極小素イデアル

$\Sigma$ を、$I\subset\mathfrak{q}'\subset\mathfrak{p}$ を満たす素イデアル $\mathfrak{q}'$ 全体の集合とし、逆向きの包含 $\mathfrak{q}'\preceq\mathfrak{q}''\iff\mathfrak{q}'\supset\mathfrak{q}''$ で順序を入れる。$\mathfrak{p}\in\Sigma$ なので $\Sigma$ は空でない。$\Sigma$ の極大元（包含について極小な元）が求める $\mathfrak{q}$ である。
Zornの補題を使うため、$\Sigma$ の空でない全順序部分集合 $\mathcal{C}$ が上界をもつことを示す。$\mathfrak{r}:=\bigcap_{\mathfrak{q}'\in\mathcal{C}}\mathfrak{q}'$ とおく。$\mathfrak{r}$ は $I$ を含み $\mathfrak{p}$ に含まれるイデアルで、$1\notin\mathfrak{r}$ である。$\mathfrak{r}$ が素イデアルであることを示す。$a,b\in A$ が $ab\in\mathfrak{r}$ を満たし、$a\notin\mathfrak{r}$ かつ $b\notin\mathfrak{r}$ であるとすると、$a\notin\mathfrak{q}_1$、$b\notin\mathfrak{q}_2$ となる $\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2\in\mathcal{C}$ がある。$\mathcal{C}$ は全順序なので、$\mathfrak{q}_1,\mathfrak{q}_2$ のうち包含について小さい方を $\mathfrak{q}_3$ とすると、$\mathfrak{q}_3\subset\mathfrak{q}_1$ から $a\notin\mathfrak{q}_3$、$\mathfrak{q}_3\subset\mathfrak{q}_2$ から $b\notin\mathfrak{q}_3$ である。一方 $ab\in\mathfrak{r}\subset\mathfrak{q}_3$ であり、$\mathfrak{q}_3$ が素イデアルであることに反する。よって $\mathfrak{r}\in\Sigma$ であり、$\mathfrak{r}$ は $\mathcal{C}$ の上界である。Zorn の補題により $\Sigma$ は極大元 $\mathfrak{q}$ をもつ。
$\mathfrak{q}$ が $I$ 上の極小素イデアルであることを確かめる。$I\subset\mathfrak{q}'\subset\mathfrak{q}$ を満たす素イデアル $\mathfrak{q}'$ は $\mathfrak{q}'\subset\mathfrak{p}$ なので $\Sigma$ に属し、$\mathfrak{q}\preceq\mathfrak{q}'$ である。$\mathfrak{q}$ の極大性から $\mathfrak{q}'=\mathfrak{q}$ である。$\square$

1：$I\neq A$ なら $A/I$ は零環でないので素イデアル $\bar{\mathfrak{p}}$ をもち（可換環 の記事の系「極大イデアルと非単元」の 1）、剰余写像による $\bar{\mathfrak{p}}$ の逆像は $I$ を含む $A$ の素イデアルである（定義の直後の対応）。thm-minimal-prime-ideal-existence をこの素イデアルに適用すればよい。零環でない環では $I=(0)$ は $A$ と異なる。
2：冪零根基 の記事の命題「根基と素イデアル」の 2 により、$\sqrt{I}$ は $I$ を含む素イデアル全体の共通部分である。$I$ 上の極小素イデアルは $I$ を含む素イデアルなので、その共通部分は $\sqrt{I}$ を含む。逆に、$I$ を含む素イデアル $\mathfrak{p}$ は、thm-minimal-prime-ideal-existence によりある $I$ 上の極小素イデアル $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$ を含むので、極小素イデアル全体の共通部分は $\mathfrak{p}$ に含まれる。これがすべての $\mathfrak{p}\supset I$ で成り立つので、極小素イデアル全体の共通部分は $\sqrt{I}$ に含まれる。$I=A$ のときは両辺とも $A$ である。後半は $I=(0)$ の場合で、$\sqrt{(0)}=\operatorname{nil}(A)$ である。$\square$

