コホモロジー演算

$f^*\iota$ はホモトピー類だけで決まる（特異コホモロジー の定理「ホモトピー不変性」）。$X=\emptyset$ なら両辺とも 1 点である。$X\ne\emptyset$ なら $0$ 胞体 $x_0$ を基点にとる。
全射：rem-co-representation-cited の $T_*$ が全射なので、$x\in H^m(X;G)$ は基点を保つ写像 $f$ で $f^*\iota=x$ と書ける。
単射：$f,g\colon X\to K_m$ が $f^*\iota=g^*\iota$ をみたすとする。$K_m$ は弧状連結なので、ホモトピー拡張性質により $f,g$ を基点を保つ写像に取り替えられ、$T_*$ の単射性から $f\simeq g$ となる。

要点：CW 複体の弧状連結成分は開集合なので、成分の上の関数は離散空間への連続写像と同じものである。

CW 複体 $X$ について $T_X\colon[X,K_m]\to H^m(X;G)$、$[f]\mapsto f^*\iota$ は全単射である（$m\ge1$ なら lem-co-cw-representation、$m=0$ なら lem-co-degree-zero-representation）。
値で決まること。 $\Phi$ を演算、$X$ を CW 複体、$x\in H^m(X;G)$ とする。$T_X$ の全射性から $f^*\iota=x$ となる $f\colon X\to K_m$ があり、$f$ についての自然性から
$$ \Phi_X(x)=\Phi_X(f^*\iota)=f^*\Phi_{K_m}(\iota)=f^*E(\Phi) $$
である。よって $\Phi$ は $E(\Phi)$ で決まり、$E$ は単射である。
逆写像の構成。 $a\in H^n(K_m;G')$ をとる。$f^*\iota=g^*\iota=x$ なら、$T_X$ の単射性から $f\simeq g$ であり、ホモトピー不変性から $f^*a=g^*a$ である。よって $\Phi^a_X(x)$ は $f$ の選び方によらない。連続写像 $h\colon Y\to X$ について $(f\circ h)^*\iota=h^*x$ なので
$$ \Phi^a_Y(h^*x)=(f\circ h)^*a=h^*f^*a=h^*\Phi^a_X(x) $$
であり、$\Phi^a$ は演算である。$x=\iota$ は $f=\mathrm{id}_{K_m}$ で表されるので $E(\Phi^a)=a$ である。$E$ は単射なので、$E$ と $a\mapsto\Phi^a$ は互いに逆である。
群の構造。 $E(\Phi+\Psi)=\Phi_{K_m}(\iota)+\Psi_{K_m}(\iota)=E(\Phi)+E(\Psi)$ なので $E$ は準同型である。$\square$

各空間 $Y$ に CW 近似 $\gamma_Y\colon Z_Y\to Y$ を 1 つずつ選ぶ（CW近似 の定理「CW 近似の存在」）。弱ホモトピー同値は任意の係数の特異コホモロジーに同型を誘導する（同記事の注意「特異ホモロジーと直積」、Hat02 Proposition 4.21, p. 356）ので、$\gamma_Y^*$ は同型である。
一意性：$\Psi$ が位相空間全体の上の演算で、CW 複体の上で $\Phi$ に一致するなら、$\gamma_Y$ についての自然性から $\gamma_Y^*\Psi_Y(y)=\Psi_{Z_Y}(\gamma_Y^*y)=\Phi_{Z_Y}(\gamma_Y^*y)$ であり、$\Psi_Y$ は $\Phi$ で決まる。
存在：$\Phi_Y(y):=(\gamma_Y^*)^{-1}\Phi_{Z_Y}(\gamma_Y^*y)$ と定める。連続写像 $g\colon Y\to Y'$ について、CW近似 の命題「CW 近似の関手性」の 1 により $\gamma_{Y'}\circ h\simeq g\circ\gamma_Y$ となる $h\colon Z_Y\to Z_{Y'}$ があり、$\gamma_Y^*g^*=h^*\gamma_{Y'}^*$ である。よって $y'\in H^m(Y';G)$ について
$$ \gamma_Y^*g^*\Phi_{Y'}(y')=h^*\Phi_{Z_{Y'}}(\gamma_{Y'}^*y')=\Phi_{Z_Y}(h^*\gamma_{Y'}^*y')=\Phi_{Z_Y}(\gamma_Y^*g^*y')=\gamma_Y^*\Phi_Y(g^*y') $$
となり、$\gamma_Y^*$ は単射なので $g^*\Phi_{Y'}(y')=\Phi_Y(g^*y')$ である。$Y$ が CW 複体なら、元の $\Phi$ の $\gamma_Y$ についての自然性から $\gamma_Y^*\Phi_Y(y)=\Phi_{Z_Y}(\gamma_Y^*y)$ なので、新しい $\Phi_Y$ は元の $\Phi_Y$ に一致する。最後の主張は、$K_m$ が CW 複体であることと thm-co-classification から従う。$\square$

