Dolbeaultコホモロジー

$H^{0,0}_{\bar\partial}(E)=\mathbb{C}$ は $E$ がコンパクトで連結なことによる。$H^{1,0}_{\bar\partial}(E)=\Omega^1(E)$ の元は $f\,dz$（$f$ は $E$ 上の正則関数）で、$f$ は定数だから $\Omega^1(E)=\mathbb{C}\,dz$ である。
残る 2 つは、作用素 $\partial/\partial\bar z\colon C^\infty(E)\to C^\infty(E)$ の像を決めれば得られる。実際、$\mathcal{A}^{0,1}(E)=\{f\,d\bar z\}$、$\mathcal{A}^{1,1}(E)=\{f\,dz\wedge d\bar z\}$（$f\in C^\infty(E)$）であり、$\bar\partial u=(\partial u/\partial\bar z)\,d\bar z$、$\bar\partial(g\,dz)=(\partial g/\partial\bar z)\,d\bar z\wedge dz=-(\partial g/\partial\bar z)\,dz\wedge d\bar z$ であるから、
$$ H^{0,1}_{\bar\partial}(E)\cong C^\infty(E)\big/\tfrac{\partial}{\partial\bar z}C^\infty(E)\cong H^{1,1}_{\bar\partial}(E) $$
である（$(0,1)$ 形式は次元の理由からすべて $\bar\partial$ 閉である）。
次を示す：$\Phi\colon C^\infty(E)\to\mathbb{C}$ を $\Phi(f):=\int_0^1\!\!\int_0^1 f(s\omega_1+t\omega_2)\,ds\,dt$ で定めると、$\operatorname{im}(\partial/\partial\bar z)=\ker\Phi$ である。$\Phi$ は定数関数の上で全射なので、これから $C^\infty(E)/\tfrac{\partial}{\partial\bar z}C^\infty(E)\cong\mathbb{C}$ が従い、$\Phi(1)=1\ne0$ から $[d\bar z]$、$[dz\wedge d\bar z]$ が生成元である。また、座標変換 $(s,t)\mapsto s\omega_1+t\omega_2$ の Jacobi 行列式（Jacobi行列）は $0$ でない定数 $\operatorname{Im}(\bar\omega_1\omega_2)$ なので、$\Phi(f)=0$ と $\int_Ef\,dx\,dy=0$ は同値である。
実座標 $(s,t)\in\mathbb{R}^2$ を $z=s\omega_1+t\omega_2$ で入れると、$\Lambda$ 周期的な関数は $(s,t)$ について $\mathbb{Z}^2$ 周期的な関数である。$\mathbb{Z}^2$ 周期的な $C^\infty$ 級関数 $f$ は Fourier 級数（Fourier級数）
$$ f=\sum_{(m,n)\in\mathbb{Z}^2}a_{mn}(f)\,e_{mn},\qquad e_{mn}(s,t):=e^{2\pi i(ms+nt)},\qquad a_{mn}(f):=\int_0^1\!\!\int_0^1f\,\overline{e_{mn}}\,ds\,dt $$
に展開され、係数は急減少（任意の $k$ について $\sup_{m,n}(1+m^2+n^2)^k|a_{mn}(f)|<\infty$）で、級数は各階の導関数まで込めて一様収束する。逆に急減少な係数列 $(a_{mn})$ に対し $\sum a_{mn}e_{mn}$ は $\mathbb{Z}^2$ 周期的な $C^\infty$ 級関数を定め、項別微分ができる（Fol99 §8.3）。とくに $\Phi(f)=a_{00}(f)$ である。
$\partial/\partial\bar z$ を $(s,t)$ で書く。$\partial z/\partial s=\omega_1$、$\partial\bar z/\partial s=\bar\omega_1$、$\partial z/\partial t=\omega_2$、$\partial\bar z/\partial t=\bar\omega_2$ なので、連鎖律（連鎖律）により $\partial_s=\omega_1\partial_z+\bar\omega_1\partial_{\bar z}$、$\partial_t=\omega_2\partial_z+\bar\omega_2\partial_{\bar z}$ である。$\delta:=\omega_1\bar\omega_2-\bar\omega_1\omega_2=-2i\operatorname{Im}(\bar\omega_1\omega_2)$ とおくと、$\omega_2/\omega_1=\bar\omega_1\omega_2/|\omega_1|^2\notin\mathbb{R}$ より $\delta\ne0$ で、
