多変数の正則関数
概要
多変数の正則関数（holomorphic function of several variables）とは、$\mathbb{C}^n$ の開集合の上で、各点のまわりの多重円板で単項式ごとに正規収束する冪級数に等しい関数である。これは「連続で各変数について正則」とも、「$C^1$ 級で $\partial f/\partial\bar z_j=0$（$j=1,\dots,n$）」とも同値であり、正則関数は $C^\infty$ 級で、偏導関数も正則である。連結な開集合の上では空でない開集合での値が全体を決め、局所一様極限も正則になる。一方 $n\ge2$ では零点の集合が集積点をもっても恒等的に $0$ とは限らず、冪級数の収束域は多重円板とは限らない。
多変数の正則関数（holomorphic function of several variables）とは、$\mathbb{C}^n$ の開集合の上で、各点のまわりで $n$ 変数の収束冪級数に等しい関数のことである。1 変数の正則関数と同じく、この性質は「連続で、各変数について 1 変数の意味で正則」とも、「$C^1$ 級で Cauchy–Riemann の方程式 $\partial f/\partial\bar z_j=0$（$j=1,\dots,n$）を満たす」とも言い換えられる（thm-hfsv-equivalence）。さらに Hartogs の定理により、連続性の仮定も要らない（Hartogsの定理(別々正則性)）。
多変数の正則関数は、1 変数の正則関数の多くの性質を受け継ぐ。何回でも微分でき、局所一様極限で閉じ、連結な開集合の上では空でない開集合での値が全体を決める（thm-hfsv-identity）。一方で、1 変数とは違う点もある。$n\ge2$ では零点が孤立せず（ex-hfsv-zeros）、冪級数の収束する範囲は多重円板とは限らない。さらに、ある種の領域の上の正則関数はすべて、より大きな領域へ延びてしまう（Hartogsの拡張定理）。この記事では定義と言い換え、基本性質を証明し、例と反例で 1 変数との違いを確かめる。
記号と定義
$\mathbb{C}^n$ の点を $z=(z_1,\dots,z_n)$、$z_j=x_j+iy_j$（$x_j,y_j$ は実数）と書き、$\mathbb{C}^n$ を $\mathbb{R}^{2n}$ と同一視する。多重指数 $\alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\in\mathbb{N}^n$ に対し $z^\alpha:=z_1^{\alpha_1}\cdots z_n^{\alpha_n}$、$|\alpha|:=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$、$\alpha!:=\alpha_1!\cdots\alpha_n!$ とする。$a\in\mathbb{C}^n$ と $r=(r_1,\dots,r_n)$（$0< r_j\le\infty$）に対し、多重円板 を $\Delta(a,r):=\{z\mid|z_j-a_j|< r_j\ (j=1,\dots,n)\}$ と書く。$n=1$ では $\Delta(a,r)$ は普通の開円板である。
級数 $\sum_\alpha g_\alpha(z)$ が集合 $K$ の上で正規収束するとは、$\sum_\alpha\sup_{z\in K}|g_\alpha(z)|<\infty$ となることをいう。このとき和は項の並べ方によらず、$K$ の上で絶対かつ一様に収束する。
$U\subset\mathbb{C}^n$ を開集合とする。関数 $f\colon U\to\mathbb{C}$ が正則であるとは、各点 $a\in U$ に対し、$\Delta(a,r)\subset U$ となる多重半径 $r$ と複素数の族 $(c_\alpha)_{\alpha\in\mathbb{N}^n}$ があって、冪級数 $\sum_\alpha c_\alpha(z-a)^\alpha$ が $\Delta(a,r)$ の任意のコンパクト部分集合の上で正規収束し、$\Delta(a,r)$ の上で和が $f$ に等しいことをいう。$U$ 上の正則関数全体を $\mathcal{O}(U)$ と書く。写像 $F=(F_1,\dots,F_m)\colon U\to\mathbb{C}^m$ は、各成分 $F_k$ が正則なとき正則写像という。
