零境界Sobolev空間

1．線形部分空間の閉包は閉じた線形部分空間である。$W^{k,p}(\Omega)$ は Banach 空間なので（Sobolev空間の基本事項 の定理「Sobolev空間の完備性」）、その閉部分空間も完備である。$p=2$ では内積の制限が同じノルムを与える。
2．$C_c^\infty(\Omega)\subset C_c^1(\Omega)$ なので、$C_c^1(\Omega)$ の各元が $W^{1,p}_0(\Omega)$ に属することを示せばよい。$f\in C_c^1(\Omega)$ の台 $K$ は $\Omega$ のコンパクト集合なので、$\delta:=\operatorname{dist}(K,\mathbb R^n\setminus\Omega)>0$（$\Omega=\mathbb R^n$ なら $\delta=\infty$）である。$f$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばした関数 $\tilde f$ は $C_c^1(\mathbb R^n)$ に属し、$\varepsilon< \delta/2$ なら $\rho_\varepsilon*\tilde f\in C_c^\infty(\Omega)$ である（軟化子 の命題「軟化の基本性質」）。$\partial_i(\rho_\varepsilon*\tilde f)=\rho_\varepsilon*\partial_i\tilde f$ であり、$\tilde f$ と $\partial_i\tilde f$ は一様連続なので、$\varepsilon\to0$ で $\rho_\varepsilon*\tilde f\to\tilde f$、$\partial_i(\rho_\varepsilon*\tilde f)\to\partial_i\tilde f$ がともに一様に成り立つ。台はすべて $K+\overline B(0,\delta/2)$ という測度有限の集合に入るので、これは $W^{1,p}(\Omega)$ での収束を意味する。$\square$

$K:=\operatorname{supp}u$ とする。まず $\Omega\setminus K$ の上で $\partial_iu=0$（ほとんど至る所）である。実際、$\varphi\in C_c^\infty(\Omega\setminus K)$ なら $u\,\partial_i\varphi=0$ がほとんど至る所成り立つので $\int\partial_iu\,\varphi=0$ であり、変分法の基本補題 の定理「変分法の基本補題」による。
$\eta\in C_c^\infty(\Omega)$ を $K$ の近傍で $1$ となるようにとる。$\varphi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ について、$\eta\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ であり、$K$ の近傍で $\partial_i(\eta\varphi)=\partial_i\varphi$ なので、
$$ \int_{\mathbb R^n}\tilde u\,\partial_i\varphi\,dx=\int_\Omega u\,\partial_i(\eta\varphi)\,dx=-\int_\Omega\partial_iu\,\eta\varphi\,dx=-\int_{\mathbb R^n}\widetilde{\partial_iu}\,\varphi\,dx $$
である。最後の等号では $\partial_iu$ が $K$ の外で $0$、$K$ の上で $\eta=1$ であることを使った。よって $\tilde u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で、$\partial_i\tilde u=\widetilde{\partial_iu}$ である。
軟化子 の定理「Sobolev 関数の軟化による近似」の 1 により、$\varepsilon\to0$ で $\rho_\varepsilon*\tilde u\to\tilde u$ が $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で成り立つ。$\delta:=\operatorname{dist}(K,\mathbb R^n\setminus\Omega)$ について $\varepsilon< \delta/2$ なら、$\rho_\varepsilon*\tilde u$ の台は $K+\overline B(0,\varepsilon)\subset\Omega$ に入り、$\rho_\varepsilon*\tilde u|_\Omega\in C_c^\infty(\Omega)$ である。これが $u$ に $W^{1,p}(\Omega)$ で収束するので、$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。$\square$

$\varphi_j\in C_c^\infty(\Omega)$ を $W^{1,p}(\Omega)$ で $u$ に収束する列とする。$0$ で延ばした $\tilde\varphi_j$ は $C_c^\infty(\mathbb R^n)$ に属し、$\Omega$ の外では差がすべて $0$ なので
$$ \|\tilde\varphi_j-\tilde\varphi_l\|_{W^{1,p}(\mathbb R^n)}=\|\varphi_j-\varphi_l\|_{W^{1,p}(\Omega)} $$
である。よって $(\tilde\varphi_j)$ は $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ の Cauchy 列であり、極限 $U$ をもつ。$L^p(\mathbb R^n)$ で $\tilde\varphi_j\to U$、$\partial_i\tilde\varphi_j\to\partial_iU$ である一方、$\tilde\varphi_j\to\tilde u$、$\partial_i\tilde\varphi_j\to\widetilde{\partial_iu}$ も $L^p(\mathbb R^n)$ で成り立つ。極限の一意性から $U=\tilde u$、$\partial_iU=\widetilde{\partial_iu}$ である。ノルムの等式は定義から明らかである。$\square$