1. 引き戻しは $\pi_0(f)$ との合成なので $h\circ(\alpha\circ\pi_0(f))=(h\circ\alpha)\circ\pi_0(f)$ となり、$\Phi^h$ は自然である。逆に $\Phi$ を演算とし $h:=\Phi_{\mathrm{pt}}$ とおく。点 $p\in X$ の包含 $i_p\colon\mathrm{pt}\to X$ について $i_p^*\alpha$ は $p$ の成分での値 $\alpha([p])$ なので、自然性から $\Phi_X(\alpha)([p])=\Phi_{\mathrm{pt}}(\alpha([p]))=h(\alpha([p]))$ である。すべての点 $p$ についてこれが成り立つので $\Phi_X(\alpha)=h\circ\alpha$ である（$X=\emptyset$ なら両辺とも $0$）。加法性は $X=\mathrm{pt}$ で $h$ が準同型であることを意味し、逆に $h$ が準同型なら $h\circ(\alpha+\beta)=h\circ\alpha+h\circ\beta$ である。
2. thm-co-classification で $m=0$ とすると、CW 複体の上の演算は $H^n(K_0;G')$ と対応する。$K_0$ は離散空間なので $H^n(K_0;G')\cong\prod_{g\in G}H^n(\mathrm{pt};G')=0$ である（特異コホモロジー の例「一点と離散空間」）。cor-co-all-spaces により位相空間全体の上でも $0$ だけである。$\square$

cor-co-all-spaces により $H^n(K_m;G')$ を計算すればよい。$K_m$ は弧状連結で $i< m$ について $\pi_i(K_m)=0$ なので、Hurewiczの定理 の定理「Hurewicz の定理」（$m\ge2$）により $0< i< m$ で $H_i(K_m)=0$ であり、$H_0(K_m)\cong\mathbb{Z}$ である。Hurewicz 準同型 $\mathrm{hur}\colon\pi_m(K_m)\to H_m(K_m)$ は、$m\ge2$ では同定理により、$m=1$ では $\pi_1(K_1)\cong G$ が可換なので同記事の定理「1 次元の Hurewicz の定理」により同型である。普遍係数定理 の定理「特異コホモロジーの普遍係数定理」の分裂する完全列
$$ 0\to\operatorname{Ext}(H_{n-1}(K_m),G')\to H^n(K_m;G')\xrightarrow{\ \kappa\ }\operatorname{Hom}(H_n(K_m),G')\to0 $$
で、$1\le n\le m$ なら $H_{n-1}(K_m)$ は $0$ か $\mathbb{Z}$ なので $\operatorname{Ext}$ の項は $0$ である。

1. $H^0(K_m;G')$ は弧状連結成分 1 つの上の値 $G'$ であり、$a=c\cdot1_{K_m}$ に対応する演算は $f^*(c\cdot1_{K_m})=c\cdot1_X$ である。
2. $1\le n< m$ では $H_n(K_m)=0$ なので $H^n(K_m;G')=0$ である。
3. $n=m$ では $\kappa$ は同型で、$\kappa(z)$ は余輪体の代表を輪体に当てる写像なので、定義から $\kappa(\varphi_*z)=\varphi\circ\kappa(z)$ である。$\kappa(\iota)\colon H_m(K_m)\to G$ が同型であることを示す。基点を保つ $f\colon S^m\to K_m$ について $\kappa(f^*\iota)=\kappa(\iota)\circ f_*$ を基本類 $[S^m]\in H_m(S^m)$ に当てると $\kappa(\iota)(\mathrm{hur}[f])$ である。$X=S^m$ での $T_*$ と、$S^m$ での $\kappa$、$[S^m]$ での評価はどれも全単射なので、$[f]\mapsto\kappa(\iota)(\mathrm{hur}[f])$ は全単射 $\pi_m(K_m)\to G$ であり、$\mathrm{hur}$ が同型なので $\kappa(\iota)$ は全単射な準同型である。よって $\varphi\mapsto\kappa(\varphi_*\iota)=\varphi\circ\kappa(\iota)$ は $\operatorname{Hom}(G,G')\to\operatorname{Hom}(H_m(K_m),G')$ の全単射であり、$\varphi\mapsto\varphi_*\iota=E(\varphi_*)$ も全単射である。cor-co-all-spaces により $\varphi\mapsto\varphi_*$ は全単射である。$\square$

要点：$x,y$ を表す写像の組 $X\to K_m\times K_m$ で引き戻す。

$Sq^I$ とカップ積は引き戻しと可換なので（Steenrod平方 の公理 1、カップ積）、$f^*P(Sq^Ix)=P(Sq^If^*x)$ であり、$x\mapsto P(Sq^Ix)$ は演算である。
$K:=K_q$ を rem-co-representation-cited の CW 複体、$\iota$ を基本類とする。$\iota\ne0$ である：$\iota=0$ なら $T_*([\mathrm{id}_K])=0=T_*([\text{定値写像}])$ となり、$T_*$ の単射性から $\mathrm{id}_K$ が基点付きで零ホモトピックになって $\pi_q(K)\cong\mathbb{F}_2\ne0$ に反する。prop-co-low-degree の証明から $H^q(K)\cong\operatorname{Hom}(H_q(K),\mathbb{F}_2)\cong\mathbb{F}_2$ なので、$\iota$ は生成元であり、上の多項式環の記述が使える。
演算 $\Phi$ について $a:=\Phi_K(\iota)\in H^r(K)$ をとる。多項式環の次数 $r$ の部分は、$\sum_Ik_I(q+|I|)=r$ をみたす単項式 $\prod_Iy_I^{k_I}$ を基底とするので、次数 $r$ の斉次多項式 $P$ で $a=P(Sq^I\iota)$ となるものがただ 1 つある。演算 $\Psi(x):=P(Sq^Ix)$ は $\Psi_K(\iota)=a=\Phi_K(\iota)$ をみたすので、cor-co-all-spaces の同型により $\Phi=\Psi$ である。$P,P'$ が同じ演算を定めるなら $P(Sq^I\iota)=P'(Sq^I\iota)$ であり、変数 $Sq^I\iota$ は多項式環の独立な変数なので $P=P'$ である。
次数 $0$ の斉次多項式は定数 $0,1$ である。変数の次数はすべて $q$ 以上なので、$1\le r< q$ では次数 $r$ の単項式はなく、$P=0$ である。$\square$