1 ⇒ 2：局所化 の記事の定理「素イデアルの対応」により、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $S$ と交わらない $A$ の素イデアル、すなわち $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルと、$\mathfrak{q}\mapsto\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}$ によって一対一に対応する。$\mathfrak{p}$ が極小なら $\mathfrak{p}$ に含まれる素イデアルは $\mathfrak{p}$ だけなので、$A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルは $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ だけである。
2 ⇒ 3：冪零根基 の記事の定理「素イデアル全体の共通部分としての冪零根基」を $A_{\mathfrak{p}}$ に適用すると、$\operatorname{nil}(A_{\mathfrak{p}})$ はただ 1 つの素イデアル $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ に等しい。
3 ⇒ 4：$x\in\mathfrak{p}$ なら $x/1\in\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ は冪零であり、ある $n\ge1$ で $x^n/1=(x/1)^n=0$ となる。局所化の定義により、ある $s\in S$ で $sx^n=0$ である。
4 ⇒ 1：$\mathfrak{q}\subsetneq\mathfrak{p}$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ があったとして、$x\in\mathfrak{p}\setminus\mathfrak{q}$ をとる。4 により $sx^n=0$（$s\notin\mathfrak{p}$、$n\ge1$）である。$sx^n=0\in\mathfrak{q}$ で、$s\notin\mathfrak{p}\supset\mathfrak{q}$ なので $s\notin\mathfrak{q}$ であり、$\mathfrak{q}$ が素イデアルであることから $x^n\in\mathfrak{q}$、したがって $x\in\mathfrak{q}$ となり、$x$ の選び方に反する。よって $\mathfrak{p}$ は極小である。$\square$

$x\in\mathfrak{p}$ とする。prop-minimal-prime-ideal-localization の 4 により $sx^n=0$ となる $s\notin\mathfrak{p}$ と $n\ge1$ がある。$s$ を固定し、$sx^n=0$ となる最小の $n\ge1$ をとって $y:=sx^{n-1}$ とおく（$x^0=1$）。$n=1$ なら $y=s$ であり、$0\in\mathfrak{p}$、$s\notin\mathfrak{p}$ から $y\neq0$ である。$n\ge2$ なら $n$ の最小性から $y\neq0$ である。いずれの場合も $xy=sx^n=0$ なので、$x$ は零因子である。$\square$

1：有限個の素イデアルの共通部分として書けない根基イデアル全体の集合を $\Sigma$ とし、$\Sigma\neq\emptyset$ と仮定する。Noether環ではイデアルの空でない集合は極大元をもつので（Noether環 の記事の命題「Noether環の同値条件」の 2）、$\Sigma$ の極大元 $J$ がとれる。$J\neq A$ であり、$J$ 自身は素イデアルでない（素イデアルなら 1 個の共通部分である）。したがって $a\notin J$、$b\notin J$、$ab\in J$ となる $a,b\in A$ がある。
$$ J_a:=\sqrt{J+(a)},\qquad J_b:=\sqrt{J+(b)} $$
とおくと、これらは根基イデアルであり（冪零根基 の記事の命題「根基の演算」の 2）、$a\in J_a\setminus J$、$b\in J_b\setminus J$ なので $J$ を真に含む。$J$ の極大性から $J_a,J_b\notin\Sigma$ であり、$J_a$ と $J_b$ はそれぞれ有限個の素イデアルの共通部分である。
$J=J_a\cap J_b$ を示す。$J\subset J_a\cap J_b$ は明らかである。$x\in J_a\cap J_b$ なら、ある $m,n\ge1$ で $x^m\in J+(a)$、$x^n\in J+(b)$ であり、
$$ x^{m+n}=x^mx^n\in\bigl(J+(a)\bigr)\bigl(J+(b)\bigr)\subset J+(ab)=J $$
である。$J$ は根基イデアルなので $x\in J$ である。よって $J=J_a\cap J_b$ は有限個の素イデアルの共通部分となり、$J\in\Sigma$ に反する。したがって $\Sigma=\emptyset$ である。
2：$I=A$ なら $I$ 上の極小素イデアルはない。$I\neq A$ とする。1 を根基イデアル $\sqrt{I}$ に適用して $\sqrt{I}=\mathfrak{p}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{p}_r$（$\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）と書く。各 $\mathfrak{p}_i$ は $\sqrt{I}\supset I$ を含む。$\mathfrak{p}$ を $I$ 上の極小素イデアルとすると、$\mathfrak{p}$ は根基イデアルなので $\mathfrak{p}=\sqrt{\mathfrak{p}}\supset\sqrt{I}=\mathfrak{p}_1\cap\cdots\cap\mathfrak{p}_r$ である。素イデアル の記事の命題「イデアルの積と素イデアル」の後半により、ある $i$ で $\mathfrak{p}_i\subset\mathfrak{p}$ である。$\mathfrak{p}_i$ は $I$ を含む素イデアルなので、$\mathfrak{p}$ の極小性から $\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_i$ である。よって $I$ 上の極小素イデアルは $\mathfrak{p}_1,\dots,\mathfrak{p}_r$ のいずれかであり、有限個である。$\square$

