向き付けられたGrassmann多様体

1：$(va)_j=\sum_ia_{ij}v_i$ なので、外積代数 の命題「分解可能な $k$ ベクトルと部分空間」の 2 により、外積は係数の行列 $(a_{ij})$ の転置の行列式倍、すなわち $\det(a)$ 倍になる。
2：$v'=va$、$\det a=1$ なら 1 により $\Theta(v')=\Theta(v)$ である。逆に $\Theta(v)=\Theta(v')$ とする。$\Theta(v)\ne0$ なので、同じ命題の 2 により $v$ と $v'$ は同じ部分空間 $W$ を張る。$W$ の 2 つの正規直交基底は $a_{ij}:=\langle v_i,v'_j\rangle$ で定まる $a\in U_{\mathbb{K}}(k)$ により $v'=va$ と移り合い、1 から $\det(a)\Theta(v)=\Theta(v)$、よって $\det a=1$ である。$\square$

1：$\Theta$ は連続で、定義により全射であり、ファイバーが $SU_{\mathbb{K}}(k)$ の軌道であることは lem-og-wedge の 2 である。$n< \infty$ なら $V_k(\mathbb{K}^n)$ はコンパクト（Stiefel多様体 の定義の直後の段落）で $\bigwedge^k\mathbb{K}^n$ は Hausdorff なので、像はコンパクト Hausdorff であり、$\Theta$ は閉写像、したがって商写像である。$n=\infty$ の場合は下の折りたたみで示す。
2：$g\mapsto(ge_1,\dots,ge_k)$ は連続な全射 $U_{\mathbb{K}}(n)\to V_k(\mathbb{K}^n)$ である（Stiefel多様体 の命題「等質空間としての表示」）。$\Theta(ge_1,\dots,ge_k)=\Theta(he_1,\dots,he_k)$ とすると、lem-og-wedge の 2 により $ge_j=\sum_ihe_ia_{ij}$（$j\le k$）となる $a\in SU_{\mathbb{K}}(k)$ がある。$h^{-1}g$ は $e_1,\dots,e_k$ の張る部分空間を $a$ で写すユニタリ（直交）行列なので、その直交補も保ち、$h^{-1}g$ は $a$ と $d\in U_{\mathbb{K}}(n-k)$ のブロック対角行列である。逆にそのような行列の右からの積は値を変えない。よって誘導される写像は連続な全単射であり、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相写像である。$k< n$ のとき、$g\in U_{\mathbb{K}}(n)$ の第 $n$ 列を $\det(g)^{-1}$ 倍した $g'$ は $SU_{\mathbb{K}}(n)$ に入り、最初の $k$ 列は $g$ と同じなので、$SU_{\mathbb{K}}(n)$ からの写像も全射である。$SU_{\mathbb{K}}(n)$ の中の固定部分群は上のブロック対角行列で $\det(a)\det(d)=1$、$\det a=1$ のもの、すなわち $SU_{\mathbb{K}}(k)\times SU_{\mathbb{K}}(n-k)$ であり、同じ議論で同相写像を得る。
3：$\pi\circ\Theta=p$ は連続で $\Theta$ は商写像なので、$\pi$ は連続である。$\mathrm{Gr}_k(\mathbb{K}^n)$ の開集合 $U$ と $p$ の連続な切断 $\sigma\colon U\to V_k(\mathbb{K}^n)$ をとり（Stiefel多様体 の命題「枠の束は主束」の証明）、$\widetilde U:=\pi^{-1}(U)$ とおく。$\omega\in\widetilde U$ と $\Theta(\sigma(\pi\omega))$ は同じ部分空間の上にあるので、lem-og-wedge により $\omega=\lambda(\omega)\,\Theta(\sigma(\pi\omega))$ となる $\lambda(\omega)\in U_{\mathbb{K}}(1)$ がただ 1 つある。$\Theta(\sigma(\pi\omega_0))$ の $0$ でない成分を 1 つ選ぶと、$\omega_0$ の近くで $\lambda(\omega)$ は $\omega$ のその成分を $\Theta(\sigma(\pi\omega))$ のその成分で割ったものなので、$\lambda$ は連続である。そこで
$$ \tilde\sigma(\omega):=\sigma(\pi\omega)\cdot\operatorname{diag}(\lambda(\omega),1,\dots,1) $$
とおくと、lem-og-wedge の 1 により $\Theta(\tilde\sigma(\omega))=\omega$ であり、$\tilde\sigma$ は $\Theta$ の $\widetilde U$ の上の連続な切断である。$(\omega,b)\mapsto\tilde\sigma(\omega)b$ は $\widetilde U\times SU_{\mathbb{K}}(k)\to\Theta^{-1}(\widetilde U)$ の同変な全単射（lem-og-wedge の 2）で、逆写像 $v\mapsto\bigl(\Theta(v),(\langle\tilde\sigma(\Theta v)_i,v_j\rangle)_{i,j}\bigr)$ も連続なので、局所自明化である。
$\pi$ については、$(W,\lambda)\mapsto\lambda\,\Theta(\sigma(W))$ が $U\times U_{\mathbb{K}}(1)\to\widetilde U$ の同変な全単射である。実際、$W$ の上の点は $\Theta(\sigma(W)a)=\det(a)\Theta(\sigma(W))$（$a\in U_{\mathbb{K}}(k)$）の形で、$\det$ は全射、$\Theta(\sigma(W))\ne0$ である。逆写像 $\omega\mapsto(\pi\omega,\lambda(\omega))$ も連続なので局所自明化である。$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ では $U_{\mathbb{R}}(1)=\{\pm1\}$ は離散なので、$\pi^{-1}(U)$ は $U$ と同相な 2 つの交わらない開集合の和であり、$\pi$ は 2 重被覆である。

