捩れ(加群)

1. $1$ は非零因子で $1\cdot0=0$ なので $0\in T(M)$ である。$m,n\in T(M)$ とし、非零因子 $a,b$ で $am=0$、$bn=0$ とする。$ab$ は非零因子であり、$R$ が可換なので $ab(m+n)=b(am)+a(bn)=0$ である。$r\in R$ について $a(rm)=r(am)=0$ である。よって $T(M)$ は部分加群である。部分加群 $L\subset M$ が捩れ加群なら、$L$ の各元は $L$ の中で、したがって $M$ の中でも非零因子で消えるので $L\subset T(M)$ である。
2. $am=0$ なら $af(m)=f(am)=0$ である。直和については、$(m,n)$ が非零因子 $a$ で消えれば $am=0$ かつ $an=0$ であり、逆に $am=0$、$bn=0$ なら $ab(m,n)=0$ である。
3. $a$ を非零因子とし、$a(m+T(M))=0$、すなわち $am\in T(M)$ とする。非零因子 $b$ で $bam=0$ となるものがあり、$ba$ は非零因子なので $m\in T(M)$ である。
4. $\iota$ の制限 $T(M')\to T(M)$ は単射であり、2 によって 2 つの写像は捩れ部分加群の間に定まり、合成は $\pi\circ\iota=0$ の制限なので $0$ である。$m\in T(M)$ が $\pi(m)=0$ を満たすとする。完全性から $m=\iota(m')$ となる $m'\in M'$ がある。非零因子 $a$ で $am=0$ とすると $\iota(am')=0$ であり、$\iota$ は単射なので $am'=0$、すなわち $m'\in T(M')$ である。
5. $f\colon M\to N$ を線形写像とする。$m\in M$ について非零因子 $a$ で $am=0$ となるものがあり、$af(m)=0$ なので $f(m)\in T(N)=0$ である。

$R$ は整域で $0\notin S$ なので、$S^{-1}R$ は商体 $K$ の部分環であり整域である。その $0$ でない元は $a\ne0$ である分数 $a/t$ である。包含 $T(M)\to M$ を局所化した $S^{-1}T(M)\to S^{-1}M$ は単射であり（局所化 の記事の命題「局所化の完全性」）、左辺を右辺の部分加群とみる。

1. $m\in T(M)$、$a\ne0$、$am=0$ とすると、$a/1\ne0$ であり $(a/1)(m/s)=am/s=0$ なので $m/s$ は捩れ元である。逆に $m/s\in S^{-1}M$ が捩れ元であるとし、$a\ne0$、$t\in S$ について $(a/t)(m/s)=am/(ts)=0$ とする。加群の局所化で分数が $0$ になる条件（局所化 の記事の定義「加群の局所化」）から、ある $u\in S$ について $uam=0$ である。$u\ne0$、$a\ne0$ で $R$ は整域なので $ua\ne0$ であり、$m\in T(M)$、よって $m/s\in S^{-1}T(M)$ である。
2. (i) から (ii)：1 により $T(M_{\mathfrak{p}})=T(M)_{\mathfrak{p}}=0$ である。(ii) から (iii) は明らかである。(iii) から (i)：$N:=T(M)$ とおくと、1 によりすべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $N_{\mathfrak{m}}=0$ である。$x\in N$ が $0$ でないとすると、その零化イデアル $\operatorname{Ann}(x)=\{r\in R\mid rx=0\}$ は $1$ を含まない真のイデアルなので、それを含む極大イデアル $\mathfrak{m}$ がある（極大イデアル の記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。$N_{\mathfrak{m}}$ で $x/1=0$ なら、ある $u\notin\mathfrak{m}$ で $ux=0$、すなわち $u\in\operatorname{Ann}(x)\subset\mathfrak{m}$ となり矛盾する。よって $N=0$ である。

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $N=0$ で、空な族が基底である。$n\ge1$ とし、最後の成分をとる線形写像 $\pi\colon R^n\to R$ を考え、$\ker\pi$ を $R^{n-1}$ と同一視する。$N':=N\cap R^{n-1}$ は帰納法の仮定により基底 $y_1,\dots,y_k$（$k\le n-1$）をもつ。$\pi(N)$ は $R$ のイデアルなので $\pi(N)=dR$ となる $d\in R$ がある。
$d=0$ なら $N\subset R^{n-1}$ なので $N=N'$ である。$d\ne0$ なら $\pi(h)=d$ となる $h\in N$ をとり、$y_1,\dots,y_k,h$ が $N$ の基底であることを示す。$x\in N$ について $\pi(x)=cd$（$c\in R$）と書くと $\pi(x-ch)=0$ なので $x-ch\in N'$ であり、$x$ は $y_i$ と $h$ の $R$ 係数の和で書ける。$\sum_ia_iy_i+ch=0$ なら、$\pi$ を施して $cd=0$、$R$ は整域で $d\ne0$ なので $c=0$ であり、$y_i$ の一次独立性からすべての $a_i=0$ である。よって $N$ は $k+1\le n$ 個の元からなる基底をもつ。