$$ \omega_1\partial_t-\omega_2\partial_s=(\omega_1\bar\omega_2-\omega_2\bar\omega_1)\partial_{\bar z}=\delta\,\partial_{\bar z} $$
である。したがって
$$ \frac{\partial e_{mn}}{\partial\bar z}=\frac{2\pi i(n\omega_1-m\omega_2)}{\delta}\,e_{mn}=:c_{mn}e_{mn} $$
であり、$\omega_1$、$\omega_2$ が $\mathbb{R}$ 上一次独立なので $c_{mn}=0$ となるのは $(m,n)=(0,0)$ のときに限る。さらに、$\mathbb{R}$ 線形写像 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{C}$、$(m,n)\mapsto n\omega_1-m\omega_2$ は単射で、単位円周上で連続かつ $0$ にならないから、定数 $c>0$ があって $|c_{mn}|\ge c\sqrt{m^2+n^2}$ がすべての $(m,n)\ne(0,0)$ で成り立つ。
$u\in C^\infty(E)$ に対し、項別微分により $\partial u/\partial\bar z=\sum_{m,n}c_{mn}a_{mn}(u)e_{mn}$、すなわち $a_{mn}(\partial u/\partial\bar z)=c_{mn}a_{mn}(u)$ である。とくに $a_{00}(\partial u/\partial\bar z)=0$ なので $\operatorname{im}(\partial/\partial\bar z)\subset\ker\Phi$ である。逆に $f\in\ker\Phi$、すなわち $a_{00}(f)=0$ とする。$b_{mn}:=a_{mn}(f)/c_{mn}$（$(m,n)\ne(0,0)$）、$b_{00}:=0$ とおくと、$|b_{mn}|\le|a_{mn}(f)|/(c\sqrt{m^2+n^2})$ なので $(b_{mn})$ は急減少であり、$u:=\sum b_{mn}e_{mn}$ は $\mathbb{Z}^2$ 周期的な $C^\infty$ 級関数、すなわち $C^\infty(E)$ の元で、項別微分により $\partial u/\partial\bar z=\sum_{(m,n)\ne(0,0)}c_{mn}b_{mn}e_{mn}=\sum_{m,n}a_{mn}(f)e_{mn}=f$ である。ゆえに $\ker\Phi\subset\operatorname{im}(\partial/\partial\bar z)$ であり、主張が示された。
まとめると $h^{0,0}=h^{1,0}=h^{0,1}=h^{1,1}=1$ である。$E$ は実 2 次元トーラスに微分同相で $b_0=1$、$b_1=2$、$b_2=1$ であり、$b_k=\sum_{p+q=k}h^{p,q}$ が成り立っている。これは $E$ が Kähler であることの帰結でもある（Hodge分解）。

まず可積分性を確かめる。$w=z+\rho e^{i\theta}$ と極座標をとると $|dw\wedge d\bar w|=2\rho\,d\rho\,d\theta$ なので、$1/|w-z|$ は $z$ の近傍で可積分であり、$\partial f/\partial\bar w$ は $\bar D$ 上有界だから第 2 項は絶対収束する。
$\varepsilon>0$ を $\bar D_\varepsilon:=\{|w-z|\le\varepsilon\}\subset D$ となるようにとり、$D'_\varepsilon:=D\setminus\bar D_\varepsilon$ とおく。$D'_\varepsilon$ の近傍で定義された 1 形式 $\eta:=\frac{f(w)}{w-z}\,dw$ を考える。$1/(w-z)$ は $w\ne z$ で正則なので $\partial(1/(w-z))/\partial\bar w=0$ であり、
$$ d\eta=\frac{\partial}{\partial\bar w}\Bigl(\frac{f(w)}{w-z}\Bigr)d\bar w\wedge dw=-\frac{(\partial f/\partial\bar w)(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w $$
である。$D'_\varepsilon$ の境界は $\partial D$（反時計回り）と $\partial D_\varepsilon$（時計回り）からなるので、Stokes の定理（Stokesの定理）により
$$ -\int_{D'_\varepsilon}\frac{(\partial f/\partial\bar w)(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w=\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\,dw-\int_{\partial D_\varepsilon}\frac{f(w)}{w-z}\,dw $$
