Lie–Kolchinの定理

$H$ は有限個の左剰余類 $g_1S,\dots,g_rS$ の交わらない和集合である。左からの積 $x\mapsto g_ix$ は $H$ の同相写像（成分の多項式で書ける写像で、逆も同じ形）なので、各 $g_iS$ は閉集合である。$S$ の補集合は $S$ 以外の剰余類の有限個の和集合なので閉集合であり、$S$ は開かつ閉である。$S$ は単位元を含み空でないので、$H$ の連結性から $S=H$ である。$\square$

直和でないとすると、$v_1+\cdots+v_s=0$（$v_j\in V_{\chi_{i_j}}$ はどれも $0$ でなく、$i_1,\dots,i_s$ は相異なる）という関係がある。そのうち $s$ が最小のものをとる。$v_1\neq0$ なので $s\ge2$ である。$\chi_{i_1}\neq\chi_{i_2}$ なので $\chi_{i_1}(h)\neq\chi_{i_2}(h)$ となる $h\in H$ がある。関係式に $\rho(h)$ を施したものから、関係式の $\chi_{i_1}(h)$ 倍を引くと
$$ \sum_{j=2}^{s}\bigl(\chi_{i_j}(h)-\chi_{i_1}(h)\bigr)v_j=0 $$
となる。$j=2$ の項は $0$ でないので、これは長さ $s-1$ 以下の同じ形の関係であり、$s$ の最小性に反する。後半は、$0$ でない部分空間の直和の次元が個数以上であることによる。$\square$