$n=1$ ではこれは 1 変数の正則関数と同じである（正則関数 の定理「冪級数の正則性」と「正則関数の冪級数展開」）。定義で単項式 $(z-a)^\alpha$ ごとの絶対収束を求めるのは、多変数の級数では項の並べ方が一通りに決まらないからである。次数ごとにまとめた和だけが収束する、という弱い条件とは違う（ex-hfsv-blocks）。
$C^1$ 級の関数 $u$ に対し、Wirtinger の微分作用素を
$$
\frac{\partial u}{\partial z_j}:=\frac12\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x_j}-i\frac{\partial u}{\partial y_j}\Bigr),\qquad\frac{\partial u}{\partial\bar z_j}:=\frac12\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x_j}+i\frac{\partial u}{\partial y_j}\Bigr)
$$
で定める。$u=a+ib$（$a,b$ は実数値）と書くと $2\,\partial u/\partial\bar z_j=(a_{x_j}-b_{y_j})+i(a_{y_j}+b_{x_j})$ だから、$\partial u/\partial\bar z_j=0$ は変数 $z_j$ についての Cauchy–Riemann の方程式 $a_{x_j}=b_{y_j}$、$a_{y_j}=-b_{x_j}$ そのものである。$\partial/\partial z_j$ との符号の違いに注意する（ex-hfsv-sign）。Wirtinger の微分作用素の計算規則と、実の意味で全微分可能な点で $\partial u/\partial\bar z_j=0$（$j=1,\dots,n$）が全微分の複素線形性と同値であることは、Cauchy–Riemannの方程式 の命題「Wirtinger の微分作用素の計算規則」と定理「全微分の複素線形性」にある。
関数 $f\colon U\to\mathbb{C}$ が各変数について正則であるとは、各 $j$ と各点 $z\in U$ について、$z_j$ 以外の変数を止めた 1 変数の関数 $w\mapsto f(z_1,\dots,z_{j-1},w,z_{j+1},\dots,z_n)$ が、それが定義される開集合 $\{w\in\mathbb{C}\mid(z_1,\dots,w,\dots,z_n)\in U\}$ の上で正則であることをいう。
主定理：正則性の言い換え
$U\subset\mathbb{C}^n$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb{C}$ とする。次の 3 条件は同値である。
- $f$ は正則である（def-hfsv-main）。
- $f$ は連続で、各変数について正則である。
- $f$ は $C^1$ 級で、$U$ 上で $\partial f/\partial\bar z_j=0$（$j=1,\dots,n$）を満たす。
これらが成り立つとき、$f$ は $C^\infty$ 級で、複素偏導関数 $\partial^\alpha f=\partial^{|\alpha|}f/\partial z_1^{\alpha_1}\cdots\partial z_n^{\alpha_n}$ はすべて $U$ 上で正則である。さらに $\Delta(a,r)\subset U$ となる任意の多重円板（$r_j=\infty$ も許す）の上で
$$ f(z)=\sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n}\frac{\partial^\alpha f(a)}{\alpha!}(z-a)^\alpha $$
であり、右辺は $\Delta(a,r)$ のコンパクト部分集合の上で正規収束する。特に、定義の係数 $c_\alpha$ は $\partial^\alpha f(a)/\alpha!$ に等しく、$f$ から一意に定まる。
条件 2 は 多重円板・Hartogsの拡張定理・正則領域 で正則関数の定義に採られている形であり、条件 3 は $\bar\partial$ 方程式を扱うときに使いやすい形である。主定理により、これらの記事の正則関数はこの記事の正則関数と同じものである。教科書によって採る定義は違い、たとえば Hor90 は条件 3 を定義とし（Definition 2.1.1、p. 23）、Theorem 2.2.1（p. 26）と Theorem 2.2.6（p. 27）で冪級数展開を導いている。
