点列コンパクト
概要
点列コンパクト（sequentially compact）とは、位相空間 $X$ の任意の点列が $X$ のある点に収束する部分列をもつという性質であり、解析学の Bolzano–Weierstrass の定理「$\mathbb{R}^n$ の有界な点列は収束する部分列をもつ」の結論を一般の位相空間で定義として採用したものである。距離空間ではコンパクト性・可算コンパクト性と同値であり、第1可算空間では可算コンパクト性と同値だが、一般の位相空間ではコンパクト性と点列コンパクト性はどちらも他方を導かない。非可算個の直積 $[0,1]^{[0,1]}$ はコンパクトだが点列コンパクトでなく、最小の非可算順序数 $\omega_1$ は点列コンパクトだがコンパクトでない。点列コンパクト性は閉部分集合・連続像・可算個の直積で保たれる。
前提知識: 位相空間, 点列, 部分列, 収束, コンパクト空間
定義
$X$ を位相空間とする。$X$ の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ が点 $x\in X$ に収束するとは、$x$ の任意の近傍 $V$ に対してある $N\in\mathbb{N}$ が存在し、$n\ge N$ ならば $x_n\in V$ となることをいう。狭義単調増加な番号の列 $n_0< n_1< n_2<\cdots$ に対して得られる点列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ を $(x_n)$ の部分列という。
$X$ が点列コンパクト（sequentially compact）であるとは、$X$ の任意の点列 $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、$X$ のある点 $x$ に収束する部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ が存在することをいう。$X$ の部分集合 $A$ が点列コンパクトであるとは、$A$ に相対位相を入れた位相空間が点列コンパクトであることをいう。$A$ の点列が $A$ の点 $a$ に相対位相で収束することは $X$ で $a$ に収束することと同値なので、これは「$A$ の任意の点列が $A$ のある点に収束する部分列を持つ」ことと同じである。
定義で重要なのは、部分列の極限が空間 $X$ の中に存在しなければならない点である。たとえば実数の開区間 $(0,1)$ の点列 $(1/(n+2))_{n\in\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}$ では $0$ に収束するが、$0\notin(0,1)$ なので、これは $(0,1)$ が点列コンパクトでないことを示す（ex-seq-compact-open-interval）。
直感
点列コンパクト性は、解析学の Bolzano–Weierstrass の定理「$\mathbb{R}^n$ の有界な点列は収束する部分列を持つ」（Rud76 Chapter 3）を、点列の言葉のまま一般の位相空間へ持ち込んだ概念である。「無限に点を打っても、空間からはみ出さず、無限遠へも逃げないなら、点はどこかに集積せざるを得ない」という現象を表す。一方、コンパクト空間の定義は開被覆の有限部分被覆で述べられ、点列を使わない。点列は可算個の項しか持たないので、点列だけで空間全体を観測できるのは、各点の近傍が可算個で記述できる（第1可算公理を満たす）ときに限られる。このため、点列コンパクト性は距離空間ではコンパクト性・可算コンパクト性（可算コンパクト空間）と一致し、第1可算空間では可算コンパクト性と一致する（コンパクト性とは一致しない。後述の $\omega_1$ の例）が、一般の位相空間ではコンパクト性と点列コンパクト性はどちらも他方を導かない（ex-seq-compact-cube、ex-seq-compact-omega1）。
例と反例
閉区間 $[a,b]$（$a\le b$）、より一般に Euclid空間 $\mathbb{R}^n$ の有界な閉集合 $K$ は点列コンパクトである。実際、Heine–Borel の定理（Heine-Borelの定理。コンパクト空間 が証明をもつ）により $K$ はコンパクトであり、$\mathbb{R}^n$ は距離空間なので thm-seq-compact-metric により $K$ は点列コンパクトである。逆に、$\mathbb{R}^n$ の点列コンパクトな部分集合は同じ定理によりコンパクトであり、Heine–Borel の定理により有界閉集合である。$[0,1]^{\mathbb{N}}$（Hilbert立方体）も点列コンパクトである（prop-seq-compact-countable-product）。
