点列コンパクト

概要

位相空間 $X$ が点列コンパクト（Sequentially compact）であるとは、以下の条件を満たすことをいう。

点列コンパクト性

$X$ 内の任意の点列 $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ に対して、ある $X$ の点 $x \in X$ に収束する部分列 $\{x_{n_k}\}_{k=1}^{\infty}$ が存在する。
$$x_{n_k} \to x \quad (k \to \infty)$$

この定義において重要なのは、部分列の極限 $x$ が空間 $X$ の中に存在しなければならない点である。例えば、開区間 $(0, 1)$ において点列 $1/n$ は $0$ に近づくが、$0 \notin (0, 1)$ であるため、この空間は点列コンパクトではない。

点列コンパクト性は、実数論におけるBolzano-Weierstrassの定理（有界閉集合上の点列は収束部分列を持つ）を抽象化したものである。

解析学的な視点: 「無限に点を打っても、空間からはみ出さず（完備性）、かつ無限遠に拡散しない（全有界性）ならば、点はどこかに密集せざるを得ない」という現象を表している。
距離空間での位置づけ: 距離空間においては、点列コンパクト性は通常のコンパクト空間（有限被覆性）と同値になる。初等的な解析学でコンパクト性を「点列」で定義することがあるのはこのためである。

距離空間を一歩出ると、「点列コンパクト」と「コンパクト（被覆コンパクト）」は異なる概念となる。それぞれの包含関係と乖離を理解することが重要である。

一般の位相空間における関係

一般には、以下のどちらの含意も成り立たない。

ただし、条件が良い空間では関係が回復する。

距離空間での同値性

$X$ が距離空間（より一般には距離化可能空間）であるとき、以下の3つは同値である。

「距離空間では一致する」という安心感の一方で、関数空間や抽象的な位相空間では直感が裏切られる例が存在する。

一致する例（距離空間）

有界閉区間 $[a, b]$:
Heine-Borelの定理およびBolzano-Weierstrassの定理により、コンパクトかつ点列コンパクトである。
Hilbert立方体:
$\ell^2$ 空間内の $[0, 1/n]$ の直積のような集合は、コンパクトかつ点列コンパクトである。

反例1：コンパクトだが点列コンパクトではない

非可算個の直積空間 $[0, 1]^J$:
$J$ を非可算集合（例えば実数全体）とする。Tychonoffの定理により、コンパクト空間の直積はコンパクトであるため、$[0, 1]^J$ はコンパクトである。
しかし、この空間には収束部分列を持たない点列が存在するため、点列コンパクトではない。

反例2：点列コンパクトだがコンパクトではない

最小の非可算順序数 $\omega_1$:
順序数全体の集合 $[0, \omega_1)$ に順序位相を入れた空間を考える。
- 点列コンパクト性: 可算な点列の上界は必ず $\omega_1$ 未満に存在するため、収束部分列を持つ。
- 非コンパクト性: 開被覆 $\bigcup_{\alpha < \omega_1} [0, \alpha)$ は有限部分被覆（さらには可算部分被覆さえ）を持たない。

点列コンパクト性は、連続写像や可算直積に対しては良い振る舞いをする。

保存性