径 $\pi-\arcsin y$ の円環なので、
$$ V=\pi\int_0^1\bigl((\pi-\arcsin y)^2-(\arcsin y)^2\bigr)\,dy=\pi\int_0^1\bigl(\pi^2-2\pi\arcsin y\bigr)\,dy=\pi\Bigl(\pi^2-2\pi\bigl(\tfrac\pi2-1\bigr)\Bigr)=2\pi^2 $$
となる（$\int_0^1\arcsin y\,dy=\frac\pi2-1$）。値は一致するが、逆関数を 2 本使う分だけ手間がかかる。

$f(x)=h\bigl(1-\frac xr\bigr)$（$0\le x\le r$）なら、立体は底面の半径 $r$・高さ $h$ の円錐で、どちらの方法でも $\frac13\pi r^2h$ になる。$f(x)=H\bigl(1-\frac{x^2}{R^2}\bigr)$ なら回転放物面の内部で、$g(y)=R\sqrt{1-y/H}$ から $\pi\int_0^HR^2(1-\frac yH)\,dy=\frac12\pi R^2H$、殻の方法でも $2\pi\int_0^RxH(1-\frac{x^2}{R^2})\,dx=\frac12\pi R^2H$ である。

$R\ge r>0$ とし、中心 $(0,R)$・半径 $r$ の円板 $D$ を $x$ 軸の周りに回転させた立体（トーラス、ドーナツ形）の体積を求める。$D$ は $f(x)=R+\sqrt{r^2-x^2}$、$g(x)=R-\sqrt{r^2-x^2}$（$-r\le x\le r$）の間の縦線図形で、$g\ge0$ である。$A=\pi r^2$ であり、
$$ \frac{f^2-g^2}2=\frac{(f+g)(f-g)}2=R\cdot2\sqrt{r^2-x^2} $$
なので $A\bar y=R\int_{-r}^r2\sqrt{r^2-x^2}\,dx=R\cdot\pi r^2$、すなわち $\bar y=R$（円板の中心）である。thm-vcav-pappus により
$$ V=2\pi R\cdot\pi r^2=2\pi^2Rr^2 $$
である。$R=2$、$r=1$ なら $4\pi^2=39.47\ldots$ である。「円板を長さ $2\pi R$ の円柱に伸ばした体積」と同じになる。

半径 $r$ の半円板 $\{x^2+y^2\le r^2,\ y\ge0\}$ を $x$ 軸の周りに回転させると半径 $r$ の球になる。thm-vcav-pappus から $\frac43\pi r^3=2\pi\bar y\cdot\frac12\pi r^2$ なので、$\bar y=\frac{4r}{3\pi}=0.424\ldots\times r$ である。同様に、頂点 $(0,0)$、$(h,0)$、$(h,r)$ の直角三角形（$0\le y\le\frac rhx$）では $A=\frac12rh$、$\bar y=\frac r3$ で、$x$ 軸の周りの回転体（円錐）の体積 $2\pi\cdot\frac r3\cdot\frac12rh=\frac13\pi r^2h$ が再現される。

$D=\{0\le x\le1,\ x-1\le y\le x\}$ を $x$ 軸の周りに回転させる。$D$ は $x$ 軸をまたいでいる（$g(x)=x-1<0$）。円環の公式をそのまま使うと
$$ \pi\int_0^1\bigl(x^2-(x-1)^2\bigr)dx=\pi\int_0^1(2x-1)\,dx=0 $$
となり、明らかに誤りである。位置 $x$ の断面は、$y$ が $x-1$ から $x$ までの線分（$0$ を含む）を回転させたものなので、半径 $\max(x,1-x)$ の円板である。正しい体積は
$$ \pi\int_0^1\max(x,1-x)^2\,dx=2\pi\int_{1/2}^1x^2\,dx=\frac7{12}\pi $$
である。$\pi\int(f^2+g^2)$ としても $\frac23\pi$ で誤る。軸の下側の部分は折り返すと上側の部分と重なり、重なった部分は二重に数えてはいけない。この反例は、$0\le g$ の仮定を外すと thm-vcav-disk の等式が成り立たないことを示す。

半径 $r$・高さ $h$ の直円柱を、中心軸を含む半平面で切ると、断面はどの向きでも $r\times h$ の長方形で、面積は $rh$ である。向きの角 $\theta$（$0\le\theta<2\pi$）について断面積を積分すると $\int_0^{2\pi}rh\,d\theta=2\pi rh$ となるが、体積は $\pi r^2h$ であり、$r\ne2$ なら値が違う。
誤りの原因は、隣り合う 2 つの半平面の間の「板」の厚さが一定でないことである。軸から距離 $\rho$ の所での厚さは $\rho\,\Delta\theta$ で、軸から離れるほど厚い。正しくは、断面の各点に厚さの比 $\rho$ を掛けて $\int_0^{2\pi}\Bigl(\int_0^r\rho h\,d\rho\Bigr)d\theta=\pi r^2h$ となる（円柱座標への変数変換。本記事では証明しない）。内側の積分 $\int_0^r\rho h\,d\rho=\frac{r^2h}2$ は「断面の面積 $rh$ × 断面の重心の軸からの距離 $\frac r2$」であり、これは Pappus–Guldinus の定理と同じ形である。この反例は「どんな切り方でも、断面積をパラメータで積分すれば体積になる」という主張を破る。平行な平面で切り、平面の間の距離で積分するという条件は外せない。

立方体 $[0,1]^3$ に、平面 $x=2$ 上の点の集合 $\{2\}\times\bigl((\mathbb{Q}\cap[0,1])\times(\mathbb{Q}\cap[0,1])\bigr)$ を付け加えた立体 $K$ を考える。付け加えた集合は正方形 $\{2\}\times[0,1]^2$ に含まれるので体積 $0$ で、$K$ は体積 $1$ をもつ。しかし位置 $x=2$ の断面は、座標が両方とも有理数の点の集合で、内側の和はつねに $0$、外側の和はつねに $1$ 以上なので面積をもたない。この反例は「体積をもつ立体の断面はどれも面積をもつ」という主張を破る。このため thm-vcav-slice では「各断面が面積をもつ」を仮定に入れた。