開区間 $X=(0,1)$ に $\mathbb{R}$ からの相対位相を入れる。$X$ は距離空間で有界であり、Hausdorff空間であるが、点列コンパクトでない。点列 $x_n:=1/(n+2)$（$n\in\mathbb{N}$）は $X$ の点列であり、その任意の部分列 $(x_{n_k})$ は $\mathbb{R}$ で $0$ に収束する。もし $(x_{n_k})$ が $X$ のある点 $x$ に収束すれば、相対位相の定義から $\mathbb{R}$ でも $x$ に収束し、$\mathbb{R}$ が Hausdorff なので極限は一意だから $x=0\in X$ となって矛盾する。
満たす性質：有界、距離空間、Hausdorff。満たさない性質：$\mathbb{R}$ の閉集合、点列コンパクト、コンパクト。破る含意：「有界な距離空間ならば点列コンパクト」。
$I:=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$（$0$ と $1$ からなる数列全体の集合）を添字集合とし、直積位相を入れた直積空間 $X:=[0,1]^{I}$ を考える。$X$ の点は写像 $x\colon I\to[0,1]$ である。$I$ と $[0,1]$ は同じ濃度をもつので、$X$ は $[0,1]^{[0,1]}$ と同相である。
$X$ はコンパクトである。閉区間 $[0,1]$ はコンパクトであり（ex-seq-compact-euclid）、コンパクト空間の任意個の直積はコンパクトだからである（Tychonoffの定理。本記事では証明しない）。
$X$ は点列コンパクトでない。各 $n\in\mathbb{N}$ に対し、$x_n\in X$ を $x_n(s):=s_n$（$s=(s_0,s_1,\dots)\in I$）で定める。任意の部分列 $(x_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ をとり、$s\in I$ を
$$
s_{n_k}:=\begin{cases}0&(k\text{ が偶数})\\1&(k\text{ が奇数})\end{cases},\qquad s_m:=0\ (m\notin\{n_0,n_1,\dots\})
$$
で定める（$n_0< n_1<\cdots$ は相異なるので矛盾なく定まる）。すると $x_{n_k}(s)=s_{n_k}$ は $0,1,0,1,\dots$ と交互に並ぶ。もし $(x_{n_k})$ が $X$ のある点 $x$ に収束すれば、座標 $s$ への射影 $\mathrm{pr}_s\colon X\to[0,1]$ は連続写像なので $x_{n_k}(s)=\mathrm{pr}_s(x_{n_k})$ は $x(s)$ に収束する（$x(s)$ の開近傍 $W$ に対し $\mathrm{pr}_s^{-1}(W)$ は $x$ の開近傍だから、十分大きい $k$ で $x_{n_k}(s)\in W$）。しかし十分大きい $k$ について $|x_{n_k}(s)-x(s)|<1/2$ が成り立つなら、偶数の $k$ から $|x(s)|<1/2$、奇数の $k$ から $|1-x(s)|<1/2$ となり矛盾する。よってどの部分列も収束しない。
満たす性質：コンパクト、Hausdorff。満たさない性質：点列コンパクト、第1可算（$X$ が第1可算なら prop-seq-compact-first-countable により点列コンパクトになるはずだから）。破る含意：「コンパクトならば点列コンパクト」。第1可算性を仮定すればこの含意は成り立つ（prop-seq-compact-first-countable）。
可算順序数全体の集合 $\omega_1$（最小の非可算順序数）に順序位相を入れる。$\omega_1$ は可算コンパクトだがコンパクトでない（可算コンパクト空間 が証明をもつ）。また $\omega_1$ は第1可算である（第1可算公理 が証明をもつ）。したがって prop-seq-compact-first-countable により $\omega_1$ は点列コンパクトである。要点は、$\omega_1$ の点列 $(x_n)$ の値はすべて可算順序数だから上界 $\beta<\omega_1$ をもち、点列が $\omega_1$ の「途中」に閉じ込められることである。一方、開被覆 $\{[0,\alpha)\mid\alpha<\omega_1\}$ は有限部分被覆をもたない。