まず、既約な部分集合 $Y\subset X$ の閉包 $\overline{Y}$ は既約である。実際 $\overline{Y}\neq\emptyset$ であり、$\overline{Y}=Z_1\cup Z_2$（$Z_i$ は閉集合）なら $Y=(Y\cap Z_1)\cup(Y\cap Z_2)$ は $Y$ の 2 つの閉部分集合の和なので、たとえば $Y=Y\cap Z_1$、すなわち $Y\subset Z_1$ であり、$\overline{Y}\subset Z_1$ となる。とくに既約成分 $Y$ は $Y\subset\overline{Y}$ と極大性から $Y=\overline{Y}$ を満たし、閉集合である。
Zariski位相 の記事の命題「既約閉集合と素イデアルの対応」の 2 により、$\mathfrak{p}\mapsto V(\mathfrak{p})=\overline{\{\mathfrak{p}\}}$ は $\operatorname{Spec}A$ から $X$ の既約閉集合全体への全単射である。また素イデアル $\mathfrak{p},\mathfrak{q}$ について、$V(\mathfrak{p})\subset V(\mathfrak{q})$ と $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$ は同値である（$\mathfrak{p}\in V(\mathfrak{p})$ なので前者から $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$、逆に $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}\subset\mathfrak{p}'$ なら $\mathfrak{p}'\in V(\mathfrak{q})$）。
$\mathfrak{p}$ が極小素イデアルであるとする。既約な $Y\supset V(\mathfrak{p})$ をとると、$\overline{Y}$ は既約閉集合なので $\overline{Y}=V(\mathfrak{q})$ となる素イデアル $\mathfrak{q}$ があり、$V(\mathfrak{p})\subset V(\mathfrak{q})$ から $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$、極小性から $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}$ である。よって $Y\subset V(\mathfrak{p})$ であり、$V(\mathfrak{p})$ は既約成分である。
逆に $Y$ を既約成分とすると、$Y$ は既約閉集合なので $Y=V(\mathfrak{p})$ となる素イデアル $\mathfrak{p}$ がある。素イデアル $\mathfrak{q}\subset\mathfrak{p}$ について $V(\mathfrak{q})\supset V(\mathfrak{p})=Y$ は既約なので、極大性から $V(\mathfrak{q})=V(\mathfrak{p})$ となり、単射性から $\mathfrak{q}=\mathfrak{p}$ である。よって $\mathfrak{p}$ は極小素イデアルである。$V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を決めるので、写像は全単射である。
最後に、点 $\mathfrak{p}'\in X$ に対し、thm-minimal-prime-ideal-existence により極小素イデアル $\mathfrak{p}\subset\mathfrak{p}'$ があり、$\mathfrak{p}'\in V(\mathfrak{p})$ である。よって $X$ は既約成分の和集合である。$\square$