1 ⇒ 2。 $a\in U$ と、定義の $\Delta(a,r)$ と $(c_\alpha)$ をとる。$0<\rho_j< r_j$ となる有限の $\rho_j$ をとると、閉多重円板 $\overline{\Delta}(a,\rho)$ はコンパクトなので級数はその上で正規収束する。有限個の項の和は多項式で連続だから、その一様極限である $f$ は $\Delta(a,\rho)$ 上で連続である。次に、$j$ と $z\in\Delta(a,\rho)$ を固定し、$z_j$ だけを $w$ に置き換えた点を $z(w)$ と書く。$|w-a_j|<\rho_j$ のとき $z(w)\in\Delta(a,\rho)$ であり、級数は絶対収束するので、$\alpha_j=k$ となる項をまとめ直して
$$
f(z(w))=\sum_{k=0}^\infty b_k(w-a_j)^k,\qquad b_k:=\sum_{\alpha:\,\alpha_j=k}c_\alpha\prod_{i\ne j}(z_i-a_i)^{\alpha_i}
$$
と書ける（絶対収束する級数は項をまとめ直しても和が変わらない）。右辺は $|w-a_j|<\rho_j$ で収束する 1 変数の冪級数なので、正則関数 の定理「冪級数の正則性」により $w$ について正則である。$a$ は任意だったので 2 が成り立つ。
2 ⇒ 1 と後半の主張。 条件 2 は 多重円板 の定義「多変数の正則関数」そのものである。同じ記事の定理「冪級数展開」により、$\Delta(a,r)\subset U$ の上で $f$ は上の Taylor 級数に等しく、級数はコンパクト部分集合の上で正規収束する。これは 1 を意味する。さらに同じ記事の系「導関数の積分表示と滑らかさ」により、$f$ は $C^\infty$ 級で、$\partial^\alpha f$ は条件 2 を満たす（したがって、いま示したことにより 1 も満たす）。係数の一意性：定義の $\Delta(a,r)$ の上で正規収束する級数 $\sum c_\alpha(z-a)^\alpha$ の和が $f$ なら、円周の積の上で項別に積分して係数を読み取ると $c_\alpha=\partial^\alpha f(a)/\alpha!$ である（収束冪級数環 の命題「収束冪級数と正則関数の芽」とその証明）。詳しい根拠を自分で確かめたい読者のために、2 ⇒ 1 の自己完結した証明を Osgoodの補題 に置いた。
2 ⇒ 3。 2 ⇒ 1 の段で $f$ は $C^\infty$ 級、特に $C^1$ 級である。$z_j$ 以外を止めた 1 変数の関数は正則なので、正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」により Cauchy–Riemann の方程式を満たし、上で見たとおりこれは $\partial f/\partial\bar z_j=0$ である。
3 ⇒ 2。 $C^1$ 級の関数は連続である。$z_j$ 以外を止めた 1 変数の関数は、実部と虚部が $C^1$ 級で Cauchy–Riemann の方程式を満たすので、正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」の後半により正則である。$\square$
条件 2 の「連続」は省ける。各変数について正則な関数は自動的に連続になり、したがって正則である。これが Hartogsの定理(別々正則性) であり、その標準的な証明は Baire のカテゴリー定理と劣調和関数を使う。連続性の代わりに局所有界性を仮定した場合は、Osgoodの補題 がより短い証明を与える。
基本性質
$U\subset\mathbb{C}^n$ を開集合とする。
- 定数関数と座標関数 $z\mapsto z_j$ は正則である。$f,g\in\mathcal{O}(U)$ なら $f+g$、$fg$ は正則であり、$\mathcal{O}(U)$ は $\mathbb{C}$ 上の多元環である。
- $f\in\mathcal{O}(U)$ が $U$ 上で $0$ にならなければ、$1/f\in\mathcal{O}(U)$ である。