満たす性質：点列コンパクト、可算コンパクト、第1可算、Hausdorff。満たさない性質：コンパクト、Lindelöf（Lindelöf空間ではない。Lindelöf かつ可算コンパクトならコンパクトになってしまうため、可算コンパクト空間による）、距離化可能（距離化可能空間。距離化可能なら thm-seq-compact-metric によりコンパクトになってしまう）。破る含意：「点列コンパクトならばコンパクト」。
性質
- 点列コンパクト空間 $X$ の閉集合 $F$ は（相対位相で）点列コンパクトである。
- 点列コンパクト空間 $X$ から位相空間 $Y$ への連続写像 $f\colon X\to Y$ の像 $f(X)$ は（$Y$ からの相対位相で）点列コンパクトである。
- $(x_n)$ を $F$ の点列とする。$X$ の点列とみて、$X$ のある点 $x$ に収束する部分列 $(x_{n_k})$ をとる。$x\notin F$ とすると $X\setminus F$ は $x$ の開近傍であり、$x_{n_k}\notin X\setminus F$ がすべての $k$ で成り立つので収束に反する。よって $x\in F$ であり、$F$ における $x$ の近傍は $V\cap F$（$V$ は $X$ における $x$ の近傍）の形なので、$(x_{n_k})$ は相対位相でも $x$ に収束する。
- $f(X)$ の点列は $(f(x_n))$（$x_n\in X$）の形に書ける。$(x_n)$ の部分列 $(x_{n_k})$ で $X$ のある点 $x$ に収束するものをとる。$f(x)$ の $Y$ における開近傍 $W$ に対し、$f^{-1}(W)$ は $x$ の開近傍だから十分大きい $k$ で $x_{n_k}\in f^{-1}(W)$、すなわち $f(x_{n_k})\in W\cap f(X)$ である。よって $(f(x_{n_k}))$ は $f(X)$ の点 $f(x)$ に収束する。$\square$
- 点列コンパクト空間は可算コンパクトである。
- 第1可算空間については、点列コンパクトであることと可算コンパクトであることは同値である。特に、第1可算なコンパクト空間は点列コンパクトである。
$(X_i)_{i\in\mathbb{N}}$ を点列コンパクト空間の可算族とすると、直積位相を入れた直積 $X:=\prod_{i\in\mathbb{N}}X_i$ は点列コンパクトである。
$(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ を $X$ の点列とし、$x_n=(x_n(i))_{i\in\mathbb{N}}$ と書く。無限集合の減少列 $\mathbb{N}\supset S_0\supset S_1\supset\cdots$ と点 $p_i\in X_i$ を次のように帰納的に定める。$X_0$ の点列 $(x_n(0))_{n\in\mathbb{N}}$ は収束する部分列をもつので、無限集合 $S_0\subset\mathbb{N}$ と $p_0\in X_0$ で、$(x_n(0))_{n\in S_0}$（$S_0$ の元を小さい順に並べた部分列）が $p_0$ に収束するものがとれる。$S_{i-1}$ まで定まったとき、$X_i$ の点列 $(x_n(i))_{n\in S_{i-1}}$ は収束する部分列をもつので、無限集合 $S_i\subset S_{i-1}$ と $p_i\in X_i$ で $(x_n(i))_{n\in S_i}$ が $p_i$ に収束するものがとれる。この可算回の選択には従属選択公理を用いる。
番号の列を $n_0:=\min S_0$、$n_k:=\min\{n\in S_k\mid n>n_{k-1}\}$（$S_k$ は無限集合なのでこの集合は空でない）で定めると、$n_0< n_1<\cdots$ であり、$k\ge i$ ならば $n_k\in S_k\subset S_i$ である。したがって各 $i$ について、$(x_{n_k}(i))_{k\ge i}$ は $(x_n(i))_{n\in S_i}$ の部分列であり、$p_i$ に収束する。
