擬柱体の公式

1. 大きい角錐から小さい角錐を引く。側面の辺を上へ延ばすと 1 点（もとの角錐の頂点）で交わる。上面の 1 辺 $2$ は底面の 1 辺 $4$ の $\dfrac12$ なので、頂点から上面までの高さは、頂点から底面までの高さの $\dfrac12$ である。頂点から底面までの高さを $H$ とすると $H-3=\dfrac H2$ なので $H=6$ である。角錐の体積は「底面積 × 高さ ÷ 3」なので（錐体の体積とHilbertの第3問題）、
   $$ V=\frac13\cdot16\cdot6-\frac13\cdot4\cdot3=32-4=28 $$
   である。
2. 断面積を積分する。底面から高さ $z$（$0\le z\le3$）の平面で切った断面は正方形で、その 1 辺は $z=0$ で $4$、$z=3$ で $2$ であり、$z$ について 1 次式で変わるので $4-\dfrac{2z}3$ である。断面積は
   $$ A(z)=\left(4-\frac{2z}3\right)^2=16-\frac{16}3z+\frac49z^2 $$
   で、体積は（体積と回転体 の定理「断面積の積分による体積」）
   $$ V=\int_0^3\left(16-\frac{16}3z+\frac49z^2\right)dz=\Bigl[16z-\frac83z^2+\frac4{27}z^3\Bigr]_0^3=48-24+4=28 $$
   である。
3. 3 つの断面だけを使う。底面積 $A_1=16$、上面積 $A_2=4$、高さの中央 $z=\dfrac32$ での断面積 $M=A\left(\dfrac32\right)=3^2=9$ を使って
   $$ \frac h6\bigl(A_1+4M+A_2\bigr)=\frac36\,(16+4\cdot9+4)=\frac12\cdot56=28 $$
   となり、(1)・(2) と一致する。

以下、$\alpha$ を $xy$ 平面（$z=0$）、$\beta$ を平面 $z=h$ にとる。
(1) 角柱：上下の底面が合同で、$A_1=A_2=M$ である。
(2) 角錐：上の底面が 1 点（角錐の頂点）で、$A_2=0$ である。
(3) 角錐台：ex-pris-start の立体。
(4) 楔：下の底面が長方形、上の底面が 1 本の線分である立体。たとえば下の底面を 4 点 $(0,0,0)$、$(4,0,0)$、$(4,3,0)$、$(0,3,0)$ の長方形、上の底面を 2 点 $\left(\dfrac12,1,5\right)$、$\left(\dfrac52,1,5\right)$ を結ぶ長さ $2$ の線分とする。$h=5$ で、$A_1=12$、$A_2=0$ である。
(5) 上下の正方形の向きが $45^\circ$ ずれた立体：下の底面を 4 点 $(\pm1,\pm1,0)$ の正方形（1 辺 $2$）、上の底面を 4 点 $(1,0,2)$、$(0,1,2)$、$(-1,0,2)$、$(0,-1,2)$ の正方形（1 辺 $\sqrt2$）とし、この 8 点を頂点とする凸多面体をとる。$h=2$、$A_1=4$、$A_2=2$ で、側面は 8 つの三角形である。
(6) 正八面体を 1 つの面を下にして置いたもの：正八面体の向かい合う 2 つの面は平行で、6 つの頂点はすべてこの 2 つの面のどちらかの上にある。

