分解体

$n$ に関する帰納法で、すべての体 $K$ について同時に示す。$n=1$ なら $f=c(x-a)$（$a\in K$）なので $L=K$ が分解体であり、$[L:K]=1=1!$ である。
$n\ge2$ とする。$f$ の既約因子 $g$ を 1 つとる（多項式環 の記事の定理「体上の一意分解」）。体の拡大 の記事の命題「根をもつ拡大体の構成」により、$E=K[x]/(g)$ は $K$ の拡大体で、$x$ の類 $\xi$ は $g$ の根、したがって $f$ の根であり、$E=K(\xi)$、$[E:K]=\deg g\le n$ である。因数定理（多項式環 の記事の系「剰余定理と因数定理」）により $E[x]$ で $f=(x-\xi)h$、$\deg h=n-1\ge1$ と書ける。帰納法の仮定により、$h$ の $E$ 上の分解体 $L$ があり $[L:E]\le(n-1)!$ である。
$L$ で $h$ は分解するので、$f=(x-\xi)h$ も分解する。$h$ の $L$ における根を $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ とすると、$f$ の $L$ における根は $\xi,\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ であり、
$$ L=E(\beta_1,\dots,\beta_{n-1})=K(\xi)(\beta_1,\dots,\beta_{n-1})=K(\xi,\beta_1,\dots,\beta_{n-1}) $$
である。よって $L$ は $f$ の $K$ 上の分解体である。体の拡大 の記事の定理「拡大次数の乗法性」により $[L:K]=[L:E][E:K]\le(n-1)!\cdot n=n!$ である。$\square$

$L$ は $f$ の有限個の根で生成され、それらは $K$ 上代数的なので、$L/K$ は有限次拡大である（体の拡大 の記事の命題「有限次拡大と有限生成な代数拡大」）。$[L:K]$ に関する帰納法で、すべての $K,K',\sigma,f,L,L'$ について同時に示す。
$[L:K]=1$ のとき、$L=K$ なので $f=c\prod_i(x-a_i)$（$a_i\in K$）と分解し、$\sigma f=\sigma(c)\prod_i(x-\sigma(a_i))$ は $K'$ で分解する。$\sigma f$ の $L'$ における根 $\gamma$ は $\sigma(c)\prod_i(\gamma-\sigma(a_i))=0$ を満たし、体 $L'$ には零因子がないので、ある $i$ で $\gamma=\sigma(a_i)\in K'$ である。よって $L'$ は $K'$ 上 $K'$ の元で生成され、$L'=K'$ である。$\tau=\sigma$ とすればよい。
$[L:K]>1$ とする。$f$ の根がすべて $K$ に属すれば $L=K$ となるので、$f$ の根 $\alpha\in L\setminus K$ がある。$p=m_{\alpha,K}$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式とすると $d=\deg p\ge2$ であり、$f(\alpha)=0$ より $p\mid f$ である（体の拡大 の記事の命題「最小多項式の存在と一意性」）。したがって $\sigma p\mid\sigma f$ であり、$\sigma f$ は $L'$ で 1 次式の積に分解するので、その約元 $\sigma p$ も $L'$ で 1 次式の積になり、根 $\beta\in L'$ をもつ。Galois拡大 の記事の補題「単純拡大への同型の延長」により、$\sigma$ を延長し $\alpha$ を $\beta$ に送る体の準同型 $\sigma_1\colon K(\alpha)\to L'$ があり、その像は $K'(\beta)$ である。体の準同型は単射なので、$\sigma_1\colon K(\alpha)\to K'(\beta)$ は同型である。
$L$ は $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体である。$f$ は $L$ で分解し、$f$ の根を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ とすると $L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\subset K(\alpha)(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\subset L$ だからである。同様に $L'$ は $\sigma_1f=\sigma f$ の $K'(\beta)$ 上の分解体である。拡大次数の乗法性により $[L:K(\alpha)]=[L:K]/d<[L:K]$ なので、帰納法の仮定を $\sigma_1\colon K(\alpha)\to K'(\beta)$ と $f$ に適用すると、$\sigma_1$ を延長する同型 $\tau\colon L\to L'$ が得られる。$\tau$ は $K$ 上で $\sigma_1|_K=\sigma$ に一致する。$\square$

正規拡大 ⇒ 分解体：$L$ の $K$ 上の基底（基底と次元）$\beta_1,\dots,\beta_s$ をとると $L=K(\beta_1,\dots,\beta_s)$ である。$f:=\prod_jm_{\beta_j,K}$ とおくと、正規性により各因子、したがって $f$ は $L$ で分解する。$f$ の根で生成される体は $\beta_1,\dots,\beta_s$ を含み $L$ に含まれるので $L$ に等しい。よって $L$ は $f$ の分解体である。
分解体 ⇒ 正規拡大：$L$ を $f\in K[x]$ の分解体、$f$ の根を $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ とする。$\alpha\in L$ をとり、$p=m_{\alpha,K}$、$d=\deg p$ とする。thm-splitting-field-existence により $p$ の $L$ 上の分解体 $M$ をとり、$\beta\in M$ を $p$ の任意の根とする。$\beta\in L$ を示せば、$p$ の根はすべて $L$ に属し、$p$ は $L$ で分解する。
Galois拡大 の記事の補題「単純拡大への同型の延長」を $\sigma=\mathrm{id}_K$ に適用すると、$\alpha$ を $\beta$ に送る $K$ 上の同型 $\sigma_1\colon K(\alpha)\to K(\beta)$ がある。$L$ は $f$ の $K(\alpha)$ 上の分解体である。$f$ は $L$ で分解し、$L=K(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\subset K(\alpha)(\alpha_1,\dots,\alpha_n)\subset L$ だからである。また $L(\beta)\subset M$ は $f$ の $K(\beta)$ 上の分解体である。$f$ は $L\subset L(\beta)$ で分解し、$L(\beta)=K(\beta)(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ だからである。$f$ の係数は $K$ に属するので $\sigma_1f=f$ であり、thm-splitting-field-uniqueness により $\sigma_1$ を延長する同型 $\tau\colon L\to L(\beta)$ がある。$\tau$ は $L$ の $K(\alpha)$ 上の基底を $L(\beta)$ の $K(\beta)$ 上の基底に写すので $[L:K(\alpha)]=[L(\beta):K(\beta)]$ である。$[K(\alpha):K]=[K(\beta):K]=d$（体の拡大 の記事の定理「単純拡大の構造」）と拡大次数の乗法性から
$$ [L:K]=[L:K(\alpha)]\,d=[L(\beta):K(\beta)]\,d=[L(\beta):K] $$
である。$K\subset L\subset L(\beta)$ で両端の次数が有限で等しいので $[L(\beta):L]=1$、すなわち $\beta\in L$ である。$\square$