可測関数

1 ⇒ 2 は明らかである。2 ⇒ 1：$a\in\mathbb{R}$ とし、$a < d_k < a+1/k$ となる $d_k\in D$ を $k=1,2,\ldots$ ごとに 1 つずつとる。$f(x)>a$ なら十分大きい $k$ で $f(x)>d_k$ であり、逆に $f(x)>d_k$ なら $f(x)>a$ なので、$\{f>a\}=\bigcup_k\{f>d_k\}$ は $\mathcal{F}$ の元の可算個の和集合である。
1 ⇒ 3：$\{f\ge a\}=\bigcap_{k\ge1}\{f>a-1/k\}$。3 ⇒ 4：$\{f < a\}=X\setminus\{f\ge a\}$。4 ⇒ 5：$\{f\le a\}=\bigcap_{k\ge1}\{f < a+1/k\}$。5 ⇒ 1：$\{f>a\}=X\setminus\{f\le a\}$。どれも σ-代数が補集合と可算個の和集合・共通部分で閉じていることによる。
6 ⇒ 1：$(a,\infty]$ は $\mathbb{R}$ との共通部分 $(a,\infty)$ が開集合なので Borel 集合である。
1 ⇒ 6：$\mathcal{T}:=\{C\subset[-\infty,\infty]\mid f^{-1}(C)\in\mathcal{F}\}$ は $[-\infty,\infty]$ 上の σ-代数である（σ-代数 の定理「逆像と生成系」の 2）。仮定から、すべての $a\in\mathbb{R}$ について $(a,\infty]\in\mathcal{T}$ なので、
$$ \{\infty\}=\bigcap_{n\ge1}(n,\infty],\qquad \{-\infty\}=[-\infty,\infty]\setminus\bigcup_{n\ge1}(-n,\infty],\qquad (a,b]=(a,\infty]\setminus(b,\infty]\ (a < b) $$
も $\mathcal{T}$ に属し、$\mathbb{R}=[-\infty,\infty]\setminus(\{-\infty\}\cup\{\infty\})\in\mathcal{T}$ である。$\mathcal{T}_{\mathbb{R}}:=\{B\subset\mathbb{R}\mid B\in\mathcal{T}\}$ は $\emptyset$ を含み、補集合（$\mathbb{R}\setminus B=\mathbb{R}\cap([-\infty,\infty]\setminus B)$）と可算個の和集合で閉じているので $\mathbb{R}$ 上の σ-代数であり、半開区間 $(a,b]$ をすべて含む。Borel集合 の定理「Borel σ-代数の生成系」の 3 により $\mathcal{B}(\mathbb{R})\subset\mathcal{T}_{\mathbb{R}}$ である。$C$ が $[-\infty,\infty]$ の Borel 集合なら、$C=(C\cap\mathbb{R})\cup(C\cap\{\infty\})\cup(C\cap\{-\infty\})$ は $\mathcal{T}$ の元の有限個の和集合なので $C\in\mathcal{T}$ である。$\square$

1. $\mathbb{R}$ の Borel 集合 $B$ について $(\varphi\circ f)^{-1}(B)=f^{-1}(\varphi^{-1}(B))$ であり、$\varphi^{-1}(B)$ は Borel 集合なので、thm-mf-criteria の 6 によりこれは $\mathcal{F}$ に属する。同じ定理の 6 ⇒ 1 から $\varphi\circ f$ は可測である。列挙した関数は、連続関数 $t\mapsto ct$、$|t|$、$t^2$、$|t|^p$、$\max(t,0)$、$\max(-t,0)$ との合成である。
2. $f(x)+g(x)>a$ なら $f(x)>r>a-g(x)$ となる有理数 $r$ があり、逆に $f(x)>r$ かつ $g(x)>a-r$ なら $f(x)+g(x)>a$ なので
   $$ \{f+g>a\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\bigl(\{f>r\}\cap\{g>a-r\}\bigr)\in\mathcal{F} $$
   である。1 から $-g$ は可測なので $f-g$ も可測であり、$fg=\frac14\bigl((f+g)^2-(f-g)^2\bigr)$ と 1 から $fg$ も可測である。$\{\max(f,g)>a\}=\{f>a\}\cup\{g>a\}$、$\{\min(f,g)>a\}=\{f>a\}\cap\{g>a\}$ である。$g$ が $0$ をとらないとき、$\varphi(t):=1/t$（$t\ne0$）、$\varphi(0):=0$ とおくと、$\{\varphi>a\}$ は $a>0$ なら $(0,1/a)$、$a=0$ なら $(0,\infty)$、$a < 0$ なら $(-\infty,1/a)\cup[0,\infty)$ であり、$\varphi$ は Borel 可測である。よって $f/g=f\cdot(\varphi\circ g)$ は 1 と前半から可測である。
3. 和：$f(x)$ や $g(x)$ が $\infty$ の場合も含めて、$f(x)+g(x)>a$ であることと、ある有理数 $r$ で $f(x)>r$ かつ $g(x)>a-r$ となることは同値である（$f(x)=\infty$ なら $r>a$ をとれば $g(x)\ge0>a-r$、$g(x)=\infty$ なら $r < f(x)$ をとればよい）。したがって 2 と同じ式が成り立つ。積：$a < 0$ なら $\{fg>a\}=X$ である。$a\ge0$ なら
   $$ \{fg>a\}=\bigcup_{r,s\in\mathbb{Q},\ r,s>0,\ rs>a}\bigl(\{f>r\}\cap\{g>s\}\bigr) $$
   である。右辺の点では $fg\ge rs>a$ である。左辺の点 $x$ では $f(x),g(x)>0$ である（一方が $0$ なら $fg=0\le a$）。両方が有限なら、$r\uparrow f(x)$、$s\uparrow g(x)$ となる正の有理数で $rs\to f(x)g(x)>a$ なので、$rs>a$ となるものがとれる。一方が $\infty$ なら、他方より小さい正の有理数を先にとり、$\infty$ の側の有理数を十分大きくとればよい。$\square$