$p:=(p_i)_{i\in\mathbb{N}}\in X$ とおく。直積位相における $p$ の任意の近傍は、有限個の座標 $i_1,\dots,i_m$ と各 $X_{i_j}$ における $p_{i_j}$ の開近傍 $W_j$ により定まる基本開集合 $\bigcap_{j=1}^m\mathrm{pr}_{i_j}^{-1}(W_j)$ を含む。各 $j$ について十分大きい $k$ で $x_{n_k}(i_j)\in W_j$ となるので、それらの最大値以上の $k$ で $x_{n_k}$ はこの基本開集合に属する。よって $(x_{n_k})$ は $p$ に収束する。$\square$
非可算個の直積では同じ結論は成り立たない（ex-seq-compact-cube）。可算個の直積で議論が通るのは、対角線論法で扱える座標が可算個だからである。
$(X,d)$ を点列コンパクトな距離空間、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。このときある $\delta>0$ が存在し、任意の $x\in X$ に対して開球 $B(x,\delta):=\{y\in X\mid d(x,y)<\delta\}$ を含む $U\in\mathcal{U}$ が存在する。このような $\delta$ を $\mathcal{U}$ の Lebesgue 数という。
結論を否定すると、各 $n\in\mathbb{N}$ について $\delta=1/(n+1)$ が条件を満たさないので、$B(x_n,1/(n+1))$ がどの $U\in\mathcal{U}$ にも含まれないような $x_n\in X$ がとれる（可算選択公理）。点列コンパクト性により、$(x_n)$ の部分列 $(x_{n_k})$ で $X$ のある点 $x$ に収束するものがある。$\mathcal{U}$ は被覆だから $x\in U$ となる $U\in\mathcal{U}$ があり、$U$ は開集合なので $B(x,r)\subset U$ となる $r>0$ がある。$k$ を十分大きくとると $d(x_{n_k},x)< r/2$ かつ $1/(n_k+1)< r/2$ である。このとき $y\in B(x_{n_k},1/(n_k+1))$ ならば $d(y,x)\le d(y,x_{n_k})+d(x_{n_k},x)< r/2+r/2=r$ なので、$B(x_{n_k},1/(n_k+1))\subset B(x,r)\subset U$ となり、$x_{n_k}$ の取り方に反する。$\square$
距離空間 $(X,d)$ について、次の三条件は同値である。
- $X$ はコンパクトである。
- $X$ は点列コンパクトである。
- $X$ は可算コンパクトである。
距離化可能空間についても三条件は位相的なので同じ結論が成り立つ。
1 ⇒ 3：コンパクト空間は可算コンパクトである（可算コンパクト空間）。
3 ⇒ 2：距離空間は第1可算である（各点 $x$ で開球 $B(x,1/(n+1))$（$n\in\mathbb{N}$）が高々可算な基本近傍系をなす。第1可算公理 が扱う）ので、prop-seq-compact-first-countable による。
2 ⇒ 1：$X$ を点列コンパクトとし、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。lem-seq-compact-lebesgue により $\mathcal{U}$ の Lebesgue 数 $\delta>0$ をとる。次に、$X$ が全有界であること、すなわち $X$ が有限個の開球 $B(a_1,\delta),\dots,B(a_m,\delta)$ で覆えることを示す。$X$ の任意の点列は点列コンパクト性により収束する部分列をもち、距離空間の収束する点列は Cauchy列である（$x_n\to x$ なら $d(x_m,x_n)\le d(x_m,x)+d(x,x_n)$ が $m,n$ とともに $0$ に近づく）。したがって $X$ の任意の点列は Cauchy 部分列をもち、全有界 の定理（任意の点列が Cauchy 部分列をもつ距離空間は全有界である）により $X$ は全有界である。よって $X=B(a_1,\delta)\cup\cdots\cup B(a_m,\delta)$ となる有限個の点 $a_1,\dots,a_m\in X$ がとれる（$X=\emptyset$ なら $m=0$ でよい）。Lebesgue 数の性質から各 $i$ について $B(a_i,\delta)\subset U_i$ となる $U_i\in\mathcal{U}$ がとれ、$U_1,\dots,U_m$ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆である。$\square$
