接錐

$B=P_{\mathfrak{m}_0}$、$\mathfrak{n}=\mathfrak{m}_0B$ とおくと、$A=B/IB$ である。
段 1：$\operatorname{gr}_{\mathfrak{n}}B=P$。 $\mathfrak{m}_0^d/\mathfrak{m}_0^{d+1}$ は $d$ 次斉次多項式の空間 $P_d$ と同一視され、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}_0}P=\bigoplus_dP_d=P$ である。随伴次数環 の命題「任意の局所化」から $\operatorname{gr}_{\mathfrak{n}}B=(\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}_0}P)_{\mathfrak{m}_0}$ であり、$s\notin\mathfrak{m}_0$ は各 $P_d$ に定数 $s(0)\ne0$ 倍として可逆に作用するので、局所化しても変わらない。また $s\notin\mathfrak{m}_0$ は $s=s(0)(1-u)$（$u\in\mathfrak{m}_0$）と書け、$u$ は $P/\mathfrak{m}_0^d$ で冪零なので $s$ はそこで可逆である。よって $P/\mathfrak{m}_0^d\to B/\mathfrak{n}^d$ は同型で、$\mathfrak{n}^d\cap P=\mathfrak{m}_0^d$ であり、$f\in P$ の $B$ での位数（$f\in\mathfrak{n}^d$ となる最大の $d$）は $P$ での位数に等しい。$h\in B$ の位数が $d$ のとき、$h$ の $\mathfrak{n}^d/\mathfrak{n}^{d+1}=P_d$ での類を $\operatorname{in}(h)$ と書く。$\operatorname{gr}_{\mathfrak{n}}B=P$ は整域なので $\operatorname{in}(hh')=\operatorname{in}(h)\operatorname{in}(h')$ である。
段 2：商の随伴次数環。 随伴次数環 の定理「商の随伴次数環」により
$$ \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong\operatorname{gr}_{\mathfrak{n}}B/\operatorname{in}_{\mathfrak{n}}(IB),\qquad \operatorname{in}_{\mathfrak{n}}(IB)_d=\frac{(IB\cap\mathfrak{n}^d)+\mathfrak{n}^{d+1}}{\mathfrak{n}^{d+1}}. $$
$IB\cap\mathfrak{n}^d$ の元は $\mathfrak{n}^{d+1}$ に入るか位数がちょうど $d$ なので、$\operatorname{in}_{\mathfrak{n}}(IB)_d=\{\operatorname{in}(h)\mid h\in IB,\ \text{位数 }d\}\cup\{0\}$ である。
段 3：$\operatorname{in}_{\mathfrak{n}}(IB)=I^*$。 $h\in IB$ は $h=f/s$（$f\in I$、$s\notin\mathfrak{m}_0$）と書ける。$f=sh$ と段 1 から $\operatorname{in}(f)=\operatorname{in}(s)\operatorname{in}(h)=s(0)\operatorname{in}(h)$ なので、$\operatorname{in}(h)=s(0)^{-1}\operatorname{in}(f)$ は $I$ の元の最低次の部分の定数倍である。逆に $f\in I\subset IB$ の最低次の部分は $\operatorname{in}(f)$ そのものである。よって $d$ 次の部分について
$$ \operatorname{in}_{\mathfrak{n}}(IB)_d=\{\operatorname{in}(f)\mid f\in I,\ \text{位数 }d\}\cup\{0\} $$
となる。右辺の全次数の和は $I^*$ に一致する。実際、$\operatorname{in}(f)+\operatorname{in}(f')$（同じ次数 $d$）は $0$ か $\operatorname{in}(f+f')$ であり、$d'$ 次斉次式 $g$ について $g\operatorname{in}(f)=\operatorname{in}(gf)$ なので、右辺の和はすでに斉次イデアルで、最低次の部分を全部含む最小のものである。以上から $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong P/I^*$ であり、この同型は $x_i$ を $x_i$ の類に送る。$\square$

$(f)$ の $0$ でない元は $gf$（$g\ne0$）で、$\operatorname{in}(gf)=\operatorname{in}(g)f_m$（$P$ は整域で、最低次の部分どうしの積は $0$ でない）。よって $(f)^*$ の生成元はすべて $f_m$ の倍元で、$f_m$ 自身も含まれるので $(f)^*=(f_m)$。$2$ 変数の斉次式が代数閉体上で一次式の積に分解することは、$f_m(x,y)=y^m f_m(x/y,1)$ などの脱斉次化と $1$ 変数多項式の分解から従う。$\square$

cor-tangent-cone-hypersurface と thm-tangent-cone-affine から $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong P/(f_m)$ である。$P$ は整域なので $f_m$ 倍 $P_{d-m}\to P_d$ は単射であり、$\dim_kP_d=\binom{d+n-1}{n-1}$ から
$$ \dim_k\mathfrak{m}^d/\mathfrak{m}^{d+1}=\binom{d+n-1}{n-1}-\binom{d-m+n-1}{n-1} $$
（$d< m$ では第 2 項を $0$ とする）。$\sum_{d=0}^{t}\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{t+n}{n}$（Pascal の三角形の斜めの和）を使うと、$t\ge m-1$ について
$$ H(t):=\ell_A(A/\mathfrak{m}^{t+1})=\binom{t+n}{n}-\binom{t+n-m}{n}. $$
$\binom{t+n}{n}=\frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n}(t+i)$、$\binom{t+n-m}{n}=\frac{1}{n!}\prod_{i=1}^{n}(t+i-m)$ の $t^n$ の係数はともに $\frac1{n!}$、$t^{n-1}$ の係数はそれぞれ $\frac1{n!}\sum_{i=1}^n i$、$\frac1{n!}\sum_{i=1}^n(i-m)$ である。よって $H(t)$ は $t$ の $n-1$ 次多項式で、最高次の係数は $\frac{nm}{n!}=\frac{m}{(n-1)!}$ である。
Hilbert–Samuel多項式 の定理「Hilbert–Samuel 次元定理」から $\dim A=\deg H=n-1$ であり、同記事の重複度の定義（$t^{\dim A}$ の係数が $e/(\dim A)!$）から $e(A)=m$ である。
正則性について。$m=1$ なら $f_1$ は $0$ でない一次式で、一次の座標変換で $f_1=x_n$ としてよく、$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}A\cong k[x_1,\dots,x_{n-1}]$ は $n-1=\dim A$ 変数の多項式環である。正則局所環 の定理「随伴次数環が多項式環になること」から $A$ は正則である。$m\ge2$ なら $f\in\mathfrak{m}_0^2$ なので $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=\mathfrak{m}_0/\mathfrak{m}_0^2$ は $n$ 次元であり、$n>\dim A$ なので $A$ は正則でない。$\square$

要点：全射は次数 $1$ での生成から来る。同型なら随伴次数環が多項式環で正則、正則なら各次数の次元が一致して全射が同型になる。