$W^{1,p}(\Omega)\subset W^{1,1}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$ なので、これは Sobolev空間の連鎖律 の定理「Sobolev空間の連鎖律」の 1 と 2 の特別な場合であり、証明は同記事にある。要点は、軟化した $u_\varepsilon$ では古典的な連鎖律が成り立ち、$G$ の Lipschitz 性と優収束定理で $\varepsilon\to0$ の極限へ移せることである。$\square$

1 の証明． 段 1：$u$ の台が有界な場合。$G\in C^1(\mathbb R)$ を、$|G(t)|\le|t|$、$|t|\le1$ で $G(t)=0$、$|t|\ge2$ で $G(t)=t$ をみたし、$G'$ が有界なものとする（$G(t)=t\,\chi(t)$、$\chi\in C^\infty(\mathbb R)$、$0\le\chi\le1$、$[-1,1]$ で $\chi=0$、$[-2,2]$ の外で $\chi=1$ とすればよい）。$m\ge1$ について
$$ u_m:=\tfrac1mG(mu) $$
とおく。lem-zb-chain-rule により $u_m\in W^{1,p}(\Omega)$、$\nabla u_m=G'(mu)\nabla u$ である。
各点で $u_m\to u$ である（$u(x)\ne0$ なら $m|u(x)|\ge2$ となる $m$ から先は $u_m(x)=u(x)$、$u(x)=0$ なら $u_m(x)=0$）。$|u_m-u|\le2|u|$ なので、優収束定理で $u_m\to u$（$L^p$）である。勾配については、$u(x)\ne0$ なら $m$ が大きいと $G'(mu(x))=1$、$u(x)=0$ なら $G'(0)=0$ なので、$\nabla u_m\to\mathbf 1_{\{u\ne0\}}\nabla u$ が各点で成り立ち、$M:=\sup|G'|$ として $|\nabla u_m|\le M|\nabla u|$ から $L^p$ でも成り立つ。弱微分の等式 $\int u_m\partial_i\varphi=-\int\partial_iu_m\,\varphi$ の極限をとると、$\mathbf 1_{\{u\ne0\}}\partial_iu$ も $u$ の弱微分であり、弱微分の一意性から $\partial_iu=\mathbf 1_{\{u\ne0\}}\partial_iu$ である。よって $u_m\to u$ が $W^{1,p}(\Omega)$ で成り立つ。
$u$ の $\overline\Omega$ 上の連続な代表を同じ文字で書き、$K_m:=\{x\in\overline\Omega\mid|u(x)|\ge1/m\}$ とおく。$K_m$ は閉集合で、$u$ の台が有界なので有界であり、コンパクトである。$\Gamma$ の上で $u=0$ なので $K_m\cap\Gamma=\emptyset$、すなわち $K_m\subset\Omega$ である。$u_m$ は $|u|<1/m$ の開集合の上で $0$ なので $\operatorname{supp}u_m\subset K_m$ であり、lem-zb-compact-support により $u_m\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。$W^{1,p}_0(\Omega)$ は閉じているので $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。
段 2：一般の場合。$\zeta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を、$0\le\zeta\le1$、$|x|\le1$ で $\zeta=1$ とし、$\zeta_R(x):=\zeta(x/R)$ とおく。$\zeta_Ru$ は $\overline\Omega$ まで連続で、$\Gamma$ の上で $0$ で、台が有界である。Sobolev空間の基本事項 の命題「滑らかな係数との積」により $\zeta_Ru\in W^{1,p}(\Omega)$、$\nabla(\zeta_Ru)=\zeta_R\nabla u+u\nabla\zeta_R$ なので、段 1 から $\zeta_Ru\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。$R\to\infty$ のとき、優収束定理で $\|(1-\zeta_R)u\|_p\to0$、$\|(1-\zeta_R)\nabla u\|_p\to0$ であり、$\|u\nabla\zeta_R\|_p\le\|\nabla\zeta\|_\infty\|u\|_p/R\to0$ である。よって $\zeta_Ru\to u$（$W^{1,p}$）で、$u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ である。
2 の証明． $x=(x',t)$（$x'\in\mathbb R^{n-1}$、$t>0$）と書く（$n=1$ なら $x'$ はない）。$\varphi_j\in C_c^\infty(\mathbb R^n_+)$ を $W^{1,p}$ で $u$ に収束する列とする。$\varphi_j(x',0)=0$ なので、微積分学の基本定理から $|\varphi_j(x',t)|\le\int_0^t|\partial_n\varphi_j(x',s)|\,ds$ である。$B'\subset\mathbb R^{n-1}$ を有界な開球、$0< \varepsilon<1$ とし、$t\in(0,\varepsilon)$ と $x'\in B'$ で積分すると
$$ \frac1\varepsilon\int_{B'}\int_0^\varepsilon|\varphi_j(x',t)|\,dt\,dx'\le\int_{B'}\int_0^\varepsilon|\partial_n\varphi_j(x',s)|\,ds\,dx' $$
である。$B'\times(0,1)$ は測度有限なので、$L^p$ 収束から $L^1$ 収束が従い、$j\to\infty$ として同じ不等式が $u$ について成り立つ。$\varepsilon\to0$ とすると、右辺は $\partial_nu\in L^1(B'\times(0,1))$ と積分の絶対連続性により $0$ に収束し、左辺は $u$ がコンパクト集合 $\overline{B'}\times[0,1]$ の上で一様連続であることから $\int_{B'}|u(x',0)|\,dx'$ に収束する。よって $B'$ の上で $u(\cdot,0)=0$ であり、$B'$ は任意なので $\Gamma$ の上で $u=0$ である。$\square$

