スキームのファイバー積

1：$j\colon U\to X$ を包含射、$i\colon p^{-1}(U)\to P$ を包含射、$p'\colon p^{-1}(U)\to U$ を $p\circ i$ が $U$ を経由することから得られる射（開部分スキーム の記事の定理「開部分スキームの普遍性」）とする。次の図式を考える。
$$ \xymatrix{ p^{-1}(U) \ar[r]^-{i} \ar[d]_{p'} & P \ar[r]^{q} \ar[d]_{p} & Y \ar[d]^{g} \\ U \ar[r]_{j} & X \ar[r]_{f} & S } $$
右の方形は仮定により引き戻しである。左の方形は、開埋め込み の記事の命題「開埋め込みの底変換」（開埋め込み $j$ の $p$ に沿った底変換は、開部分スキーム $p^{-1}(j(U))$ とその包含射）により引き戻しである。引き戻し(圏論) の記事の命題「貼り合わせ補題」により、外側の長方形 $(p^{-1}(U),\,q\circ i,\,p')$ は $f\circ j=f|_U$ と $g$ の引き戻しである。これが主張である。$V\subset Y$ については $X$ と $Y$ の役割を入れ替えればよい（$(P,q,p)$ は $g$ と $f$ のファイバー積である）。
2：$e\colon W\to S$ を包含射とすると $f=e\circ f'$、$g=e\circ g'$ である。$e$ はモノ射（開部分スキーム の記事の系「包含射はモノ射」）なので、射 $a\colon T\to X$、$b\colon T\to Y$ について $f\circ a=g\circ b$ と $f'\circ a=g'\circ b$ は同値である。とくに $f'\circ p=g'\circ q$ であり、2 つのファイバー積の普遍性は同じ組 $(a,b)$ についての同じ条件になる。$\square$

$\bar p_i:=\iota_i\circ p_i\colon P_i\to X$ とおき、$X_{ij}:=X_i\cap X_j$、$P_{ij}:=\bar p_i^{-1}(X_{ij})\subset P_i$ とする。以下、射が射の組で決まるという議論では、次の事実を繰り返し使う。
（＊）射 $c,c'\colon T\to P_k$ が $\bar p_k\circ c=\bar p_k\circ c'$ かつ $q_k\circ c=q_k\circ c'$ をみたせば $c=c'$ である。
実際、$\iota_k$ はモノ射なので $p_k\circ c=p_k\circ c'$ であり、ファイバー積 $P_k$ の普遍性の一意性から $c=c'$ である。
貼り合わせのデータ。 lem-fiber-product-of-schemes-open-restriction の 1 により、$P_{ij}$ と $p_i,q_i$ の制限は $X_{ij}\to S$ と $g$ のファイバー積であり、$P_{ji}\subset P_j$ も同じ 2 つの射のファイバー積である。引き戻しの一意性により、同型 $\varphi_{ij}\colon P_{ij}\to P_{ji}$ で
$$ \bar p_j\circ\varphi_{ij}=\bar p_i,\qquad q_j\circ\varphi_{ij}=q_i\qquad(P_{ij}\text{ 上}) $$
をみたすものがただ 1 つある。$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$ であり、$\varphi_{ji}\circ\varphi_{ij}$ は $P_{ij}$ の自己同型で同じ等式をみたすので、（＊）により恒等射である。よって $\varphi_{ji}=\varphi_{ij}^{-1}$ である。
次に スキーム の記事の命題「スキームの貼り合わせ」の条件 2 を確かめる。$z\in P_{ij}$ について $\bar p_j(\varphi_{ij}(z))=\bar p_i(z)$ なので、$z\in P_{ij}\cap P_{ik}$（$\bar p_i(z)\in X_i\cap X_j\cap X_k$）であることと $\varphi_{ij}(z)\in P_{ji}\cap P_{jk}$ であることは同値であり、$\varphi_{ij}$ は全単射なので $\varphi_{ij}(P_{ij}\cap P_{ik})=P_{ji}\cap P_{jk}$ である。$P_{ij}\cap P_{ik}$ の上で、$\varphi_{ik}$ と $\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}$ を $P_k$ への射とみると、どちらも $\bar p_k\circ(\cdot)=\bar p_i$、$q_k\circ(\cdot)=q_i$ をみたすので、（＊）により等しい。開部分スキームの包含射はモノ射なので、$P_{ki}\cap P_{kj}$ への射としても等しい。