ex-pris-examples (5) の立体を高さ $z$（$0\le z\le2$）で切る。側辺は 8 本あり、下の頂点 $B$ と上の頂点 $T$ を結ぶ側辺の上で高さ $z$ にある点は
$$ \Bigl(1-\frac z2\Bigr)B+\frac z2\,T $$
である（高さは $0$ から $2$ まで一定の割合で増えるので、$B$ から $T$ へ $\dfrac z2$ の割合だけ進んだ点）。たとえば $B(1,-1,0)$ と $T(1,0,2)$ を結ぶ側辺では、この点の $x$ 座標は $1$、$y$ 座標は $-1+\dfrac z2$ である。8 本の側辺について $x$、$y$ 座標を並べると、断面の頂点は
$$ \Bigl(1,-1+\frac z2\Bigr),\ \Bigl(1,1-\frac z2\Bigr),\ \Bigl(1-\frac z2,1\Bigr),\ \Bigl(-1+\frac z2,1\Bigr),\ \Bigl(-1,1-\frac z2\Bigr),\ \Bigl(-1,-1+\frac z2\Bigr),\ \Bigl(-1+\frac z2,-1\Bigr),\ \Bigl(1-\frac z2,-1\Bigr) $$
の 8 点である。どの座標も $z$ の 1 次式である。この八角形は、1 辺 $2$ の正方形 $-1\le x\le1$、$-1\le y\le1$ から、4 つの角を直角をはさむ 2 辺が $\dfrac z2$ の直角二等辺三角形として切り落とした形である。よって
$$ A(z)=4-4\cdot\frac12\Bigl(\frac z2\Bigr)^2=4-\frac{z^2}2 $$
で、$z$ の 2 次式である。$A(0)=4=A_1$、$A(2)=2=A_2$、$M=A(1)=\dfrac72$ である。

ex-pris-examples (4) の楔を高さ $z$（$0\le z\le5$）で切る。$s=\dfrac z5$ とおくと、4 本の側辺の上の点の $x$、$y$ 座標は、ex-pris-octagon と同じく $(1-s)B+sT$ で計算して
$$ \Bigl(\frac s2,\ s\Bigr),\quad \Bigl(4-\frac{3s}2,\ s\Bigr),\quad \Bigl(4-\frac{3s}2,\ 3-2s\Bigr),\quad \Bigl(\frac s2,\ 3-2s\Bigr) $$
である。たとえば 1 つ目は $B(0,0,0)$ と $T\left(\dfrac12,1,5\right)$ を結ぶ側辺の点で、$(1-s)\cdot(0,0)+s\left(\dfrac12,1\right)=\left(\dfrac s2,s\right)$ である。断面は横 $4-2s$、縦 $3-3s$ の長方形なので
$$ A(z)=(4-2s)(3-3s)=12-18s+6s^2=12-\frac{18}5z+\frac6{25}z^2 $$
である。$A(0)=12=A_1$、$A(5)=0=A_2$、$M=A\left(\dfrac52\right)=3\cdot\dfrac32=\dfrac92$ である。

底面積 $A_1$、上面積 $A_2$、高さ $h$ の角錐台を考える。角錐台はもとの角錐の上の部分を切り落とした立体なので、断面はどれも底面と相似で（錐体の体積とHilbertの第3問題 の補題「錐体の断面」）、相似比は $z$ の 1 次式である。面積は相似比の 2 乗に比例するので、$\sqrt{A(z)}$ が $z$ の 1 次式になり、$z=0$ で $\sqrt{A_1}$、$z=h$ で $\sqrt{A_2}$ だから
$$ \sqrt{A(z)}=\sqrt{A_1}+\bigl(\sqrt{A_2}-\sqrt{A_1}\bigr)\frac zh,\qquad M=\Bigl(\frac{\sqrt{A_1}+\sqrt{A_2}}2\Bigr)^2=\frac{A_1+2\sqrt{A_1A_2}+A_2}4 $$
である。thm-pris-formula に代入すると
$$ V=\frac h6\Bigl(A_1+\bigl(A_1+2\sqrt{A_1A_2}+A_2\bigr)+A_2\Bigr)=\frac h6\Bigl(2A_1+2\sqrt{A_1A_2}+2A_2\Bigr)=\frac h3\Bigl(A_1+\sqrt{A_1A_2}+A_2\Bigr) $$
となる。これは角錐台の体積の公式として知られている式である（Wei26b）。ex-pris-start の値 $A_1=16$、$A_2=4$、$h=3$ では $\dfrac33(16+8+4)=28$ である。