である（$\partial D_\varepsilon$ は反時計回り）。$w=z+\varepsilon e^{i\theta}$ とおくと $\int_{\partial D_\varepsilon}\frac{f(w)}{w-z}\,dw=\int_0^{2\pi}f(z+\varepsilon e^{i\theta})\,i\,d\theta$ で、$f$ の連続性により $\varepsilon\to0$ のとき $2\pi i\,f(z)$ に収束する。左辺は可積分性により $\varepsilon\to0$ のとき $D$ 全体での積分に収束する。よって極限で
$$ -\int_D\frac{(\partial f/\partial\bar w)(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w=\int_{\partial D}\frac{f(w)}{w-z}\,dw-2\pi i\,f(z) $$
となり、整理すれば主張の式である。$f$ が正則なら第 2 項が消え、Cauchy の積分公式（Cauchyの積分公式）に戻る。

$\chi$ を $U$ 上の $C^\infty$ 級関数で、$\bar D$ のある近傍で $1$ に等しく、台が $U$ に含まれるコンパクト集合であるものとする（切り落とし関数。$U$ 上の $C^\infty$ 級の1の分割から得られる、Lee13 第 2 章）。$\tilde g:=\chi g$ は $\mathbb{C}$ 全体でコンパクト台の $C^\infty$ 級関数であり、$D$ 上で $g$ に一致する。
$$ u(z):=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\frac{\tilde g(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\frac{\tilde g(z+\zeta)}{\zeta}\,d\zeta\wedge d\bar\zeta $$
とおく（$w=z+\zeta$ と置換した。$dw\wedge d\bar w=d\zeta\wedge d\bar\zeta$）。$1/\zeta$ は prf-dolbeault-cohomology-pompeiu で見たように $\mathbb{C}$ 上局所可積分で、$\tilde g$ はコンパクト台をもつので積分は収束する。さらに、$\tilde g(z+\zeta)$ の $z$ に関する各階の偏導関数はコンパクト台をもつ有界連続関数で、$z$ が有界集合を動くとき $\zeta$ についての台は一定のコンパクト集合に含まれるから、Lebesgue の優収束定理（優収束定理）により積分記号の下で何回でも微分でき、$u$ は $C^\infty$ 級で
$$ \frac{\partial u}{\partial\bar z}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\frac{(\partial\tilde g/\partial\bar w)(z+\zeta)}{\zeta}\,d\zeta\wedge d\bar\zeta=\frac{1}{2\pi i}\int_{\mathbb{C}}\frac{(\partial\tilde g/\partial\bar w)(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w $$
である。$R>0$ を大きくとって $\operatorname{supp}\tilde g\subset D_R:=\{|w|< R\}$ とすると、$\tilde g$ は $\partial D_R$ 上で $0$ で、右辺の積分は $D_R$ 上の積分に等しい。prop-dolbeault-cohomology-pompeiu を $D_R$ と $\tilde g$ に適用すれば、$z\in D_R$ に対し
$$ \tilde g(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_{D_R}\frac{(\partial\tilde g/\partial\bar w)(w)}{w-z}\,dw\wedge d\bar w=\frac{\partial u}{\partial\bar z}(z) $$
である。$D\subset D_R$ 上で $\tilde g=g$ だから、$u|_D$ が求めるものである。

thm-dolbeault-cohomology-poincare により、層の複体 $\mathcal{A}^{p,\bullet}_X$ は $\Omega^p_X$ の分解 $0\to\Omega^p_X\to\mathcal{A}^{p,0}_X\to\mathcal{A}^{p,1}_X\to\cdots$ である。各 $\mathcal{A}^{p,q}_X$ が細層（細層）であることを示す。$X$ は Hausdorff（Hausdorff空間）で第2可算公理をみたすのでパラコンパクト空間であり、任意の開被覆 $\{U_i\}$ に従属する $C^\infty$ 級の 1 の分割 $\{\rho_i\}$（$\rho_i$ は $C^\infty$ 級関数、$\operatorname{supp}\rho_i\subset U_i$、$\{\operatorname{supp}\rho_i\}$ は局所有限、$\sum_i\rho_i=1$）が存在する（Lee13 第 2 章）。$\alpha\mapsto\rho_i\alpha$ は $\mathcal{A}^{p,q}_X$ の層としての自己準同型 $\eta_i$ を定め、$\eta_i$ の台は $\operatorname{supp}\rho_i\subset U_i$ に含まれ、$\sum_i\eta_i=\mathrm{id}$ である。これは 層コホモロジー の記事の定義「脆弱層・軟弱層・細層」の意味で $\mathcal{A}^{p,q}_X$ が細層であることにほかならない。
