完全交叉

$M:=S/(F_1,\dots,F_{j-1})$ は次数付き $S$ 加群で、$M_{\mathfrak m}=R/(F_1,\dots,F_{j-1})R$ である。$F_j$ が $M$ の零因子なら、$F_ju=0$、$u\ne0$ となる $u\in M$ がある。$u$ の斉次成分 $u_e$ について $F_ju_e$ は $F_ju$ の斉次成分なので $0$ であり、$u_e\ne0$ となる $e$ をとれば $F_j$ は斉次元 $u_e\ne0$ を消す。$u_e$ の零化イデアルは斉次イデアル（$au_e=0$ なら $a$ の各斉次成分も $u_e$ を消す）で $1$ を含まないから、次数 $0$ の成分 $S_0=k$ を含まず $\mathfrak m$ に含まれる。よって $M_{\mathfrak m}$ の中で $u_e/1\ne0$、$F_j(u_e/1)=0$ となり、$F_j$ は $M_{\mathfrak m}$ の零因子である。逆に $M$ 上の単射 $F_j\cdot$ は局所化しても単射である。最後の商 $S/(F)$ と $R/(F)R$ は、$(F)\subset\mathfrak m$ なのでどちらも零でない。$\square$

$J$ の極小素イデアル $P$ は斉次である。実際、$P$ に含まれる斉次元が生成するイデアルを $P^*$ とすると、斉次元 $a,b$ で $ab\in P^*$ なら $a\in P$ または $b\in P$、すなわち $a\in P^*$ または $b\in P^*$ なので、斉次イデアル の定理「斉次元だけによる素性判定」により $P^*$ は素イデアルであり、$J\subset P^*\subset P$ と極小性から $P=P^*$ である。斉次な真のイデアルは $\mathfrak m$ に含まれるので、$J$ の極小素イデアルは $R=S_{\mathfrak m}$ の $JR$ の極小素イデアルと 1 対 1 に対応し、高さも等しい。よって $\operatorname{ht}J=\operatorname{ht}JR$ である。
$R$ は $n+1$ 次元の正則局所環であり（Cohen–Macaulay環 の補題「体上の多項式環の素局所環」）、Cohen–Macaulay である。完全交叉局所環 の定理「CM局所環での高さと指定された列」により、$F$ の像が $R$ の正則列であることと $\operatorname{ht}JR=c$ は同値である。lem-ci-graded-local と合わせて 1 と 2 は同値である。
1 が成り立つとき、$R/JR$ は Cohen–Macaulay 局所環の正則列による商なので Cohen–Macaulay であり（Cohen–Macaulay環 の補題「正則元による深さ降下と CM 商」）、次元は $n+1-c$ である（完全交叉局所環 の系「有限正則列による次元低下」）。Cohen–Macaulay環 の定理「埋込素がなく、局所的に等次元」により、$JR$ の極小素イデアル $\mathfrak P$ はすべて $\dim R/\mathfrak P=n+1-c$、$\operatorname{ht}\mathfrak P=(n+1)-(n+1-c)=c$ をみたす。$\square$