下の底面が横 $a$、縦 $b$ の長方形で、上の底面が長さ $c$ の線分（長方形の横の辺に平行）である高さ $h$ の楔を考える。ex-pris-wedge-section と同じ計算で、$s=\dfrac zh$ のとき断面は横 $(1-s)a+sc$、縦 $(1-s)b$ の長方形になる（上の線分を真上から見て長方形の内側にあれば、その位置によらない）。$A_1=ab$、$A_2=0$、$M=\dfrac{a+c}2\cdot\dfrac b2$ なので
$$ V=\frac h6\Bigl(ab+4\cdot\frac{(a+c)b}4+0\Bigr)=\frac h6\bigl(2ab+bc\bigr)=\frac{bh(2a+c)}6 $$
である。ex-pris-wedge-section の $a=4$、$b=3$、$c=2$、$h=5$ では $\dfrac{3\cdot5\cdot10}6=25$ で、$A(z)$ を直接積分した値 $\displaystyle\int_0^5\Bigl(12-\frac{18}5z+\frac6{25}z^2\Bigr)dz=60-45+10=25$ と一致する。$c=a$ なら三角柱で $V=\dfrac{abh}2$、$c=0$ なら四角錐で $V=\dfrac{abh}3$ になる。

1 辺 $a$ の正八面体を 1 つの面を下にして置く（ex-pris-examples (6)）。上下の底面は 1 辺 $a$ の正三角形で $A_1=A_2=\dfrac{\sqrt3}4a^2$、高さは $h=\dfrac{\sqrt6}3a$ である。中央断面は 6 本の側辺の中点を頂点とする六角形で、各辺は側面の正三角形の中点連結線なので長さ $\dfrac a2$ であり、実は 1 辺 $\dfrac a2$ の正六角形である。よって $M=6\cdot\dfrac{\sqrt3}4\Bigl(\dfrac a2\Bigr)^2=\dfrac{3\sqrt3}8a^2$ で、
$$ V=\frac{\sqrt6a}{3\cdot6}\Bigl(\frac{\sqrt3}4a^2+4\cdot\frac{3\sqrt3}8a^2+\frac{\sqrt3}4a^2\Bigr)=\frac{\sqrt6a}{18}\cdot2\sqrt3a^2=\frac{2\sqrt{18}}{18}a^3=\frac{\sqrt2}3a^3 $$
である。正八面体を底面が 1 辺 $a$ の正方形で高さ $\dfrac a{\sqrt2}$ の 2 つの正四角錐に分けて求めた体積 $2\cdot\dfrac13a^2\cdot\dfrac a{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}3a^3$ と一致する。

1. 半径 $2$ の球を水平な平面で切ると、中心からの高さ $w$（$-2\le w\le2$）の断面は半径 $\sqrt{4-w^2}$ の円で、断面積は $\pi(4-w^2)$ である。底からの高さ $z=w+2$ で書くと $A(z)=\pi(4z-z^2)$ で 2 次式である。$h=4$、$A_1=A_2=0$、$M=4\pi$ なので $V=\dfrac46\cdot16\pi=\dfrac{32}3\pi$ で、球の体積 $\dfrac43\pi\cdot2^3$ と一致する（球の体積と表面積）。
   (2) 円錐の場合を開く

   (2) 底面の半径 $r$、高さ $h$ の円錐では、断面の半径は $r\Bigl(1-\dfrac zh\Bigr)$ で、断面積は $z$ の 2 次式である。$A_1=\pi r^2$、$M=\dfrac{\pi r^2}4$、$A_2=0$ なので $V=\dfrac h6\bigl(\pi r^2+\pi r^2\bigr)=\dfrac13\pi r^2h$ となる。