1. $M$ を $g_1,\dots,g_m$ で生成されるとする。$\{g_1,\dots,g_m\}$ の部分集合で $R$ 上一次独立なもののうち、包含について極大なもの $\{x_1,\dots,x_k\}$ をとる（有限集合なので存在する）。$H:=Rx_1+\cdots+Rx_k$ は $x_1,\dots,x_k$ を基底とする自由加群である。各 $j$ について、$0$ でない $c_j\in R$ で $c_jg_j\in H$ となるものがある。実際、$g_j$ が $x_i$ のどれかなら $c_j=1$ とすればよく、そうでなければ極大性から $x_1,\dots,x_k,g_j$ は一次従属であり、すべては $0$ でない $c,a_1,\dots,a_k\in R$ で $cg_j+\sum_ia_ix_i=0$ となる。$c=0$ なら $x_i$ の一次独立性に反するので $c\ne0$ であり、$c_j:=c$ とすればよい。
   $c:=c_1\cdots c_m$ は $0$ でない（$R$ は整域）。各 $g_j$ について $cg_j\in H$ なので $cM\subset H$ である。$c$ 倍写像 $M\to M$ は $R$ 線形で、$M$ は捩れをもたないので単射である。よって $M\cong cM$ であり、$cM$ は $H\cong R^k$ の部分加群なので、lem-tor-pid-submodule により $k$ 個以下の元からなる基底をもつ。
2. $\overline{M}:=M/T(M)$ は $g_j$ の像で生成され、prop-tor-basic の 3 により捩れをもたないので、1 により基底 $\bar e_1,\dots,\bar e_r$ をもつ。$\bar e_i$ の代表元 $e_i\in M$ を選び、$F:=Re_1+\cdots+Re_r$ とおく。$\sum_ia_ie_i\in T(M)$ なら、$\overline{M}$ で $\sum_ia_i\bar e_i=0$ となるので $a_i=0$ である。これにより $e_1,\dots,e_r$ は一次独立で $F$ の基底になり、$F\cap T(M)=0$ である。$m\in M$ の像を $\bar m=\sum_ia_i\bar e_i$ と書くと $m-\sum_ia_ie_i\in T(M)$ なので、$M=T(M)+F$ である。よって $M=T(M)\oplus F$ であり、$T(M)\cong M/F$ は $M$ の剰余加群として有限生成である。

単項イデアル整域では、$a,b\in R$ が共通の素因子をもたなければ $xa+yb=1$ となる $x,y\in R$ がある。実際、イデアル $(a,b)$ は単項イデアル $(d)$ であり、$d$ が単元でなければその素因子は $a$ と $b$ の両方を割るからである（単項イデアル整域は一意分解整域である：単項イデアル整域 の記事の定理「単項イデアル整域は一意分解整域」）。
和であること：$m\in M$ とし、$a\ne0$ で $am=0$ とする。$a$ が単元なら $m=0$ である。そうでなければ $a=up_1^{e_1}\cdots p_k^{e_k}$（$u$ は単元、$p_i\in P$ は相異なる）と分解し、$q_i:=a/p_i^{e_i}$ とおく。$q_1,\dots,q_k$ のすべてを割る素元はない（$p_i$ は $q_i$ を割らず、それ以外の素元は $a$ を割らない）。上と同じ理由で $(q_1,\dots,q_k)=R$ であり、$1=\sum_ic_iq_i$ と書ける。$m=\sum_ic_iq_im$ であり、$p_i^{e_i}c_iq_im=c_iam=0$ なので $c_iq_im\in M[p_i^\infty]$ である。
直和であること：相異なる $p_1,\dots,p_k\in P$ と $m_i\in M[p_i^\infty]$ で $m_1+\cdots+m_k=0$ とし、$p_i^{f_i}m_i=0$ とする。$q:=\prod_{i\ge2}p_i^{f_i}$ とおくと $qm_1=-q(m_2+\cdots+m_k)=0$ である。$p_1^{f_1}$ と $q$ は共通の素因子をもたないので $xp_1^{f_1}+yq=1$ となる $x,y$ があり、$m_1=xp_1^{f_1}m_1+yqm_1=0$ である。同様にすべての $m_i=0$ である。