Cohen–Macaulay環

同義語：Cohen-Macaulay環コーエン・マコーレー環CM環

概要

前提知識: 可換環、イデアル、局所化、加群

定義に必要な言葉

以下、環は単位元をもつ可換環とし、局所環は零環を除く。環がネーター的であるとは、すべてのイデアルが有限生成であることをいう。局所環 $(R,\mathfrak m)$ は唯一の極大イデアル $\mathfrak m$ をもつ環である。
以下で用いる具体例はいずれもネーター環である。体上の有限変数多項式環、その商と局所化のネーター性には、Hilbertの基底定理とネーター性の保存則を用いる。また有限次元の体上代数では、イデアルのベクトル空間基底がそのままイデアルの有限生成系になる。
環の Krull次元 $\dim R$ は、素イデアルの真の包含列の長さの上限である。これに対して深さは、零因子を避けながら順番に商を取れる回数を測る。

正則列と深さ

ネーター局所環 $(R,\mathfrak m)$ の元の列 $x_1,\ldots,x_r\in\mathfrak m$ が $R$-正則列であるとは、各 $i$ について、商 $R/(x_1,\ldots,x_{i-1})$ 上の $x_i$ による乗法が単射であることをいう。すなわち、各段階で $x_i$ は零因子でない。元を極大イデアル内に取るので、最後の商も零環ではない。
深さ $\operatorname{depth}_{\mathfrak m}R$ は、$\mathfrak m$ 内の $R$-正則列の長さの最大値である。空の列は長さ $0$ とする。

Cohen–Macaulay環

ネーター局所環 $(R,\mathfrak m)$ が Cohen–Macaulay環（コーエン–マコーレー環、CM環）であるとは
$$ \operatorname{depth}_{\mathfrak m}R=\dim R $$
が成り立つことをいう。局所的とは限らないネーター環 $R$ がCohen–Macaulayであるとは、すべての素イデアル $\mathfrak p$ において局所化 $R_{\mathfrak p}$ がこの条件を満たすことをいう。

ネーター局所環では深さは次元以下である（ Stacks, Lemma 10.72.3 ）。CM条件は、この上限まで正則列を取れるという条件である。ネーター局所環の次元は有限であり、長さの集合は $0$ を含む有界な非負整数の集合なので、深さの最大値が存在する。定義と局所化による取り扱いは Stacks, Cohen–Macaulay rings に従う。

直感：次元の分だけ、零因子を避けて切る

例えば二次元の局所環で $x_1$ による商を取り、さらに $x_2$ による商を取るとき、最初の環で $x_2$ が非零因子かどうかだけでは足りない。一度商を取った後の環で非零因子であることが必要である。CM環は「次元に対応する長さの正則列を取れる」という意味で、次元と商の操作の関係がよい環である。
ただしCM環は、整域とも被約環とも限らない。被約環とは、$a^n=0$（$n\geq1$）を満たす元が $a=0$ だけの環である。以下の零次元の例には、非零の冪零元がある。

例と反例

一次元の例

体 $k$ 上の局所環 $R=k[t]_{(t)}$ を考える。素イデアルは $(0)$ と $(t)$ なので次元は $1$。$t$ は整域 $R$ の非零元なので非零因子であり、商 $R/(t)=k$ の極大イデアルは $0$ である。
従って深さは少なくとも $1$ で、次元を超えられないためちょうど $1$ となる。ゆえに $R$ はCM環である。

零因子をもつCM環

$A=k[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ とする。元は一意に $a+b\varepsilon$ と書け、$a\neq0$ なら $a^{-1}-ba^{-2}\varepsilon$ が逆元になる。従って極大イデアルは $(\varepsilon)$ の一つで、これが唯一の素イデアルでもある。よって $\dim A=0$。
極大イデアルのどの元も非零元 $\varepsilon$ を零にするので、正則列の最初の元を選べない。したがって深さも $0$ で、$A$ はCM環である。しかし $\varepsilon\neq0$、$\varepsilon^2=0$ なので、被約環でも整域でもない。