要点：全空間は可縮で、1 の分割は $\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^\infty)$ から引き戻せる。

要点：Gauss 写像に向きを載せて $\widetilde{\mathrm{Gr}}$ への写像に持ち上げ、ベクトル束の分類定理 の主定理の証明を向きつきでたどる。

$SO(n)$ は弧状連結である（特殊直交群 の定理「指数写像の全射性」により各元は $t\mapsto e^{tX}$ で単位行列と結ばれる）。$k< n$ なので thm-og-main の 2 により $\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb{R}^n)$ はその連続像であり、弧状連結である。
単連結性：$k=n-1$ なら ex-og-small の 3 により $\widetilde{\mathrm{Gr}}_{n-1}(\mathbb{R}^n)\cong S^{n-1}$ で、$n\ge3$ なので単連結である。$k\le n-2$ なら、主束 $SO(k)\to V_k(\mathbb{R}^n)\xrightarrow{\Theta}\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb{R}^n)$ のホモトピー群の長完全列（Hat02 Theorem 4.41、p. 376、Proposition 4.48、p. 379）の部分 $\pi_1(V_k(\mathbb{R}^n))\to\pi_1(\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb{R}^n))\to\pi_0(SO(k))$ は完全である。$V_k(\mathbb{R}^n)$ は $(n-k-1)$ 連結で $n-k-1\ge1$（Stiefel多様体 の定理「低い次数のホモトピー群の消滅」）、$SO(k)$ は弧状連結なので、$\pi_1(\widetilde{\mathrm{Gr}}_k(\mathbb{R}^n))=0$ である。
thm-og-main の 3 により $\pi$ は 2 重被覆で、全空間が弧状連結かつ単連結なので普遍被覆であり、被覆空間 の定理「基本群との関係」の 2 によりファイバーの濃度 $2$ が $\pi_1(\mathrm{Gr}_k(\mathbb{R}^n))$ の位数である。位数 $2$ の群は $\mathbb{Z}/2$ である。$\square$