SL(2,C)とSO^+(1,3)

直接計算すると
$$ \begin{aligned} \det H(v) &=(t+z)(t-z)-(x-iy)(x+iy)\\ &=t^2-z^2-(x^2+y^2)\\ &=t^2-x^2-y^2-z^2 \end{aligned} $$
となる。

$X=X^*$ なら
$$ (AXA^*)^*=AXA^* $$
なので、$X\mapsto AXA^*$ はHermite行列空間を保つ実線形写像である。$A^{-1}$ による作用が逆写像であるから、$H$ を介して $\rho(A)$ が一意に定まる。
$\det A=1$ なので、
$$ \det(AXA^*)=(\det A)(\det X)\overline{\det A}=\det X $$
である。前命題により $q(\rho(A)v)=q(v)$、したがって $\rho(A)\in\mathrm O(1,3)$ である。また
$$ (AB)X(AB)^*=A(BXB^*)A^* $$
から準同型性が従う。$\rho(A)$ の成分は $A$ の実部・虚部の多項式で表されるため、$\rho$ は連続である。

$A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ の極分解を $A=UP$ とする。ここで $U$ はユニタリ、$P$ は正定値Hermite行列である。$1=\det A=(\det U)(\det P)$ で、$\det P>0$ だから $\det P=1$、$\det U=1$ であり、$U\in\mathrm{SU}(2)$ である。
正定値Hermite行列 $P$ は $P=e^B$ と一意に書ける。$B$ はHermite行列で、$\operatorname{tr}B=\log\det P=0$ である。したがって $s\mapsto e^{sB}$ は $I_2$ から $P$ への $\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ 内の道である。一方、$\mathrm{SU}(2)$ は $3$ 次元球面 $S^3$ と同相なので弧状連結であり、$I_2$ から $U$ への道がある。これらを掛け合わせれば $I_2$ から $A=UP$ への道を得る。

$A\in\ker\rho$ とする。$H(1,0,0,0)=I_2$ なので、$A I_2 A^*=I_2$、すなわち $AA^*=I_2$ である。したがって $A$ はユニタリで、$A^*=A^{-1}$ である。
任意のHermite行列 $X$ に対し $AXA^{-1}=X$ だから、$A$ はすべてのHermite行列と可換する。Hermite行列は $M_2(\mathbb C)$ を複素ベクトル空間として生成するので、$A$ はすべての $2\times2$ 複素行列と可換する。したがって $A=\lambda I_2$ である。$\det A=\lambda^2=1$ から $\lambda=\pm1$ を得る。逆に $\pm I_2$ は $X\mapsto AXA^*$ に同じ恒等作用をする。

行列積を計算すると
$$ A_\eta H(t,x,y,z)A_\eta^* = \begin{pmatrix} e^\eta(t+z)&x-iy\\ x+iy&e^{-\eta}(t-z) \end{pmatrix}. $$
右辺を $H(t',x',y',z')$ と比較すると $x'=x$、$y'=y$ であり、
$$ t'+z'=e^\eta(t+z), \qquad t'-z'=e^{-\eta}(t-z). $$
これらの和と差を取れば主張の式を得る。

$\Lambda\in\mathrm{SO}^+(1,3)$ とし、$e_0=(1,0,0,0)$、$u=\Lambda e_0$ とおく。$q(u)=1$ かつ $u$ の時間成分は正なので、ある $\eta\geq0$ と単位ベクトル $n\in\mathbb R^3$ を用いて
$$ u=(\cosh\eta,\sinh\eta\,n) $$
と書ける。$\eta=0$ の場合の $n$ は任意でよい。上の構成による $A_{\eta,n}$ を取り、$B:=\rho(A_{\eta,n})$ とおけば $Be_0=u$ である。
$K:=B^{-1}\Lambda$ は $e_0$ を固定する。Minkowski形式を保つことから、$K$ は $e_0$ の直交補空間 $\{0\}\times\mathbb R^3$ を保ち、その制限はEuclid内積を保つ。さらに $\det K=1$ なので
$$ K= \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&R \end{pmatrix} \qquad(R\in\mathrm{SO}(3)) $$
である。
既存記事SO(3)とSU(2)の主定理により、ある $U\in\mathrm{SU}(2)$ が存在して、Hermite行列への共役作用が空間回転 $R$ を与える。$\mathrm{SU}(2)\subset\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$ なので $K=\rho(U)$ である。したがって
$$ \Lambda=BK=\rho(A_{\eta,n}U) $$
であり、$\rho$ は全射である。

全射性と核の計算により、各ファイバーは $\{A,-A\}$ である。被覆写像であることを局所的に確認する。
$a\in\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ に対し、$\rho$ の単位元での微分はHermite行列上で
$$ d\rho_{I_2}(a)(X)=aX+Xa^* $$
と作用する。これがすべてのHermite行列 $X$ について $0$ なら、$X=I_2$ から $a+a^*=0$ を得る。したがって $aX-Xa=0$ がすべてのHermite行列について成り立ち、核の証明と同様に $a$ はスカラー行列である。$\operatorname{tr}a=0$ なので $a=0$ である。
$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$ と $\mathfrak{so}(1,3)$ はともに実次元 $6$ なので、$d\rho_{I_2}$ は同型である。逆関数定理により、$I_2$ のある開近傍 $W$ と $I_4$ のある開近傍 $V$ の間で $\rho|_W\colon W\to V$ は微分同相になる。$W$ を必要なら小さくして $W\cap(-W)=\emptyset$ とできる。
任意の $Y\in V$ の逆像は、$W$ にある一つの元 $s(Y)$ とその負 $-s(Y)$ だけなので
$$ \rho^{-1}(V)=W\sqcup(-W) $$
であり、各制限は $V$ への微分同相である。群の平行移動により任意の点の近傍でも同じことが成り立つ。したがって $\rho$ は二重被覆写像である。商に誘導される写像がLie群の同型になることも同時に従う。