- $V\subset\mathbb{C}^m$ を開集合、$F\colon U\to V$ を正則写像、$g\in\mathcal{O}(V)$ とすると、$g\circ F\in\mathcal{O}(U)$ である。
1 と 2 は thm-hfsv-equivalence の条件 2 で確かめる。連続関数の和・積・（$0$ にならない関数の）逆数は連続であり、各変数について正則であることは 1 変数の 正則関数 の命題「正則関数の四則と合成」から従う。
3 は条件 3 で確かめる。要点：$C^1$ 級の関数の実の微分を $dz_k$ と $d\bar z_k$ の 1 次結合で書くと、正則性は「$d\bar z$ の成分がない」ことであり、合成でもこれが保たれる。
詳しい証明を開く
$C^1$ 級の関数 $h$ の実の微分は、$dx_k=(dz_k+d\bar z_k)/2$、$dy_k=(dz_k-d\bar z_k)/(2i)$ を代入すると $dh=\sum_k\bigl(\frac{\partial h}{\partial z_k}dz_k+\frac{\partial h}{\partial\bar z_k}d\bar z_k\bigr)$ と書ける。$F$ の各成分は正則なので $dF_k=\sum_j\frac{\partial F_k}{\partial z_j}dz_j$ であり、複素共役をとって $d\bar F_k=\sum_j\overline{\frac{\partial F_k}{\partial z_j}}\,d\bar z_j$ である。$g$ の実の微分は $dg=\sum_k\frac{\partial g}{\partial w_k}dw_k$（$\partial g/\partial\bar w_k=0$）で、実の連鎖律により $d(g\circ F)=\sum_k\bigl(\frac{\partial g}{\partial w_k}\circ F\bigr)dF_k$ となる。右辺は $dz_j$ だけの 1 次結合なので $\partial(g\circ F)/\partial\bar z_j=0$ である。$g\circ F$ は $C^1$ 級の写像の合成として $C^1$ 級だから、thm-hfsv-equivalence の条件 3 により正則である。$\square$
$U\subset\mathbb{C}^n$ を連結な開集合、$f,g\in\mathcal{O}(U)$ とする。$f$ と $g$ が $U$ の空でない開部分集合の上で一致すれば、$U$ 全体で $f=g$ である。
$h:=f-g$ とし、$S:=\{x\in U\mid h\ \text{は}\ x\ \text{のある近傍の上で恒等的に}\ 0\}$ とおく。仮定から $S$ は空でなく、定義から開集合である。
$S$ が $U$ の中で閉じていることを示す。$x\in U$ を $S$ の閉包の点とする。$S$ の各点の近くで $h\equiv0$ なので、$S$ の上で $\partial^\alpha h=0$（すべての $\alpha$）である。thm-hfsv-equivalence により $\partial^\alpha h$ は連続だから、$S$ の点列で $x$ に近づけて $\partial^\alpha h(x)=0$ を得る。$\Delta(x,r)\subset U$ となる多重円板をとると、同じ定理により $\Delta(x,r)$ の上で $h(z)=\sum_\alpha\frac{\partial^\alpha h(x)}{\alpha!}(z-x)^\alpha=0$ であり、$x\in S$ である。
$U$ は連結で、$S$ は空でない開かつ閉な部分集合だから $S=U$、すなわち $f=g$ である。$\square$
$U\subset\mathbb{C}^n$ が連結な開集合なら、$\mathcal{O}(U)$ は整域である。
$fg=0$ で $f$ が恒等的に $0$ でないとする。$f$ は連続なので $W:=\{z\in U\mid f(z)\ne0\}$ は空でない開集合であり、$W$ の上で $g=0$ である。thm-hfsv-identity により $g\equiv0$ である。$\square$
$U\subset\mathbb{C}^n$ を開集合とし、$f_k\in\mathcal{O}(U)$（$k=1,2,\dots$）が関数 $f\colon U\to\mathbb{C}$ に局所一様収束する（各点のある近傍の上で一様に収束する）とする。このとき $f\in\mathcal{O}(U)$ である。
