スペクトル半径

$\ell:=\inf_{m\ge1}\|a^m\|^{1/m}$ とおく。どの $n$ でも $\|a^n\|^{1/n}\ge\ell$ なので $\liminf_n\|a^n\|^{1/n}\ge\ell$ である。$m\ge1$ を固定して $\limsup_n\|a^n\|^{1/n}\le\|a^m\|^{1/m}$ を示せば、$m$ についての下限をとって極限が $\ell$ に等しいことが分かる。
$\|a^m\|=0$ なら $n\ge m$ で $a^n=a^ma^{n-m}=0$ なので、左辺は $0$ である。$\|a^m\|>0$ とし、$C:=\max_{0\le k< m}\|a^k\|$ とおく（$\|a^0\|=1$ なので $C\ge1$）。$n=qm+k$（$0\le k< m$）と書くと、劣乗法性から $\|a^n\|\le\|a^m\|^q\,C$ なので
$$ \|a^n\|^{1/n}\le\|a^m\|^{q/n}\,C^{1/n}. $$
$n\to\infty$ のとき $q/n=(n-k)/(mn)\to1/m$、$C^{1/n}\to1$ なので、右辺は $\|a^m\|^{1/m}$ に収束する。$\square$

極限が存在して下限に等しいことは prop-sr-limit で示した。$r(a)$ がこの値に等しいことを示す。
下からの評価。 $\lambda\in\sigma(a)$ とし、$n\ge1$ とする。
$$ \lambda^n1-a^n=(\lambda1-a)\,p=p\,(\lambda1-a),\qquad p:=\sum_{j=0}^{n-1}\lambda^{n-1-j}a^j $$
である。もし $\lambda^n1-a^n$ が可逆で逆元が $c$ なら、$p$ は $\lambda1-a$ と可換なので $c$ とも可換で、$(\lambda1-a)(pc)=1$、$(cp)(\lambda1-a)=1$ となり、$\lambda1-a$ が可逆になって矛盾する。よって $\lambda^n\in\sigma(a^n)$ であり、スペクトルの上界を $a^n$ に使って $|\lambda|^n\le\|a^n\|$ を得る。$\lambda$ と $n$ は任意なので $r(a)\le\inf_n\|a^n\|^{1/n}$ である。
レゾルベントの正則性。 $\rho(a)=\mathbb C\setminus\sigma(a)$ 上で $R(\lambda):=(\lambda1-a)^{-1}$ とおく。$\lambda,\mu\in\rho(a)$ について
$$ R(\lambda)-R(\mu)=R(\lambda)\bigl((\mu1-a)-(\lambda1-a)\bigr)R(\mu)=(\mu-\lambda)R(\lambda)R(\mu) $$
である。逆元をとる写像は連続なので（Banach代数 の命題「可逆元は開集合」）、$\mu\to\lambda$ で $R(\mu)\to R(\lambda)$ である。よって $A$ 上の任意の連続線形汎関数 $\varphi$ について、$g(\lambda):=\varphi(R(\lambda))$ は
$$ \frac{g(\mu)-g(\lambda)}{\mu-\lambda}=-\varphi\bigl(R(\lambda)R(\mu)\bigr)\longrightarrow-\varphi\bigl(R(\lambda)^2\bigr) $$
となり、$\rho(a)$ 上で正則である。さらに $|\lambda|>\|a\|$ では、Neumann級数 の定理「Neumann 級数の収束の判定」を $a/\lambda$ に使って
$$ R(\lambda)=\lambda^{-1}(1-a/\lambda)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{\lambda^{n+1}} $$
（ノルム収束）である。
上からの評価。 円板 $D:=\{w\in\mathbb C:|w|\,r(a)<1\}$（$r(a)=0$ なら $D=\mathbb C$）の上で、$h(0):=0$、$w\ne0$ では $h(w):=g(1/w)$ と定める。$w\in D\setminus\{0\}$ なら $|1/w|>r(a)$ なので $1/w\in\rho(a)$ で、$h$ は $D\setminus\{0\}$ で正則である。$0<|w|<1/\|a\|$ では上の展開から
$$ h(w)=\sum_{n=0}^{\infty}\varphi(a^n)\,w^{n+1} $$
で、この冪級数は $|w|<1/\|a\|$ で収束し、$w=0$ でも $h(0)=0$ に一致する。よって $h$ は $0$ の近くでも冪級数で表され、$D$ 全体で正則で、$h^{(n+1)}(0)=(n+1)!\,\varphi(a^n)$ である。
$0< s<1/r(a)$（$r(a)=0$ なら $0< s$ は任意）を固定する。$t:=1/s>r(a)$ とおき、$M_t:=\max_{|\lambda|=t}\|R(\lambda)\|$ とする。円周 $|\lambda|=t$ は $\rho(a)$ に含まれるコンパクト集合で、$R$ は連続なので $M_t<\infty$ である。閉円板 $|w|\le s$ は $D$ に含まれ、円周 $|w|=s$ の上で $|h(w)|\le\|\varphi\|M_t$ なので、Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」により
$$ |\varphi(a^n)|=\frac{|h^{(n+1)}(0)|}{(n+1)!}\le\frac{\|\varphi\|M_t}{s^{n+1}}=\|\varphi\|M_t\,t^{n+1} $$
である。Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」を 1 次元の部分空間 $\mathbb Ca^n$ に使うと、$\|\varphi\|=1$ かつ $\varphi(a^n)=\|a^n\|$ となる $\varphi$ がある。これを代入して $\|a^n\|\le M_t\,t^{n+1}$（$a^n=0$ なら明らか）、したがって
$$ \limsup_{n\to\infty}\|a^n\|^{1/n}\le\lim_{n\to\infty}M_t^{1/n}t^{(n+1)/n}=t $$
である（$M_t>0$ は $R(\lambda)\ne0$ から分かる）。$t>r(a)$ は任意なので $\lim_n\|a^n\|^{1/n}\le r(a)$ となる。下からの評価と合わせて結論を得る。$\square$

要点：すべて thm-sr-gelfand の右辺で計算する。

$\lambda\in\sigma(T)$ とする。thm-sr-gelfand の証明の「下からの評価」は可換な因子の可逆性しか使わないので、実数体の上でもそのまま通り、$\lambda^n\in\sigma(T^n)$ を得る。実数 $\mu$ が $|\mu|>\|T^n\|$ をみたせば、$T^n-\mu I=-\mu(I-T^n/\mu)$ は Neumann級数 の定理「Neumann 級数の収束の判定」により可逆なので、$|\lambda|^n\le\|T^n\|$ である。$n$ 乗根の下限をとって $|\lambda|\le\nu(T)$ を得る。
$\mathbb R^3$ の $T$ については、Neumann級数 の例「実スペクトルが $\{0\}$ でも収束しない例」で $\sigma(T)=\{0\}$ と $\|T^n\|=1$（$n\ge1$）を確かめた。よって $\nu(T)=1$ である。$J$ も $\|J^n\|=1$ で、同じ例の証明のとおり $J-\lambda I$ はすべての実数 $\lambda$ で可逆である。$\square$