1 の証明。$H$ の可解長 $m$ についての帰納法で示す。$m=0$ なら $H=\{1\}$ で、$0$ でない任意のベクトルが共通の固有ベクトルである。$m\ge1$ とし、$N:=[H,H]$ とおく。prop-lk-derived-connected により $N$ は可解長 $m-1$ の連結な閉部分群で、$\rho$ を $N$ に制限したものは $N$ の表現である。帰納法の仮定により $N$ には共通の固有ベクトルがあり、それが定める準同型を $\chi_0\colon N\to k^\times$ とすると $V_{\chi_0}\neq0$ である。
段 1（$H$ は固有空間を入れ替える）。$X:=\{\chi\colon N\to k^\times\text{ 準同型}\mid V_\chi\neq0\}$ とおくと、lem-lk-direct-sum により $X$ は有限集合で、$\chi_0\in X$ である。$g\in H$、$\chi\in X$ に対し $\chi^g(x):=\chi(g^{-1}xg)$（$x\in N$）とおく。$N$ は正規部分群なので $\chi^g$ は $N$ 上の準同型である。$v\in V_\chi$、$x\in N$ について
$$ \rho(x)\rho(g)v=\rho(g)\rho(g^{-1}xg)v=\chi(g^{-1}xg)\,\rho(g)v=\chi^g(x)\,\rho(g)v $$
なので $\rho(g)V_\chi\subset V_{\chi^g}$ である。同じ計算を $g^{-1}$ と $\chi^g$ に当てると $\rho(g^{-1})V_{\chi^g}\subset V_\chi$ となるので、$\rho(g)V_\chi=V_{\chi^g}$ であり、$\chi^g\in X$ である。$(\chi^g)^{g'}=\chi^{g'g}$ なので、$g\cdot\chi:=\chi^g$ により $H$ は $X$ に（左から）作用している。
段 2（$V_{\chi_0}$ は $H$ で保たれる）。$S:=\{g\in H\mid\chi_0^g=\chi_0\}$ は $H$ の部分群で、指数は $\chi_0$ の軌道の元の個数、すなわち $\lvert X\rvert$ 以下である。$g\in S$ と $\rho(g)V_{\chi_0}\subset V_{\chi_0}$ は同値である。実際、$\rho(g)V_{\chi_0}=V_{\chi_0^g}$ が $V_{\chi_0}$ に含まれるなら、$V_{\chi_0^g}\neq0$ と lem-lk-direct-sum から $\chi_0^g=\chi_0$ である。$V_{\chi_0}$ の基底を延長した $V$ の基底をとると、$\rho(g)V_{\chi_0}\subset V_{\chi_0}$ は $\rho(g)$ の行列のいくつかの成分が $0$ になるという条件で、$\rho$ は連続なので $S$ は閉集合である。lem-lk-finite-index により $S=H$ であり、$W:=V_{\chi_0}$ はすべての $\rho(g)$（$g\in H$）で保たれる。
段 3（$N$ は $W$ に自明に作用する）。$d:=\dim W\ge1$ とおく。$x\in N$ は交換子 $[g,g']=gg'g^{-1}g'^{-1}$（$g,g'\in H$）の積で、$W$ が $\rho(g),\rho(g')$ で保たれるので、$\det(\rho([g,g'])|_W)=1$ である。よって $\det(\rho(x)|_W)=1$ であり、$\rho(x)|_W=\chi_0(x)\,\mathrm{id}_W$ から $\chi_0(x)^d=1$ となる。したがって $\chi_0$ の値は $1$ の $d$ 乗根の集合 $\mu_d:=\{\zeta\in k\mid\zeta^d=1\}$ に入り、$\mu_d$ は高々 $d$ 個の元からなる。$0$ でない $w_0\in W$ と $\ell(w_0)=1$ となる線形形式 $\ell$ をとると $\chi_0(x)=\ell(\rho(x)w_0)$ は $N$ 上の正則関数なので、$\chi_0\colon N\to k$ は連続である（$k$ には Zariski 位相を入れる）。$\mu_d$ の各点は閉集合なので、$N$ は有限個の閉集合 $\chi_0^{-1}(\zeta)$（$\zeta\in\mu_d$）の交わらない和集合になり、各々は開かつ閉である。$N$ は連結なので $\chi_0$ は定数 $\chi_0(1)=1$ である。
段 4（$W$ の中に共通の固有ベクトルがある）。$g,g'\in H$ について、段 3 により $\rho([g,g'])|_W=\mathrm{id}_W$ なので、$\rho(g)|_W$ と $\rho(g')|_W$ は可換である。$W\neq0$ 上の互いに可換な線形変換の族 $\{\rho(g)|_W\}_{g\in H}$ には、三角化 の補題「共通の固有ベクトル」により共通の固有ベクトル $v\in W$ がある。これが $V$ における $H$ の共通の固有ベクトルである。
2 の証明。$\dim V$ についての帰納法による。1 により共通の固有ベクトル $v_1$ があり、$V_1:=kv_1$ は部分表現である。$\dim V=1$ なら終わりである。$\dim V\ge2$ なら、$\bar\rho(h)(v+V_1):=\rho(h)v+V_1$ は商空間 $V/V_1$ 上の表現である（$v_1$ を最初にもつ基底で $\rho(h)$ を表したとき、$\bar\rho(h)$ の行列は右下の $(\dim V-1)$ 次の小行列で、成分は正則関数である）。帰納法の仮定により $V/V_1$ の完全旗 $\bar V_1\subset\cdots\subset\bar V_{\dim V-1}$ で保たれるものがあり、その $V\to V/V_1$ による逆像を $V_2\subset\cdots\subset V_{\dim V}$ とすれば、$V_1\subset V_2\subset\cdots$ は保たれる完全旗である。
3 の証明。2 の基底 $v_1,\dots,v_n$ を列とする行列を $P$ とすると、$P^{-1}hP$ はすべての $h\in H$ について上三角なので、$g:=P^{-1}$ とすればよい。$\square$

必要性は thm-lk-main の 3 である。十分性：$B_n$ は可解であり（Borel部分群 の命題「$B_n$ は連結で可解である」）、可解群の部分群は可解なので（可解群 の命題「部分群と剰余群への遺伝」）、$gHg^{-1}$ は可解である。$H$ はそれと同型なので可解である。$\square$

thm-lk-main の 1 の共通の固有ベクトル $v$ について、$kv$ は $0$ でない部分表現なので $kv=V$ である。$\square$

thm-lk-main の 2 の基底で、すべての $\rho(h)$ は上三角行列である。上三角行列の積の対角成分は対角成分の積なので、交換子 $\rho([g,g'])=\rho(g)\rho(g')\rho(g)^{-1}\rho(g')^{-1}$ の対角成分はすべて $1$ であり、その積もそうである。よって $\rho(x)-\mathrm{id}_V$ は対角成分が $0$ の上三角行列で、$\dim V$ 乗すると $0$ になる。後半は $\rho$ を包含写像とし、thm-lk-main の 3 の $g$ をとればよい。$\square$