連続関数の局所一様極限なので $f$ は連続である。$z_j$ 以外の変数を止めると、1 変数の正則関数の列が局所一様に収束しているので、Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」により極限は $z_j$ について正則である。thm-hfsv-equivalence の条件 2 により $f$ は正則である。$\square$
点 $a$ での正則関数の芽の環 $\mathcal{O}_a$ は、収束冪級数の環 $\mathbb{C}\{z-a\}$ と環として同型であり、定数項が $0$ でない元がちょうど単元であるような局所環である（収束冪級数環 の命題「収束冪級数と正則関数の芽」と定理「収束冪級数環は局所環」）。
例
- 多項式 $\sum_{|\alpha|\le d}c_\alpha z^\alpha$ は $\mathbb{C}^n$ 上で正則である（prop-hfsv-algebra の 1）。$e^{z_1z_2}$、$\sin(z_1+z_2^2)$ は整関数と多項式の合成なので正則である（同じ命題の 3）。
- $f(z_1,z_2)=\dfrac{1}{1-z_1z_2}$ は開集合 $\{z_1z_2\ne1\}$ の上で正則である（同じ命題の 2）。原点での Taylor 級数は $\sum_{k\ge0}(z_1z_2)^k$ であり、これが収束する点の集合 $\{|z_1z_2|<1\}$ は多重円板ではない（多重円板 の例「多重円板でない収束域」）。
- $\bar z_1$、$\operatorname{Re}z_1$、$|z|^2=\sum_j|z_j|^2$ は $C^\infty$ 級だが、どの開集合の上でも正則でない。実際、$\frac{\partial\bar z_1}{\partial\bar z_1}=1$、$\frac{\partial\operatorname{Re}z_1}{\partial\bar z_1}=\frac12$、$\frac{\partial|z|^2}{\partial\bar z_j}=z_j$ であり、最後のものは $z_j=0$ となる超平面の外で $0$ でない。
$n\ge2$ とし、$f(z)=z_1$ を $\mathbb{C}^n$ 上の正則関数とする。零点の集合 $\{z_1=0\}$ は $\mathbb{C}^{n-1}$ と同相で、その各点は零点の集積点である。それでも $f$ は恒等的に $0$ ではない。1 変数では「零点の集合が領域の中に集積点をもてば恒等的に $0$」が成り立つ（一致の定理）が、多変数では thm-hfsv-identity のように空でない開集合での一致が要る。どの零点も孤立しないことは一般に成り立つ（Hartogsの拡張定理 の系「零点は孤立しない」）。
$f(z)=z_1$ は正則で、$\frac{\partial f}{\partial x_1}=1$、$\frac{\partial f}{\partial y_1}=i$ である。したがって
$$
\frac{\partial f}{\partial\bar z_1}=\frac12(1+i\cdot i)=0,\qquad\frac{\partial f}{\partial z_1}=\frac12(1-i\cdot i)=1
$$
である。正則性を表すのは $\frac12(\partial_{x_j}+i\partial_{y_j})f=0$ であり、符号を変えた $\frac12(\partial_{x_j}-i\partial_{y_j})f$ は正則関数の複素偏導関数 $\partial f/\partial z_j$ を与える。「$\frac12(\partial_{x_j}-i\partial_{y_j})f=0$ がすべての $j$ で成り立つことが正則性と同値」と書くと、正則関数 $z_1$ がこの式を満たさないので誤りになる。
$n=2$ で $\sum_{k\ge0}(z_1-z_2)^k$ を考える。次数 $k$ の部分 $(z_1-z_2)^k$ を 1 つの項とみると、この級数は開集合 $\{|z_1-z_2|<1\}$ の上で局所一様に $\frac1{1-z_1+z_2}$ に収束し、たとえば点 $(1,1)$ を含む。ところが各 $(z_1-z_2)^k$ を単項式に展開すると、点 $(1,1)$ での絶対値の和は
$$