（⇒）射影 $\pi_i\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ は連続なので、$\mathbb{R}$ の Borel 集合 $B$ について $\pi_i^{-1}(B)$ は $\mathbb{R}^n$ の Borel 集合であり（Borel集合 の定理「連続写像とBorel集合」）、$f_i^{-1}(B)=f^{-1}(\pi_i^{-1}(B))\in\mathcal{F}$ である。
（⇐）有理数を端点とする開直方体 $Q=\prod_{i=1}^n(a_i,b_i)$ について $f^{-1}(Q)=\bigcap_if_i^{-1}((a_i,b_i))\in\mathcal{F}$ である。$\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ と $y\in U$ について、$y$ を中心とする半径 $\varepsilon$ の開球が $U$ に含まれるとき、$y_i-\varepsilon/\sqrt n < a_i < y_i < b_i < y_i+\varepsilon/\sqrt n$ となる有理数 $a_i,b_i$ をとれば $y\in Q\subset U$ である。そのような $Q$ は可算個なので、$U$ はそれらの可算個の和集合であり、$Q$ の全体が生成する σ-代数は開集合をすべて含む。$Q$ は開集合なので、この σ-代数は $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ に一致する。σ-代数 の定理「逆像と生成系」の 3 から結論が従う。
複素数値の場合は $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなせばよい。$|f|=\sqrt{(\operatorname{Re}f)^2+(\operatorname{Im}f)^2}$、$\operatorname{Re}(fg)=\operatorname{Re}f\operatorname{Re}g-\operatorname{Im}f\operatorname{Im}g$、$\operatorname{Im}(fg)=\operatorname{Re}f\operatorname{Im}g+\operatorname{Im}f\operatorname{Re}g$ と thm-mf-operations から従う。$\square$

1. $\sup_nf_n(x)>a$ であることは、ある $n$ で $f_n(x)>a$ であることと同値なので、$\{\sup_nf_n>a\}=\bigcup_n\{f_n>a\}\in\mathcal{F}$ である。$\{-f>a\}=\{f < -a\}$ と thm-mf-criteria の 4 から、可測関数 $f$ について $-f$ も可測であり、$\inf_nf_n=-\sup_n(-f_n)$ も可測である。$\limsup_nf_n=\inf_k\sup_{n\ge k}f_n$、$\liminf_nf_n=\sup_k\inf_{n\ge k}f_n$ なので、これらも可測である。
2. 可測関数 $u,v\colon X\to[-\infty,\infty]$ について、$u(x)>v(x)$ なら $u(x)>r>v(x)$ となる有理数 $r$ があるので
   $$ \{u>v\}=\bigcup_{r\in\mathbb{Q}}\bigl(\{u>r\}\cap\{v < r\}\bigr)\in\mathcal{F} $$
   である。$u:=\limsup_nf_n$、$v:=\liminf_nf_n$ とすると、$v\le u$ であり、$(f_n(x))_n$ が $[-\infty,\infty]$ の中で収束することは $u(x)=v(x)$ と同値である（上極限と下極限 の定理「上極限・下極限による収束判定」）。よって $L=X\setminus\{u>v\}\in\mathcal{F}$ である。$\{u < \infty\}=\bigcup_n\{u < n\}$、$\{u>-\infty\}=\bigcup_n\{u>-n\}$ なので、$L_{\mathbb{R}}=L\cap\{u < \infty\}\cap\{u>-\infty\}\in\mathcal{F}$ である。
3. このとき $f=\limsup_nf_n$ なので、1 から従う。$\square$

1. $\{f\ne g\}\subset N$ となる $\mu$-零集合 $N\in\mathcal{F}$ をとると
   $$ \{g>a\}=\bigl(\{f>a\}\setminus N\bigr)\cup\bigl(\{g>a\}\cap N\bigr) $$
   であり、第 1 項は $\mathcal{F}$ の元の差、第 2 項は零集合 $N$ の部分集合なので完備性により $\mathcal{F}$ に属する。
2. $f_n(x)\to g(x)$ が零集合 $N\in\mathcal{F}$ の外で成り立つとする。$h_n$ を $X\setminus N$ 上で $f_n$、$N$ 上で $0$ と定めると、$\{h_n>a\}$ は $\{f_n>a\}\setminus N$、または（$a < 0$ のとき）それと $N$ の和集合なので、$h_n$ は可測である。$h_n$ はすべての点で収束するので、極限 $h$ は thm-mf-limits の 3 により可測であり、$N$ の外で $h=g$ である。1 により $g$ は可測である。$\square$