調和級数

$j\geq1$ について、添字 $2^{j-1}< k\leq2^j$ の $2^{j-1}$ 個の項はどれも $1/2^j$ 以上なので
$$ \sum_{k=2^{j-1}+1}^{2^j}\frac1k\geq2^{j-1}\cdot\frac1{2^j}=\frac12 $$
である。$H_{2^m}$ は第 1 項 $1$ と、$j=1,\dots,m$ のこれらの区間の和との和なので、$H_{2^m}\geq1+\frac m2$ である。$M>0$ を任意にとり、$1+\frac m2>M$ となる $m$ をとると、$(H_n)$ は単調増加なので $n\geq2^m$ で $H_n\geq H_{2^m}>M$ である。よって $H_n\to+\infty$ である。

関数 $t\mapsto1/t$ は $t>0$ で狭義単調減少である。$k\geq1$ について、区間 $(k,k+1]$ で $1/t<1/k$ なので $\int_k^{k+1}\frac{dt}{t}<\frac1k$ である。$k=1,\dots,n$ について足すと $\log(n+1)=\int_1^{n+1}\frac{dt}{t}< H_n$ を得る。また $k\geq2$ について、区間 $[k-1,k)$ で $1/t>1/k$ なので $\frac1k<\int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t}$ であり、$k=2,\dots,n$ について足すと、$n\geq2$ なら $H_n-1<\int_1^n\frac{dt}{t}=\log n$ を得る。$n=1$ では $H_1=1=1+\log1$ である。
最後の主張：$n\geq2$ で両辺を $\log n>0$ で割ると $\frac{\log(n+1)}{\log n}<\frac{H_n}{\log n}\leq\frac1{\log n}+1$ であり、左辺は $\frac{\log(n+1)}{\log n}=1+\frac{\log(1+1/n)}{\log n}\to1$、右辺も $1$ に収束するので、はさみうちにより $H_n/\log n\to1$ である。

まず $x>0$ について
$$ \frac{x}{1+x}<\log(1+x)< x $$
である。実際 $\log(1+x)=\int_1^{1+x}\frac{dt}{t}$ で、被積分関数は区間 $(1,1+x)$ で $\frac1{1+x}$ より大きく $1$ より小さい。
$\gamma_n:=H_n-\log n$、$\delta_n:=H_n-\log(n+1)$（$n\geq1$）とおく。$x=1/n$ として上の不等式を使うと
$$ \gamma_n-\gamma_{n+1}=\log\Bigl(1+\frac1n\Bigr)-\frac1{n+1}>\frac{1/n}{1+1/n}-\frac1{n+1}=0, $$
$$ \delta_{n+1}-\delta_n=\frac1{n+1}-\log\Bigl(1+\frac1{n+1}\Bigr)>0 $$
なので、$(\gamma_n)$ は狭義単調減少、$(\delta_n)$ は狭義単調増加である。また $\gamma_n-\delta_n=\log(1+1/n)>0$ で、これは $0$ に収束する。したがって $(\gamma_n)$ は $\delta_1$ で下に有界な単調減少列なので収束し（単調収束定理）、その極限 $\gamma$ は $(\delta_n)$ の極限でもある。狭義単調性から、すべての $n$ で $\delta_n<\gamma<\gamma_n$ であり、特に $1-\log2=\delta_1<\gamma<\gamma_1=1$ である。
最後に $\varepsilon_n:=\gamma_n-\gamma>0$ である。$\gamma_k-\gamma_{k+1}<\frac1k-\frac1{k+1}$（$\log(1+1/k)<1/k$ による）を $k=n,n+1,\dots,N-1$ について足すと $\gamma_n-\gamma_N<\frac1n-\frac1N$ であり、$N\to\infty$ として $\varepsilon_n\leq\frac1n$ を得る。さらに $\varepsilon_n=(\gamma_n-\gamma_{n+1})+\varepsilon_{n+1}<\bigl(\frac1n-\frac1{n+1}\bigr)+\frac1{n+1}=\frac1n$ なので、不等号は狭義である。

部分和を $S_N$ とする。$S_{2n}$ は $H_{2n}$ から偶数番目の項を 2 回引いたものなので
$$ S_{2n}=H_{2n}-2\Bigl(\frac12+\frac14+\cdots+\frac1{2n}\Bigr)=H_{2n}-H_n $$
である。thm-harmonic-series-euler-constant より $H_{2n}-H_n=\log(2n)-\log n+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n=\log2+\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n$ であり、$0<\varepsilon_m<1/m$ から $\varepsilon_{2n}-\varepsilon_n\to0$ なので $S_{2n}\to\log2$ である。$S_{2n+1}=S_{2n}+\frac1{2n+1}$ も $\log2$ に収束するので、$S_N\to\log2$ である。

$p\leq1$ なら $n\geq1$ で $n^p\leq n$、すなわち $1/n^p\geq1/n$ なので、部分和は $H_n$ 以上であり、thm-harmonic-series-divergence により発散する。
$p>1$ とする。$j\geq0$ について、添字 $2^j\leq n<2^{j+1}$ の $2^j$ 個の項はどれも $1/2^{jp}$ 以下なので、その和は $2^j\cdot2^{-jp}=r^j$ 以下である。ここで $r=2^{1-p}$ は $0< r<1$ を満たす。$N<2^{m+1}$ なら第 $N$ 部分和は $j=0,\dots,m$ の区間の和以下なので
$$ \sum_{n=1}^{N}\frac1{n^p}\leq\sum_{j=0}^{m}r^j<\frac1{1-r} $$
である。正の項からなる級数の部分和は単調増加なので、上に有界であることから収束する（単調収束定理）。

$2^s\leq n$ となる最大の整数 $s$ をとる。$n\geq2$ なので $s\geq1$ である。$1,\dots,n$ のうち $2^s$ で割り切れるのは $2^s$ だけである（$2^s$ の倍数で $2^s$ の次に小さい正の数は $2^{s+1}>n$）。$1,\dots,n$ の奇数全体の最小公倍数を $Q$ とし（$Q$ は奇数）、$P:=2^{s-1}Q$ とおく。
$1\leq j\leq n$、$j\neq2^s$ とし、$j=2^ab$（$b$ は奇数）と書く。$j$ は $2^s$ で割り切れないか、割り切れるなら $j=2^s$ になるかのどちらかなので $a\leq s-1$ である。また $b\leq j\leq n$ は奇数なので $b\mid Q$ である。よって $P/j=2^{s-1-a}(Q/b)$ は整数である。一方 $j=2^s$ については $P/2^s=Q/2$ で、$Q$ は奇数なので整数でない。したがって
$$ PH_n=\sum_{j=1}^{n}\frac{P}{j}=(\text{整数})+\frac Q2 $$
は整数でない。$H_n$ が整数なら $PH_n$ も整数になるので、$H_n$ は整数でない。