貼り合わせと射影。 命題「スキームの貼り合わせ」により、スキーム $P$ と開埋め込み $\psi_i\colon P_i\to P$ で、$P=\bigcup_i\psi_i(P_i)$、$\psi_i(P_{ij})=\psi_i(P_i)\cap\psi_j(P_j)$、$P_{ij}$ 上で $\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$ をみたすものがある。開集合 $\psi_i(P_i)$ の上の射 $\bar p_i\circ\psi_i^{-1}\colon\psi_i(P_i)\to X$ は、重なり $\psi_i(P_{ij})$ の上で $\bar p_j\circ\psi_j^{-1}=\bar p_j\circ\varphi_{ij}\circ\psi_i^{-1}=\bar p_i\circ\psi_i^{-1}$ と一致する。スキーム の記事の補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」により、$p\circ\psi_i=\bar p_i$ をみたす射 $p\colon P\to X$ がある。同様に $q\circ\psi_i=q_i$ をみたす $q\colon P\to Y$ がある。各 $\psi_i(P_i)$ の上で $f\circ p$ と $g\circ q$ はそれぞれ $f\circ\bar p_i\circ\psi_i^{-1}$、$g\circ q_i\circ\psi_i^{-1}$ であり、これらは等しいので、同じ補題の一意性により $f\circ p=g\circ q$ である。
$p^{-1}(X_i)=\psi_i(P_i)$ を示す。$\supset$ は $p\circ\psi_i=\bar p_i$ による。逆に $z=\psi_j(w)$（$w\in P_j$）が $p(z)\in X_i$ をみたせば、$\bar p_j(w)\in X_{ij}$ なので $w\in P_{ji}$ であり、$z=\psi_j(\varphi_{ij}(\varphi_{ji}(w)))=\psi_i(\varphi_{ji}(w))\in\psi_i(P_i)$ である。
普遍性。 $a\colon T\to X$、$b\colon T\to Y$ が $f\circ a=g\circ b$ をみたすとする。$T_i:=a^{-1}(X_i)$ とおくと $\{T_i\}$ は $T$ の開被覆であり、$a|_{T_i}$ は $X_i$ を経由する射 $a_i\colon T_i\to X_i$ を定める。$f|_{X_i}\circ a_i=g\circ b|_{T_i}$ なので、$P_i$ の普遍性により $p_i\circ c_i=a_i$、$q_i\circ c_i=b|_{T_i}$ をみたす $c_i\colon T_i\to P_i$ がある。$T_i\cap T_j$ の上では $\bar p_i\circ c_i=a$ の値が $X_{ij}$ に入るので $c_i$ は $P_{ij}$ を経由し、$\varphi_{ij}\circ c_i$ と $c_j$ はどちらも $T_i\cap T_j\to P_j$ で $\bar p_j\circ(\cdot)=a$、$q_j\circ(\cdot)=b$ をみたす。（＊）により両者は等しく、
$$ \psi_i\circ c_i=\psi_j\circ\varphi_{ij}\circ c_i=\psi_j\circ c_j\qquad(T_i\cap T_j\text{ 上}) $$
である。補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」により、$c|_{T_i}=\psi_i\circ c_i$ をみたす $c\colon T\to P$ がある。各 $T_i$ の上で $p\circ c=\bar p_i\circ c_i=a$、$q\circ c=q_i\circ c_i=b$ なので、同じ補題の一意性により $p\circ c=a$、$q\circ c=b$ である。
一意性：$c'\colon T\to P$ も $p\circ c'=a$、$q\circ c'=b$ をみたすとする。$c'(T_i)\subset p^{-1}(X_i)=\psi_i(P_i)$ であり、$\psi_i$ は開部分スキーム $\psi_i(P_i)$ への同型なので、開部分スキーム の記事の定理「開部分スキームの普遍性」により $c'|_{T_i}=\psi_i\circ c_i'$ となる $c_i'\colon T_i\to P_i$ がある。$\bar p_i\circ c_i'=p\circ c'|_{T_i}=a|_{T_i}$、$q_i\circ c_i'=b|_{T_i}$ なので、（＊）により $c_i'=c_i$ である。よって各 $T_i$ の上で $c'=c$ であり、$c'=c$ である。
$Y$ の開被覆の場合は、$(P,q,p)$ が $g$ と $f$ のファイバー積であることを使い、$X$ と $Y$ の役割を入れ替えればよい。$\square$