パラコンパクト Hausdorff 空間上の細層は軟弱（軟弱層）であり、軟弱層は非輪状（非輪状層）、すなわち $H^i(X,\mathcal{A}^{p,q}_X)=0$（$i\ge1$）である（層コホモロジー の記事の注意「軟弱層・細層の非輪状性とde Rham複体」）。よって $\mathcal{A}^{p,\bullet}_X$ は $\Omega^p_X$ の非輪状分解であり、層コホモロジー の記事の命題「非輪状分解による計算」により
$$ H^q(X,\Omega^p_X)\cong H^q\bigl(\Gamma(X,\mathcal{A}^{p,\bullet}_X)\bigr)=H^q\bigl(\mathcal{A}^{p,\bullet}(X),\bar\partial\bigr)=H^{p,q}_{\bar\partial}(X) $$
である。正則写像（正則写像）$F\colon Y\to X$ に対し、引き戻し $F^*$（prop-dolbeault-cohomology-product）は分解の複体の射 $\mathcal{A}^{p,\bullet}_X\to F_*\mathcal{A}^{p,\bullet}_Y$ を $\Omega^p_X\to F_*\Omega^p_Y$ の上に与えるので、同型は $F^*$ と層コホモロジーの引き戻し $H^q(X,\Omega^p_X)\to H^q(Y,\Omega^p_Y)$ を交換させる。この意味で同型は自然である（非輪状分解の射がコホモロジーの射を誘導することの詳細は上記の出典に譲る）。

1. 外微分の Leibniz 則 $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^{p+q}\alpha\wedge d\beta$ の両辺の型 $(p+p',q+q'+1)$ の成分をとる。左辺のその成分は $\bar\partial(\alpha\wedge\beta)$ である。右辺では、$d\alpha\wedge\beta=\partial\alpha\wedge\beta+\bar\partial\alpha\wedge\beta$ のうち型 $(p+p',q+q'+1)$ の成分は $\bar\partial\alpha\wedge\beta$ であり、$\alpha\wedge d\beta$ のそれは $\alpha\wedge\bar\partial\beta$ である。よって等式が成り立つ。$\alpha$、$\beta$ が $\bar\partial$ 閉なら $\alpha\wedge\beta$ も $\bar\partial$ 閉であり、$\alpha=\bar\partial\gamma$ なら $\alpha\wedge\beta=\bar\partial(\gamma\wedge\beta)$、$\beta=\bar\partial\gamma'$ なら $\alpha\wedge\beta=(-1)^{p+q}\bar\partial(\alpha\wedge\gamma')$ となるので、積はコホモロジー類だけで決まる。反可換性 $\alpha\wedge\beta=(-1)^{(p+q)(p'+q')}\beta\wedge\alpha$ は形式の段階で成り立つ。
2. $Y$、$X$ の局所座標 $(w_k)$、$(z_j)$ で $F$ が $z_j=F_j(w)$ と書かれるとき、$F_j$ が正則なので $F^*dz_j=dF_j=\sum_k(\partial F_j/\partial w_k)\,dw_k$ は型 $(1,0)$、$F^*d\bar z_j=\overline{F^*dz_j}$ は型 $(0,1)$ であり、$F^*$ は外積と可換なので $F^*$ は $\mathcal{A}^{p,q}(X)$ を $\mathcal{A}^{p,q}(Y)$ に写す。$F^*$ は外微分と可換であるから、$F^*d\alpha=dF^*\alpha$ の両辺の型 $(p,q+1)$ の成分を比べると、左辺のそれは $F^*$ が型を保つことから $F^*\bar\partial\alpha$、右辺のそれは $\bar\partial F^*\alpha$ である。したがって $F^*$ は $\bar\partial$ 閉・$\bar\partial$ 完全な形式をそれぞれ $\bar\partial$ 閉・$\bar\partial$ 完全な形式に写し、コホモロジーの写像を誘導する。積との両立と関手性は $F^*(\alpha\wedge\beta)=F^*\alpha\wedge F^*\beta$、$(G\circ F)^*=F^*G^*$ から従う。