Wuの公式(Stiefel–Whitney類)

1：Pascal の関係式と対称性 $\binom{2d-1}{d-1}=\binom{2d-1}{d}$ により $\binom{2d}{d}=\binom{2d-1}{d-1}+\binom{2d-1}{d}=2\binom{2d-1}{d}$ である。
2：$a:=2^s-d\ge1$ とおくと、上の負の添字の式により $\binom{d-2^s}{d}=\binom{-a}{d}=(-1)^d\binom{a+d-1}{d}=(-1)^d\binom{2^s-1}{d}$ である。Steenrod平方 の補題「2 の冪の二項係数」により、$0\le d\le2^s-1$ について $\binom{2^s-1}{d}$ は奇数である。$\square$

$P_{k,0}(u)=\sum_{j=0}^{k}\binom{k}{j}u_{k-j}u_j$ である。$k=0$ なら $1$ である。$k\ge1$ とすると、$j$ の項と $k-j$ の項は、二項係数の対称性と可換性により等しいので、$j\ne k-j$ の項は 2 つずつ組になって $\mathbb Z/2$ で消える。$k=2d$ が偶数なら $j=d$ の項 $\binom{2d}{d}u_d^2$ が残るが、lem-wu-parity の 1 によりこれも $0$ である。$\square$

$m=0$ なら $e_0=1$、$S(1)=1$ なので左辺は $k=0$ で $1$、$k\ge1$ で $0$ であり、lem-wu-m-zero と一致する。以下 $m\ge1$ とし、$N$ についての帰納法で示す。
$N=0$ なら $e_m=0$ なので左辺は $0$ である。右辺の項 $\binom{k-m}{j}e_{k-j}e_{m+j}$ は、$e_{m+j}\ne0$ となるのが $m+j=0$ のときだけで、$m\ge1$、$j\ge0$ ではそうならないので $0$ である。
$N$ で成り立つとして、変数 $T:=T_{N+1}$ を加える。$N+1$ 変数の基本対称多項式を $e'_i$ と書くと、$i\in\mathbb Z$ について $e'_i=e_i+T\,e_{i-1}$ である（$T$ を含まない項と含む項に分ける）。
左辺． $S$ は環準同型で $S(T)=T+T^2$ なので $S(e'_m)=S(e_m)+(T+T^2)\,S(e_{m-1})$ である。$e_m$ は $m$ 次、$e_{m-1}$ は $m-1$ 次なので、$m+k$ 次の成分を比べて
$$ S^k(e'_m)=S^k(e_m)+T\,S^k(e_{m-1})+T^2\,S^{k-1}(e_{m-1}) $$
である。$m\ge1$ なので $m-1\ge0$ であり、$N$ 変数での帰納法の仮定（$m-1=0$ なら最初に示した $m=0$ の場合、$k-1< 0$ の項は $0$）を当てると、右辺は $P_{k,m}(e)+T\,P_{k,m-1}(e)+T^2\,P_{k-1,m-1}(e)$ になる。
右辺． $P_{k,m}(e')=\sum_j\binom{k-m}{j}(e_{k-j}+Te_{k-j-1})(e_{m+j}+Te_{m+j-1})$ を $T$ の次数で分ける。

• $T$ を含まない部分は $P_{k,m}(e)$ である。
• $T^2$ の係数は $\sum_j\binom{k-m}{j}e_{(k-1)-j}\,e_{(m-1)+j}$ である。$(k-1)-(m-1)=k-m$ なので、これは $P_{k-1,m-1}(e)$ である（$k=0$ なら $e_{-1-j}=0$ で $0$）。
• $T$ の係数は $\sum_j\binom{k-m}{j}e_{k-j-1}e_{m+j}+\sum_j\binom{k-m}{j}e_{k-j}e_{m+j-1}$ である。第 1 の和で $j$ を $j-1$ に置き換えると $\sum_j\binom{k-m}{j-1}e_{k-j}e_{m+j-1}$ となり、Pascal の関係式により 2 つの和の合計は
  $$ \sum_j\binom{k-m+1}{j}e_{k-j}\,e_{(m-1)+j}=P_{k,m-1}(e) $$
  である（$k-(m-1)=k-m+1$）。
  よって $P_{k,m}(e')=P_{k,m}(e)+T\,P_{k,m-1}(e)+T^2\,P_{k-1,m-1}(e)$ であり、左辺の式と一致する。$\square$