1 を 4 段階で示す。
第 1 段（すべてアフィン）。 $X,Y,S$ がアフィンのときは、上で述べた 底変換 の記事の定理「アフィンスキームの底変換」による。
第 2 段（$S$ と $Y$ がアフィン）。 $X$ をアフィン開集合 $X_i$ で覆うと、第 1 段により $X_i\times_SY$ が存在するので、lem-fiber-product-of-schemes-gluing により $X\times_SY$ が存在する。
第 3 段（$S$ がアフィン）。 $Y$ をアフィン開集合 $Y_j$ で覆うと、第 2 段により $X\times_SY_j$ が存在するので、lem-fiber-product-of-schemes-gluing を $Y$ の開被覆について使えば $X\times_SY$ が存在する。
第 4 段（一般の場合）。 $S$ をアフィン開集合 $S_\alpha$ で覆い、$X_\alpha:=f^{-1}(S_\alpha)$、$Y_\alpha:=g^{-1}(S_\alpha)$ とおく。$X_\alpha\to S_\alpha$、$Y_\alpha\to S_\alpha$ のファイバー積は第 3 段により存在し、lem-fiber-product-of-schemes-open-restriction の 2 により $f|_{X_\alpha}$ と $g|_{Y_\alpha}$ の（$S$ 上の）ファイバー積 $(P_\alpha,p_\alpha,q_\alpha)$ でもある。これが $f|_{X_\alpha}$ と $g$ のファイバー積であることを示す。$a\colon T\to X_\alpha$、$b\colon T\to Y$ が $f\circ a=g\circ b$ をみたせば、$g(b(T))=f(a(T))\subset S_\alpha$ なので $b(T)\subset Y_\alpha$ であり、開部分スキーム の記事の定理「開部分スキームの普遍性」により $b$ は $Y_\alpha$ を経由する射 $b'$ と一対一に対応する。したがって組 $(a,b)$ と組 $(a,b')$ は一対一に対応し、$P_\alpha$ の普遍性がそのまま $f|_{X_\alpha}$ と $g$ の普遍性になる。$\{X_\alpha\}$ は $X$ の開被覆なので、lem-fiber-product-of-schemes-gluing により $X\times_SY$ が存在する。
2 を示す。lem-fiber-product-of-schemes-open-restriction の 1 を $U$ に使うと、$p^{-1}(U)$ は $U\times_SY$ であり、その第 2 射影は $q$ の制限である。もう一度 $V$ について使うと、$p^{-1}(U)\cap q^{-1}(V)$ は $U\times_SV$ である。$f(U)$、$g(V)$ は $W$ に入るので、同じ補題の 2 により、これは $U\times_WV$ でもある。
3 を示す。$z\in X\times_SY$ をとり、$f(p(z))$ を含む $S$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}R$、$p(z)$ を含む $f^{-1}(\operatorname{Spec}R)$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A$、$q(z)$ を含む $g^{-1}(\operatorname{Spec}R)$ のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}B$ をとる（アフィン開集合は開基をなす。スキーム の記事の命題「開部分スキームはスキームである」）。2 により $z$ を含む開部分スキーム $p^{-1}(\operatorname{Spec}A)\cap q^{-1}(\operatorname{Spec}B)$ は $\operatorname{Spec}A\times_{\operatorname{Spec}R}\operatorname{Spec}B$ であり、第 1 段とファイバー積の一意性により $\operatorname{Spec}(A\otimes_RB)$ に同型である。$\square$

要点：$s:=f(x)=g(y)$ とし、剰余体のテンソル積 $\kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}\kappa(y)$ の剰余体 $K$ をとると、$\kappa(x)$ と $\kappa(y)$ が $\kappa(s)$ 上両立して $K$ に入るので、$x$、$y$ を通る射 $\operatorname{Spec}K\to X$、$\operatorname{Spec}K\to Y$ が $S$ 上で両立し、普遍性が $\operatorname{Spec}K\to X\times_SY$ を与える。