冪等元

$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の各元を 2 乗すると $[0]^2=[0]$、$[1]^2=[1]$、$[2]^2=[4]$、$[3]^2=[9]=[3]$、$[4]^2=[16]=[4]$、$[5]^2=[25]=[1]$ なので、冪等元は $[0],[1],[3],[4]$ の 4 つであり、$[3]+[4]=[1]$ である。$e=[3]$ に対し
$$ Ae=\{[0],[3]\},\qquad A(1-e)=A\cdot[4]=\{[0],[4],[2]\} $$
であり、$Ae$ は $[3]$ を単位元とする 2 元の環、$A(1-e)$ は $[4]$ を単位元とする 3 元の環である（$[4]\cdot[2]=[8]=[2]$）。thm-idempotent-decomposition により $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ であり、これは中国剰余定理の分解と一致する。
$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ では、$[4]^2=[16]=[4]$、$[9]^2=[81]=[9]$ であり、12 個の元を 2 乗して確かめると、冪等元は $[0],[1],[4],[9]$ の 4 つである。一般に $n\geq2$ の素因数分解を $n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$（$p_i$ は相異なる素数）とすると、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の冪等元はちょうど $2^r$ 個ある。実際、中国剰余定理（互いに素 の記事の定理「剰余環の直積への分解」）により $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\cong\prod_i\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}$ であり、直積環の冪等元は各成分が冪等な元である（ex-idempotent-product）。各 $\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}$ は局所環であり（局所環 の記事の例「素数冪を法とする整数の剰余環」）、冪等元は $0$ と $1$ だけなので、成分ごとに 2 通りを選んで $2^r$ 個になる。

環 $R,S$ の直積 $R\times S$（演算は成分ごと、環 の記事の例「環の直積」）において、$(r,s)^2=(r^2,s^2)$ なので、$(r,s)$ が冪等元であることは $r$ と $s$ がともに冪等元であることと同値である。とくに $(1,0)$ と $(0,1)$ は直交する冪等元で、和は単位元 $(1,1)$ である。$R$、$S$ が零環でなければ、$(1,0)$ は $0$ でも $1$ でもない。有限個の直積 $R_1\times\cdots\times R_m$ でも同様であり、第 $i$ 成分だけが $1$ の元 $\varepsilon_i$ は互いに直交する冪等元で $\varepsilon_1+\cdots+\varepsilon_m=1$ を満たす。

体 $k$ 上の行列環 $M_n(k)$ の冪等元 $P$ を考える。$v\in k^n$ は $v=Pv+(v-Pv)$ と書け、$P(Pv)=Pv$、$P(v-Pv)=Pv-P^2v=0$ である。逆に $v$ が $P$ の像と核の両方に属すれば、$v=Pw$ と書けて $v=Pw=P^2w=Pv=0$ である。したがって
$$ k^n=\operatorname{im}P\oplus\ker P $$
であり、$P$ は $\ker P$ に沿った $\operatorname{im}P$ への射影、すなわち $\operatorname{im}P$ の元を動かさず $\ker P$ の元を $0$ に送る線形写像である。たとえば
$$ P=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad P^2=\begin{pmatrix}1\cdot1+1\cdot0&1\cdot1+1\cdot0\\0&0\end{pmatrix}=P $$
は、直線 $\ker P=\{(t,-t)^{\top}\}$ に沿って $x$ 軸 $\operatorname{im}P$ へ落とす射影である。$P$ は $\ker P$ と $\operatorname{im}P$ が直交しない「斜めの」射影であり、冪等であることは直交性を要求しない。行列単位 $E_{11}$ は座標軸への通常の射影であり、$E_{11}+E_{22}+\cdots+E_{nn}=I$ は単位行列を互いに直交する $n$ 個の冪等元の和に分ける。

位相空間 $X$ 上の実数値連続関数（連続写像）の環 $C(X)$（環 の記事の例「写像のなす環」）で、$f^2=f$ は各点で $f(x)\in\{0,1\}$ となることと同値である。$U:=f^{-1}(1)$ とおくと、$\{1\}$ と $\{0\}$ が $\mathbb{R}$ の閉集合であることから $U$ も $X\setminus U=f^{-1}(0)$ も閉集合であり、$U$ は開かつ閉集合である。逆に開かつ閉集合 $U$ の特性関数 $\chi_U$ は連続で冪等である。したがって $C(X)$ の冪等元は $X$ の開かつ閉集合と一対一に対応する。たとえば $X=[0,1]\cup[2,3]$ なら $\chi_{[0,1]}$ は $0,1$ 以外の冪等元であり、$X$ が連結空間なら冪等元は $0$ と $1$ だけである。これは thm-idempotent-clopen の関数環での類似である。

すべての元が冪等元である環をBoole環という。集合 $S$ の冪集合 $\mathcal{P}(S)$ に対称差を加法、共通部分を乗法として入れた環がその例であり、$X\cap X=X$ によりすべての元が冪等である（環 の記事の例「冪集合のなすBoole環」）。この環の冪等元 $X$ に対する分解 $A\cong AX\times A(1-X)$ は、$\mathcal{P}(S)\cong\mathcal{P}(X)\times\mathcal{P}(S\setminus X)$、すなわち部分集合 $Y$ を $(Y\cap X,\ Y\setminus X)$ に分けることにあたる。

$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ では $[0]^2=[0]$、$[1]^2=[1]$、$[2]^2=[0]$、$[3]^2=[9]=[1]$ なので、冪等元は $[0]$ と $[1]$ だけである。一方 $[2]\cdot[2]=[0]$ なので $[2]$ は $0$ でない零因子である。thm-idempotent-decomposition により、$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ は零環でない 2 つの環の直積に同型でない。とくに $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}\not\cong\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ である。
この例は、prop-idempotent-basic の 2 の逆「$0$ でない零因子をもつ可換環は $0,1$ 以外の冪等元をもつ（したがって直積に分解する）」を破る。満たす性質は「$0$ でない零因子をもつ」、満たさない性質は「自明でない冪等元をもつ」である。零因子 $[2]$ は冪零元であり、冪零元は冪等元を生まない（prop-idempotent-basic の 3）。

整数環 $\mathbb{Z}$、体、体上の多項式環 $k[x]$ のような整域の冪等元は $0$ と $1$ だけである（prop-idempotent-basic の 5）。したがってthm-idempotent-decomposition により、整域は零環でない 2 つの環の直積に分解しない。この例が破るのは「可換環は $0,1$ 以外の冪等元をもつ」「可換環はつねに零環でない 2 つの環の直積に分解する」という含意であり、満たさない性質は「$0$ でない零因子をもつ」である（直積 $B\times C$ では $(1,0)(0,1)=0$ となるので、零環でない 2 つの環の直積は整域でない）。

体 $k$ と $n\geq2$ について、行列単位 $E_{11}\in M_n(k)$ は $0$ でも $I$ でもない冪等元である。しかし $M_n(k)$ は零環でない 2 つの環の直積に同型でない。実際、直積 $B\times C$ は $B\times0$ という自明でない両側イデアルをもつが、$M_n(k)$ は単純環で両側イデアルは $0$ と全体だけである（行列環 の記事の系「行列環の単純性」）。$E_{11}$ は中心的でない（$E_{11}E_{12}=E_{12}\neq0=E_{12}E_{11}$）ので、thm-idempotent-decomposition の構成が使えない。この例は「$0,1$ 以外の冪等元をもつ環は直積に分解する」という含意が、可換性（より正確には冪等元が中心的であること）を外すと破れることを示す。