\sum_{k\ge0}\sum_{i=0}^k\binom ki|z_1|^i|z_2|^{k-i}=\sum_{k\ge0}(|z_1|+|z_2|)^k=\sum_{k\ge0}2^k=\infty
$$
となり、原点を中心とする単項式の級数としては点 $(1,1)$ で絶対収束しない。次数ごとにまとめた和が収束する範囲と、単項式ごとに絶対収束する範囲は一致しないのである。def-hfsv-main は単項式ごとの正規収束を求めるので、点 $(1,1)$ の近くの正則性は、原点での展開ではなく $(1,1)$ を中心とする展開で確かめる。実際、関数 $\frac1{1-z_1+z_2}$ は prop-hfsv-algebra によりこの開集合の上で正則である。
反例：仮定を外した場合
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| thm-hfsv-identity の「$U$ は連結」 | $U=\Delta(0,(1,\dots,1))\cup\Delta(3e_1,(1,\dots,1))$（$e_1=(1,0,\dots,0)$）、第 1 の多重円板で $0$、第 2 で $1$ をとる $f$ と $g=0$ | 空でない開集合で一致するが $f\ne g$ |
| thm-hfsv-identity の「空でない開集合で一致」を「集積点をもつ集合で一致」に弱める（$n\ge2$） | $f=z_1$、$g=0$ は $\{z_1=0\}$ で一致する（ex-hfsv-zeros） | $f\ne g$ |
| thm-hfsv-equivalence の条件 3 の「$C^1$ 級」を「各点で偏導関数が存在する」に弱める | $n=1$、$f(z)=e^{-z^{-4}}$（$z\ne0$）、$f(0)=0$ | 至るところ偏導関数が存在して $\partial f/\partial\bar z=0$ だが、原点で連続でなく正則でない |
| thm-hfsv-equivalence の条件 2 の「各変数について正則」を「一部の変数について正則」に弱める | $n=2$、$f(z_1,z_2)=\bar z_2$ | 連続で $z_1$ について正則だが、$\partial f/\partial\bar z_2=1$ で正則でない |
3 行目を確かめる。$z\ne0$ では $f$ は正則なので偏導関数が存在して Cauchy–Riemann の方程式を満たす。原点では、実軸上で $f(x)=e^{-1/x^4}$、虚軸上で $(iy)^4=y^4$ より $f(iy)=e^{-1/y^4}$ であり、どちらも $t\to0$ で $e^{-1/t^4}/t\to0$ なので $\partial f/\partial x(0)=\partial f/\partial y(0)=0$、したがって $\partial f/\partial\bar z(0)=0$ である。一方、$z=te^{i\pi/4}$（$t>0$）では $z^4=-t^4$ なので $f(z)=e^{1/t^4}\to\infty$（$t\to0$）であり、$f$ は原点で連続でない。$n\ge2$ でも、$f(z_1)$ を $n$ 変数の関数とみれば同じ反例になる。
補足
- 多変数の正則関数の理論は、1 変数と同じ形の局所理論（多重円板 の Cauchy の積分公式・冪級数展開、収束冪級数環、Weierstrassの予備定理）の上に、1 変数にない大域的な現象を載せている。$n\ge2$ では、コンパクト集合の外で正則な関数が内側へ延び（Hartogsの拡張定理）、正則関数が延びない「自然な定義域」は特別な領域に限られる（正則領域）。
- 定義は局所的なので、複素多様体 の上の正則関数や、多様体の間の正則写像も局所座標で同じように定義される。
- 正則関数 $f$ について $\log|f|$ は 多重劣調和関数 であり、劣調和関数の理論は多変数の正則関数を調べる道具になる。Hartogsの定理(別々正則性) の証明もその一例である。
関連項目
- 前提: 正則関数
- 前提: 多重円板
- 前提: 冪級数
- 関連: Cauchy–Riemannの方程式
- 関連: Osgoodの補題
- 関連: Hartogsの定理(別々正則性)
- 関連: 収束冪級数環
- 発展: Hartogsの拡張定理
- 発展: 正則領域
- 発展: 複素多様体
参考文献
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