Wieferich素数

$a^e\equiv1\pmod{p^2}$ なら法 $p$ でも $a^e\equiv1$ なので、$d\mid e$ である。一方 $a^d\equiv1\pmod p$ なので $a^d=1+tp$（$t$ は整数）と書け、二項定理により
$$ a^{dp}=(1+tp)^p=1+p\cdot tp+\binom p2t^2p^2+\cdots\equiv1\pmod{p^2} $$
である。よって $e\mid dp$ である。$e=dm$ と書くと $dm\mid dp$ から $m\mid p$ であり、$p$ は素数なので $m=1$ または $m=p$ である。$\square$

$d:=\operatorname{ord}_p(a)$、$e:=\operatorname{ord}_{p^2}(a)$ とおく。
1 ⇒ 2：$a^{p-1}\equiv1\pmod{p^2}$ なので $e\mid p-1$ である。lem-wf-order により $e\in\{d,dp\}$ だが、$dp\ge p>p-1$ なので $dp\nmid p-1$ であり、$e=d$ である。
2 ⇒ 3：$a^d=a^e\equiv1\pmod{p^2}$ である。
3 ⇒ 1：$a^d\equiv1\pmod{p^2}$ なので $e\mid d$ であり、$d\mid p-1$（Fermat の小定理）なので $e\mid p-1$、すなわち $a^{p-1}\equiv1\pmod{p^2}$ である。
1 ⇔ 4：擬素数 の命題「素数の平方の擬素数」による。$\square$

1：$2^q\equiv1\pmod p$ なので $\operatorname{ord}_p(2)$ は $q$ を割る。$2\not\equiv1\pmod p$ なので位数は $1$ でなく、$q$ は素数だから $\operatorname{ord}_p(2)=q$ である。同様に $2^q\equiv1\pmod{p^2}$ から $\operatorname{ord}_{p^2}(2)$ は $q$ を割り、$1$ でないので $q$ に等しい。よって 2 つの位数は一致し、prop-wf-equiv により $p$ は Wieferich 素数である。
2：$2^{2^m}\equiv-1\pmod p$ なので $2^{2^{m+1}}\equiv1\pmod p$ であり、$\operatorname{ord}_p(2)$ は $2^{m+1}$ を割る。$p$ は奇素数なので $-1\not\equiv1\pmod p$ であり、位数は $2^m$ を割らない。$2^{m+1}$ の約数で $2^m$ を割らないものは $2^{m+1}$ だけなので、$\operatorname{ord}_p(2)=2^{m+1}$ である。法 $p^2$ でも $2^{2^m}\equiv-1\not\equiv1$ なので、同じ議論で $\operatorname{ord}_{p^2}(2)=2^{m+1}$ である。prop-wf-equiv により $p$ は Wieferich 素数である。$\square$

DK11 の計算結果により、$6.7\times10^{15}$ より小さい Wieferich 素数は $1093$ と $3511$ だけである。$p^2\mid2^q-1$ なら thm-wf-square-factor の 1 により $p$ はそのどちらかで $\operatorname{ord}_p(2)=q$ は素数でなければならないが、位数は $364$ と $1755$ で、どちらも素数でない。$p^2\mid F_m$ なら同じ定理の 2 により位数は $2$ の冪でなければならないが、$364$ も $1755$ も $2$ の冪でない。$\square$

$d:=\operatorname{ord}_p(2)$ とすると、$2^n\equiv1\pmod p$ から $d\mid n$ である。$p$ が Wieferich 素数なら、prop-wf-equiv の 3 により $2^d\equiv1\pmod{p^2}$ であり、$d\mid n$ から $2^n\equiv1\pmod{p^2}$、すなわち $p^2\mid2^n-1$ となって仮定に反する。$\square$

$n\ge2$ とし、上の $m_n=2^n-1$、$u_n$、$v_n$ をとる。$m_n$ は奇数である。$v_n$ の各素因数 $p$ は $v_n$ に $p^e$（$e\ge2$）の形で現れるので、$\operatorname{rad}(v_n)^2\le v_n$ である（$\operatorname{rad}$ は abc予想 の定義「根基」）。$u_n$ と $v_n$ は互いに素で $u_n$ は平方因子をもたないから
$$ \operatorname{rad}(m_n)=u_n\operatorname{rad}(v_n)\le u_n\sqrt{v_n}=\sqrt{u_n\cdot u_nv_n}=\sqrt{u_nm_n}<\sqrt{u_n2^n} $$
である。
$1+m_n+(-2^n)=0$ で、$1,m_n,-2^n$ は互いに素な $0$ でない整数である。abc 予想を $\varepsilon=1/3$ で使い、$C:=C(1/3)$ とおくと
$$ 2^n\le C\operatorname{rad}(1\cdot m_n\cdot2^n)^{4/3}=C\bigl(2\operatorname{rad}(m_n)\bigr)^{4/3}< C\,2^{4/3}\bigl(u_n2^n\bigr)^{2/3} $$
である（$m_n$ は奇数なので $\operatorname{rad}(m_n2^n)=2\operatorname{rad}(m_n)$）。両辺を $2^{2n/3}$ で割ると $2^{n/3}< C\,2^{4/3}u_n^{2/3}$、すなわち
$$ u_n> \bigl(C\,2^{4/3}\bigr)^{-3/2}\,2^{n/2} $$
を得る。右辺は $n\to\infty$ で無限大に発散する。
Wieferich 素数でない素数が有限個 $p_1,\dots,p_r$ しかないと仮定する（$r=0$ も許す）。lem-wf-exact により $u_n$ の素因数はすべて Wieferich 素数でない奇素数で、$u_n$ は平方因子をもたないので、$u_n$ は $p_1\cdots p_r$ を割り、$u_n\le p_1\cdots p_r$ がすべての $n$ で成り立つ。これは $u_n\to\infty$ に反する。$\square$