右辺は $P_{k,m}(w(E))$、$w(E):=(w_0(E),w_1(E),\dots)$ である。$E$ の階数を $n$ とする。
$n=0$ なら $w(E)=(1,0,0,\dots)$ である。$m=0$ なら左辺は $Sq^k1$ で、$k=0$ で $1$、$k\ge1$ で $0$ であり、lem-wu-m-zero と一致する。$m\ge1$ なら左辺は $0$ で、右辺の各項は $w_{m+j}(E)=0$ を含むので $0$ である。
$n\ge1$ とする。分裂原理 の定理「分裂原理」により、連続写像 $p\colon Y\to B$ で、$p^*E\cong L_1\oplus\cdots\oplus L_n$（$L_i$ は直線束）となり、$p^*\colon H^*(B)\to H^*(Y)$ が単射であるものがある。$t_i:=w_1(L_i)\in H^1(Y)$ とおく。直線束では $w(L_i)=1+t_i$ なので、Whitney の和公式と自然性により
$$ p^*w(E)=w(p^*E)=\prod_{i=1}^n(1+t_i),\qquad p^*w_m(E)=e_m(t_1,\dots,t_n) $$
である。$\varphi\colon\mathbb Z/2[T_1,\dots,T_n]\to H^*(Y)$ を $T_i\mapsto t_i$ で定まる環準同型とすると、$p^*w_m(E)=\varphi(e_m)$ である。
$Sq\circ\varphi$ と $\varphi\circ S$ はどちらも $\mathbb Z/2[T_1,\dots,T_n]$ から $\prod_iH^i(Y)$ への環準同型で、$T_i$ をともに $t_i+t_i^2$ に写す（$Sq(t_i)=t_i+t_i^2$）。よって両者は一致する。$\varphi$ は $d$ 次斉次の多項式を $H^d(Y)$ に写すので、$d+k$ 次の成分を比べると $Sq^k\varphi(f)=\varphi(S^kf)$ である。平方は引き戻しと可換なので、lem-wu-polynomial により
$$ p^*Sq^kw_m(E)=Sq^k\varphi(e_m)=\varphi\bigl(S^k(e_m)\bigr)=\varphi\bigl(P_{k,m}(e)\bigr)=P_{k,m}\bigl(p^*w(E)\bigr)=p^*P_{k,m}\bigl(w(E)\bigr) $$
である。$p^*$ は単射なので $Sq^kw_m(E)=P_{k,m}(w(E))$ である。$\square$

$E$ の階数は有限なので $w(E)$ は有限和であり、$w(E)\ne1$ から $\ell$ が存在する。$\ell$ が $2$ の冪でないとすると、$2^s< \ell< 2^{s+1}$ となる $s\ge0$ があり、$d:=\ell-2^s$ は $0< d< 2^s$ をみたす。thm-wu-main を $m:=2^s$、$k:=d$ に当てる。$0< 2^s< \ell$ なので $w_{2^s}(E)=0$ であり、左辺は $Sq^d0=0$ である。右辺の $0\le j< d$ の項は $0< d-j\le d< \ell$ をみたす $w_{d-j}(E)=0$ を含むので $0$ である。残る $j=d$ の項は $\binom{d-2^s}{d}w_0(E)\,w_{\ell}(E)$ であり、lem-wu-parity の 2 により係数は奇数である。よって $0=w_\ell(E)$ となり、$\ell$ のとり方に反する。$\square$