$\psi$ に、原点の近くで $0$、遠くで $1$ の滑らかな関数 $\eta$ を掛けた $\eta\psi$ は台が $\Omega$ の中でコンパクトなので、lem-zb-compact-support により $W^{1,p}_0(\Omega)$ に属する。$\eta$ の列 $\eta_k$ を、$\|\nabla\eta_k\|_{L^p}\to0$ かつほとんど至る所 $\eta_k\to1$、$0\le\eta_k\le1$ となるようにとれば、
$$ \|\eta_k\psi-\psi\|_{W^{1,p}}^p\le\|(1-\eta_k)\psi\|_p^p+\sum_i\bigl(\|(1-\eta_k)\partial_i\psi\|_p+\|\psi\|_\infty\|\partial_i\eta_k\|_p\bigr)^p\to0 $$
（第 1 項と $(1-\eta_k)\partial_i\psi$ の項は優収束定理による）なので $\psi\in W^{1,p}_0(\Omega)$ となる。そのような $\eta_k$ は、$n\ge2$、$p\le n$ では 1 点の $p$ 容量が $0$ である（容量(ポテンシャル論) の定理「1 点の容量」）ことから、同記事の補題「容量 $0$ の集合を切り取る関数」を $K=\{0\}$、$U=B(0,1)$ に当てて得られる関数列を $\theta_k$ とし、$\eta_k:=1-\theta_k$ とおけば得られる。$\square$

要点：境界の点の近くで局所座標により半空間へ写すと、$W^{1,p}_0$ の元で閉半空間まで連続な関数になる。半空間の場合（thm-zb-continuous の 2）から、その境界での値は $0$ である。

要点：1 から 2・3 は零延長による。2 から 3 は $L^{p'}$ の双対で弱微分を表す。3 から 1 は、遠方を切り落として 1 の分割で境界の近くの部分に分け、局所座標で半空間に写してから、台が内側にずれる軟化子で $Q_+$ に台をもつ滑らかな関数で近づける。

$f\in C^1([0,1])$ について $f(x)=f(y)+\int_y^xf'$ を $y$ で積分すると $\sup|f|\le\|f\|_{L^1}+\|f'\|_{L^1}$ である。$\varphi_j\in C_c^\infty(0,1)$ が $W^{m,p}$ で $u$ に収束するとすると、$m\ge2$ なので $\varphi_j'\to u'$、$\varphi_j''\to u''$ が $L^p$ で、したがって $L^1$ で成り立つ。上の評価を $f=\varphi_j'-\varphi_k'$ に当てると $(\varphi_j')$ は $[0,1]$ 上で一様 Cauchy 列であり、その一様極限は $L^1$ 極限 $u'=1-2x$ と一致する。$\varphi_j'(0)=0$ なので $u'(0)=0$ となるが、$u'(0)=1$ で矛盾する。$\square$