1 辺 $a$ の正八面体を、1 つの頂点を下にして立てる。上下の頂点を結ぶ線分の長さ（高さ）は $h=\sqrt2\,a$ で、高さの中央で切った断面は 1 辺 $a$ の正方形である。底と上端は 1 点なので $A_1=A_2=0$、$M=a^2$ で、公式の値は
$$ \frac h6\bigl(0+4a^2+0\bigr)=\frac{\sqrt2a}6\cdot4a^2=\frac{2\sqrt2}3a^3 $$
である。正八面体の体積は $\dfrac{\sqrt2}3a^3$（ex-pris-octa）なので、公式は体積の 2 倍を与える。
断面積を見ると理由が分かる。下の頂点から高さ $z$ の断面は正方形で、$0\le z\le\dfrac h2$ では下半分の正四角錐の断面なので、1 辺は $z$ に比例し、$z=\dfrac h2=\dfrac a{\sqrt2}$ で $a$ になるから $\sqrt2\,z$ である。
$$ A(z)=\begin{cases}2z^2 & \Bigl(0\le z\le\dfrac h2\Bigr)\\[2mm] 2(h-z)^2 & \Bigl(\dfrac h2\le z\le h\Bigr)\end{cases} $$
$A(z)$ は中央で折れ曲がり、$[0,h]$ 全体では 1 つの多項式で書けない。一方、下半分と上半分をそれぞれ高さ $\dfrac h2$ の擬柱体（正四角錐）と見て公式を使うと、下半分は $\dfrac{h/2}6\Bigl(0+4\cdot\dfrac{a^2}4+a^2\Bigr)=\dfrac a{6\sqrt2}\cdot2a^2=\dfrac{\sqrt2}6a^3$ で、2 倍して正しい体積 $\dfrac{\sqrt2}3a^3$ になる。同じ正八面体でも、ex-pris-octa のように面を下にして置けば擬柱体になり、公式は正しい値を与える。

$y=x^2$（$0\le x\le1$）のグラフを $x$ 軸の周りに回した立体を考える。$x$ 軸に垂直な断面は半径 $x^2$ の円で、断面積は $A(x)=\pi x^4$（4 次式）である。体積は
$$ V=\int_0^1\pi x^4\,dx=\frac\pi5=0.6283\ldots $$
で、公式の値は $A_1=0$、$M=\pi\Bigl(\dfrac12\Bigr)^4=\dfrac\pi{16}$、$A_2=\pi$ から
$$ \frac16\Bigl(0+4\cdot\frac\pi{16}+\pi\Bigr)=\frac16\cdot\frac{5\pi}4=\frac{5\pi}{24}=0.6544\ldots $$
である。差は $\dfrac{5\pi}{24}-\dfrac\pi5=\dfrac{\pi}{120}\ne0$ である。4 次の項では、prf-pris-cubic の計算が合わない（台形公式とSimpsonの公式（高校数学） の例「4 次式ではちょうど正しくはならない」と同じ理由）。

$y=e^x$（$0\le x\le1$）のグラフを $x$ 軸の周りに回した立体の断面積は $A(x)=\pi e^{2x}$ で、多項式ではない。体積は
$$ V=\int_0^1\pi e^{2x}\,dx=\frac\pi2\bigl(e^2-1\bigr)=10.0359\ldots $$
で、公式の値は $A_1=\pi$、$M=\pi e$、$A_2=\pi e^2$ から
$$ \frac16\bigl(\pi+4\pi e+\pi e^2\bigr)=\frac\pi6\bigl(1+4e+e^2\bigr)=10.0856\ldots $$
である。差は約 $0.0497$ で、体積の約 $0.5\%$ にあたる。公式の値は近似値としてはよいが、ちょうど正しくはない。区間を細かく分けて各部分に公式を使うのが、台形公式とSimpsonの公式（高校数学） の Simpson の公式である。