反例：次元は1でも深さが0

$$ B=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy) $$
を考える。剰余類にも $x,y$ と書く。$B/(x)\cong k[y]_{(y)}$ であり、$x$ は冪零なので、素イデアルの鎖はこの商と同じである。従って $\dim B=1$。
一方、$x\neq0$ である。実際、局所化後に $x\in(x^2,xy)$ なら、ある $s\notin(x,y)\subset k[x,y]$ について $sx\in x(x,y)$ となる。多項式環で $x$ を約分すると $s\in(x,y)$ となり矛盾する。
それなのに極大イデアル $(x,y)$ のすべての元が $x$ を零にする。よって深さは $0$ であり、$B$ はCM環でない。「ネーター局所環である」というだけではCM性は従わない。

Gorenstein環との違い

ネーター局所環がGorensteinであるとは、環をそれ自身の加群と見たときの入射次元が有限であることをいう。一般のネーター環では、すべての素イデアルでの局所化にこの条件を要求する。入射加群とは部分加群からの準同型を全体へ延長できる加群であり、入射次元が有限とは有限長の入射分解をもつことである。ネーター環について GorensteinならCM だが、逆は成り立たない。 Stacks, Gorenstein rings, Lemma 47.21.2

CMだがGorensteinでない例

$$ C=k[x,y]/(x,y)^2 $$
は基底 $1,x,y$ をもつ三次元の $k$-ベクトル空間である。極大イデアル $\mathfrak m=(x,y)$ は $\mathfrak m^2=0$ を満たす。$a+bx+cy$（$a\neq0$）の逆元は $a^{-1}-a^{-2}(bx+cy)$ であるため、$\mathfrak m$ が唯一の極大イデアルである。すべての素イデアルは冪零元 $x,y$ を含むので、これが唯一の素イデアルでもある。$x\neq0$ は $\mathfrak m$ 全体に零にされる。従って次元も深さも $0$ なのでCM環である。
極大イデアル全体により零にされる元の空間をソクルと呼び、$\operatorname{Soc}(C)=\{c\in C:\mathfrak m c=0\}$ と書く。この例ではソクルは $kx\oplus ky$ で二次元である。零次元ネーター局所環がGorensteinであることと、ソクルが剰余体上一次元であることは同値なので、$C$ はGorensteinではない。この判定定理は Swanson, Homological Algebra, Theorem 27.4 を用いている。

同値な特徴づけ

パラメータ系による判定

$(R,\mathfrak m)$ をネーター局所環、$d=\dim R$ とする。パラメータ系とは、$\sqrt{(x_1,\ldots,x_d)}=\mathfrak m$ を満たす $d$ 個の元 $x_i\in\mathfrak m$ の列である。次は同値である。

$R$ はCM環である。
あるパラメータ系が $R$-正則列である。
すべてのパラメータ系が $R$-正則列である。
さらに $R$ がCMなら、$0\leq c\leq d$ と $x_1,\ldots,x_c\in\mathfrak m$ に対し、正則列であることと $\dim R/(x_1,\ldots,x_c)=d-c$ は同値である。このとき各途中の商もCMで、次元は一つずつ下がる。 Stacks, 10.104.1–2

「次元の分だけ切る」は、単に $d$ 個の元を選ぶという意味ではない。パラメータ系では最後の商が零次元になり、CM性によってその切断が各段階で非零因子によるものになる。

Extで深さを読む

ネーター局所環 $(R,\mathfrak m,k)$ では
$$ \operatorname{depth}_{\mathfrak m}R =\min\{i\geq0:\operatorname{Ext}_R^i(k,R)\neq0\}. $$
従って $d=\dim R$ とすると、$R$ がCMであることは、$\operatorname{Ext}_R^i(k,R)=0$ がすべての $i< d$ で成り立つことと同値である。このとき $\operatorname{Ext}_R^d(k,R)\neq0$。ここで $k=R/\mathfrak m$ である。 Stacks, Lemma 10.72.5

$\operatorname{Ext}_R^i(k,R)$ は、$k$ の自由分解 $F_\bullet\to k$ に $\operatorname{Hom}_R(-,R)$ を適用した複体の第 $i$ コホモロジーである。「最初に消えなくなる次数」が深さを測るのであり、CM性だけで高い次数のExtまで消えるわけではない。