$\mathbb{R}^n$ の有界な点列は、$\mathbb{R}^n$ のある点に収束する部分列をもつ。
点列 $(x_n)$ が有界なら、ある $M>0$ について $(x_n)$ は閉立方体 $Q:=[-M,M]^n$ の点列である。$Q$ は有界閉集合なので ex-seq-compact-euclid により点列コンパクトであり、$(x_n)$ は $Q$ のある点に収束する部分列をもつ。相対位相での収束は $\mathbb{R}^n$ での収束である。$\square$
これが古典的な Bolzano–Weierstrass の定理（Bolzano–Weierstrassの定理、Rud76 Chapter 2・3）であり、点列コンパクト性はこの定理の結論を定義に採用したものである。なお、この系の証明で用いた thm-seq-compact-metric の 1 ⇒ 2 は、距離空間に限れば可算コンパクト性を経由せず直接示すこともできる（Rud76 Chapter 3）。
補足
位相空間 $X$ の任意の無限部分集合が $X$ に集積点をもつとき、$X$ を極限点コンパクト（limit point compact）という（Mun00 §28）。コンパクト空間と点列コンパクト空間はいずれも極限点コンパクトである。可算コンパクト空間は極限点コンパクトであり、$T_1$ 空間（分離公理）では逆も成り立つが、$T_1$ でない空間では極限点コンパクトだが可算コンパクトでない例がある。これらの主張の証明と例は Mun00 §28 および Engelking89 §3.10 に譲る。可算コンパクトだが点列コンパクトでない Hausdorff 空間の例（ex-seq-compact-cube のようなコンパクト空間がそうである）と、より精密な比較も Engelking89 §3.10 にある。
| 空間 | コンパクト | 点列コンパクト | 可算コンパクト | 第1可算 | 根拠 |
|---|---|---|---|---|---|
| $[0,1]$ | はい | はい | はい | はい | ex-seq-compact-euclid |
| $(0,1)$ | いいえ | いいえ | いいえ | はい | ex-seq-compact-open-interval、thm-seq-compact-metric |
| $[0,1]^{\mathbb{N}}$ | はい | はい | はい | はい | prop-seq-compact-countable-product、thm-seq-compact-metric（可算個の距離空間の直積は距離化可能） |
| $[0,1]^{I}$（$I=\{0,1\}^{\mathbb N}$） | はい | いいえ | はい | いいえ | ex-seq-compact-cube |
| $\omega_1$ | いいえ | はい | はい | はい | ex-seq-compact-omega1 |
$[0,1]^{\mathbb{N}}$ が距離化可能であることは本記事では証明せず、Mun00 §20 に譲る。
点列で位相を記述しきれない空間では、点列の代わりにネットやフィルターを使うと、コンパクト性を「任意のネットが収束する部分ネットをもつ」「任意の超フィルターが収束する」の形で言い換えられる（ネット が扱う）。点列コンパクト性は、この言い換えを点列に制限したときに何が失われるかを示す概念でもある。
関連項目
- 前提: 位相空間, 点列, 部分列, 収束, コンパクト空間
- 比較: 可算コンパクト空間, Lindelöf空間, 第1可算公理, 集積点
- 直後に読む: 距離空間, 全有界, 完備距離空間, Cauchy列, Bolzano–Weierstrassの定理, Heine-Borelの定理
- 発展: Tychonoffの定理, 直積位相, 順序数, 順序位相, ネット, フィルター, Eberlein-Šmulianの定理
参考文献
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