1. $U_0=D_+(x_0)=\operatorname{Spec}A$、$A=S_{(x_0)}=k[x_1/x_0,\dots,x_n/x_0]$ とし、$f_j:=F_j/x_0^{d_j}\in A$ とおく。$Y\cap U_0$ のイデアルは $(f_1,\dots,f_c)$ である。$S_{x_0}=A[x_0,x_0^{-1}]$ であり、$F_j=x_0^{d_j}f_j$ で $x_0$ は可逆である。$S\to S_{x_0}$ は平坦なので、$F_j$ 倍は $S_{x_0}/(F_1,\dots,F_{j-1})=(A/(f_1,\dots,f_{j-1}))[x_0,x_0^{-1}]$ の上で単射であり、この環は $x_0^e$（$e\in\mathbb{Z}$）を基底とする自由 $A/(f_1,\dots,f_{j-1})$ 加群で $f_j$ は係数ごとに作用するから、$f_j$ 倍は $A/(f_1,\dots,f_{j-1})$ の上で単射である。$Y\cap U_0$ の点 $y$ では最後の商 $\mathcal{O}_{Y,y}$ が零でないので、正則列 の命題「正則列の局所化」により $f_1,\dots,f_c$ は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,y}$ の正則列である。$D_+(x_i)$ についても同じで、これらは $\mathbb{P}^n$ を覆う。
   余法層については、$Y$ のイデアル層は次数付き加群 $J=(F_1,\dots,F_c)$ に付随する層 $\widetilde J$ であり、$\mathcal{J}/\mathcal{J}^2=(J/J^2)^\sim$ である。正則埋め込み の補題「正則列の余法加群」により $J/J^2$ は $F_1,\dots,F_c$ の像を基底とする自由 $S/J$ 加群で、基底が斉次なので次数付き加群として $J/J^2\cong\bigoplus_j(S/J)(-d_j)$ である。$\sim$ をとれば $\mathcal{C}_{Y/\mathbb{P}^n}\cong\bigoplus_j\mathcal{O}_Y(-d_j)$ で、双対をとると $\mathcal{N}$ の式を得る。
2. 既約成分 $Z$ の生成点 $\eta$ では $\dim\mathcal{O}_{Y,\eta}=0$ なので、正則埋め込み の命題「局所環の次元」により $\dim\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n,\eta}=c$ である。$\eta\in D_+(x_i)\cong\mathbb{A}^n_k$ として、$\eta$ に対応する $k[x_1,\dots,x_n]$ の素イデアル $\mathfrak q$ は高さ $c$ で、$\dim Z=\dim k[x_1,\dots,x_n]/\mathfrak q=n-c$ である（Har77 定理 I.1.8A）。
3. 1 の局所表示 $Y\cap D_+(x_i)\to\mathbb{A}^n_k$ が正則なので、局所完全交叉射 の系「体上の判定」による。$\square$

2 は上の段落の $j=c$ の場合である。1 を $j$ についての帰納法で $Y_j$（$0\le j\le c$）に対して示す。$j=0$ は 層コホモロジー の定理「射影空間のコホモロジー」の 1 である。$1\le j\le c$ とし、$d=d_j$ とおく。上の完全列のコホモロジー長完全列の初めの部分
$$ 0\to H^0(Y_{j-1},\mathcal{O}(m-d))\xrightarrow{\cdot F_j}H^0(Y_{j-1},\mathcal{O}(m))\to H^0(Y_j,\mathcal{O}(m))\to H^1(Y_{j-1},\mathcal{O}(m-d)) $$
で、$j\le c=n-r\le n-1$ より $1< n-(j-1)$ なので右端は $0$ である（$j=1$ では射影空間の事実、$j\ge2$ では上の段落）。帰納法の仮定により左の 2 項は $(S/J_{j-1})_{m-d}$ と $(S/J_{j-1})_m$（$J_{j-1}:=(F_1,\dots,F_{j-1})$）で、間の写像は $F_j$ 倍である。よって $H^0(Y_j,\mathcal{O}(m))\cong(S/J_{j-1})_m/F_j(S/J_{j-1})_{m-d}=(S/J_j)_m$ であり、この同型は $S_m$ からの制限写像と両立する。
3：1 を $m=0$ で使うと、$J\subset S_+$ より $J_0=0$ なので $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)=S_0=k$ である。$Y$ が空でない開かつ閉な 2 つの部分に分かれれば $H^0(Y,\mathcal{O}_Y)\supset k\times k$ となるので、$Y$ は連結である。$\square$

thm-ci-cohomology の 1 により $I(Y)=J$ である。$F_1,\dots,F_c$ は正則列なので、Koszul複体 の定理「正則列のKoszulホモロジー」により、次数をずらした Koszul 複体
$$ 0\to S(-d_{\{1,\dots,c\}})\to\cdots\to\bigoplus_{|T|=1}S(-d_T)\to S\to S/J\to0 $$
は完全である。各項の次数 $m$ の部分の次元をとって交代和をとると、$m\ge d_{\{1,\dots,c\}}$ では $\dim_k(S/J)_m$ が右辺の多項式に等しい（$\dim_kS_m=\binom{m+n}{n}$）。1 は $\binom{m+2}{2}-\binom{m-d+2}{2}$ に $m=0$ を代入して $P_Y(0)=1-\frac{(d-1)(d-2)}{2}$、2 は $P_Y(0)=1-\binom{3-d}{3}-\binom{3-e}{3}+\binom{3-d-e}{3}$ を展開して得られる。$\square$