深さ0の反例をExtからも確認する

上の環 $B=k[x,y]_{(x,y)}/(x^2,xy)$ では、$\mathfrak m=(x,y)$ に対して $\mathfrak m x=0$、$x\neq0$ だった。従って $1\mapsto x$ は非零の $B$-線形写像 $B/\mathfrak m\to B$ を定める。よって $\operatorname{Ext}_B^0(B/\mathfrak m,B)=\operatorname{Hom}_B(B/\mathfrak m,B)\neq0$ であり、深さは0である。

CM性から従う構造と保存則

随伴素イデアルとは、ある非零元 $r\in R$ の零化イデアル $\{a\in R:ar=0\}$ として現れる素イデアルである。その集合を $\operatorname{Ass}R$、極小素イデアルの集合を $\operatorname{Min}R$ と書く。

埋込素がなく、局所的に等次元

ネーター局所CM環 $R$ では $\operatorname{Ass}R=\operatorname{Min}R$ であり、すべての極小素イデアル $\mathfrak p$ について $\dim R/\mathfrak p=\dim R$。さらに任意の素イデアル $\mathfrak p$ に対し
$$ \dim R=\dim R_{\mathfrak p}+\dim R/\mathfrak p $$
が成り立つ。「埋込素がない」とは随伴素がすべて極小であることをいう。非局所CM環の全成分が同じ大域次元をもつ、という主張にはしない。 Stacks, Lemma 10.103.7 、 Lemma 10.104.4

保存則は次の条件と一緒に使う。

局所化・有限変数多項式環：ネーターCM環の局所化、および $R[t_1,\ldots,t_n]$ はCMである。 Stacks, 10.104.5, 7
正則列による商：局所CM環では上の判定定理による。任意のイデアルによる商では保たれない。実際、非CMの例 $B$ は正則局所環 $k[x,y]_{(x,y)}$ の商である。
極大イデアル進完備化：ネーター局所環 $(R,\mathfrak m)$ では $R$ がCMであることと $\widehat R=\varprojlim R/\mathfrak m^n$ がCMであることは同値。完備化はネーター局所環への平坦局所写像で、閉ファイバー $\widehat R/\mathfrak m\widehat R$ が $k$ となるので、平坦局所写像のCM判定を適用できる。 Stacks, Lemma 10.163.3 、 Section 10.97

小さい次元での使い方

零次元ネーター局所環は、$0\leq\operatorname{depth}R\leq\dim R=0$ よりすべてCMである。また一次元ネーター局所整域では極大イデアルは非零なので、その非零元を一つ取れば非零因子になる。従って深さは少なくとも1で、上界と合わせて1。これもCMである。双対数環や離散付値環は、これらの一般的な観察の例になっている。

条件を確認して使う

正則列では、各元を先行する元で割った商の上で調べる。
深さと次元の比較は、ここではネーター局所環についてのものである。非局所環には各素イデアルで局所化した定義を使う。
CM性から被約性・整域性・Gorenstein性を結論しない。上の例がそれぞれの違いを示す。

参考文献と証明の範囲

本記事の四つの具体例は、上で示した計算により確認できる。一般論である深さの上界、Gorenstein性からCM性への含意、ソクルによるGorenstein判定には次の外部定理を用いており、一般定理そのものの証明を本記事で完結させたものではない。

The Stacks Project Authors, Commutative Algebra: Cohen–Macaulay rings, Tag 00N7 、 Lemma 10.72.3, Tag 00LK 。
The Stacks Project Authors, Dualizing Complexes: Gorenstein rings, Tag 0DW6 。局所環の定義の同値性とGorensteinならCMという含意。
Irena Swanson, Homological Algebra, Theorem 27.4 。零次元ネーター局所環でのソクルによる判定。
増補した一般的な特徴づけ・保存定理・完備化の帰結は、各段落で示した一次資料の定理を、記載された条件のもとで用いている。短い導出と具体例の計算は本文に記したが、引用した一般定理や難しい反例の構成まで本記事内で証明したとはしない。