Nevanlinnaの第二主要定理

$G(x):=-1/\log x$（$x\ge e$）とおくと $G'(x)=\frac1{x(\log x)^2}\in(0,\frac1e]$ なので $G$ は Lipschitz 連続で、$G\circ\phi$ は単調非減少かつ有界な区間ごとに絶対連続であり、ほとんどすべての $r$ で $(G\circ\phi)'(r)=\frac{\phi'(r)}{\phi(r)(\log\phi(r))^2}$ である。$E_\phi$ の点ではこれは $1$ より大きいので（微分不可能な点は測度 $0$）、任意の $R>1$ について
$$ \bigl\lvert E_\phi\cap[1,R]\bigr\rvert\le\int_1^R(G\circ\phi)'(r)\,dr=G(\phi(R))-G(\phi(1))\le\frac1{\log\phi(1)}\le1 $$
である（絶対連続関数 の微分と積分の関係による）。$R\to\infty$ とすればよい。$\square$

段 1（各点の不等式）．$w\in\mathbb C^\times$ について $\rho(w):=\dfrac1{\lvert w\rvert^2\bigl(1+(\log\lvert w\rvert)^2\bigr)^2}$ とおき、$f$ の零点でも極でもない $z$ について $a(z):=\lvert f'(z)\rvert^2\rho(f(z))$ とおく。$\ell:=\log\lvert f(z)\rvert$ とすると $\lvert f'/f\rvert^2=a\,(1+\ell^2)^2$ なので $1+\lvert f'/f\rvert^2\le(1+a)(1+\ell^2)^2$ であり、$\log^+x\le\frac12\log(1+x^2)$ と $1+\ell^2\le(1+\lvert\ell\rvert)^2$ から
$$ \log^+\Bigl\lvert\frac{f'}f\Bigr\rvert\le\frac12\log(1+a)+2\log(1+\lvert\ell\rvert) $$
である。円周 $\lvert z\rvert=r$ で平均し、$\log$ の凹性（Jensenの不等式）と $\lvert\ell\rvert=\log^+\lvert f\rvert+\log^+\frac1{\lvert f\rvert}$、(1) の第 2 式を使うと、$r\ge1$ で
$$ m_{f'/f}(\infty,r)\le\frac12\log\bigl(1+\overline a(r)\bigr)+2\log\bigl(1+2T_f(r)+\log^+\tfrac1{\lvert c_f\rvert}\bigr),\qquad\overline a(r):=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}a(re^{i\theta})\,d\theta \qquad(2) $$
である。右辺の第 2 項は $2\log^+T_f(r)+C_1$ 以下である。
段 2（面積の引き戻し）．$A(t):=\int_{\lvert z\rvert< t}a(z)\,dx\,dy$、$A_1(r):=\int_0^rA(t)\,\frac{dt}t$ とおく。$a\,dx\,dy$ は $\mathbb C^\times$ 上の測度 $\rho(w)\,du\,dv$（$w=u+iv$）の $f$ による引き戻しなので、$n(t,w)$ を $\lvert z\rvert< t$ での $f=w$ の解の個数（重複度込み）とすると
$$ A(t)=\int_{\mathbb C^\times}n(t,w)\,\rho(w)\,du\,dv,\qquad A_1(r)=\int_{\mathbb C^\times}N_f(w,r)\,\rho(w)\,du\,dv $$
である。

段 1（近接関数の和を 1 つにまとめる）．$\delta:=\min\bigl(1,\min_{i\ne j}\lvert a_i-a_j\rvert\bigr)$（$q=1$ なら $\delta:=1$）、$\varepsilon:=\delta/(2q)$、$F:=\sum_{j=1}^q\frac1{f-a_j}$ とおく。$f(z)$ が $a_j$ のどれでも $\infty$ でもない点 $z$ で、
$$ \sum_{j=1}^q\log^+\frac1{\lvert f(z)-a_j\rvert}\le\log^+\lvert F(z)\rvert+q\log\frac{2q}\delta \qquad(4) $$
を示す。$\lvert f(z)-a_j\rvert<\varepsilon$ となる $j$ がなければ、左辺は $q\log\frac1\varepsilon$ 以下である。そのような $j$ があれば、$i\ne j$ について $\lvert f(z)-a_i\rvert\ge\lvert a_i-a_j\rvert-\varepsilon\ge\frac\delta2$ なので、$\frac1{\lvert f(z)-a_j\rvert}>\frac1\varepsilon=\frac{2q}\delta$ と合わせて
$$ \lvert F(z)\rvert\ge\frac1{\lvert f(z)-a_j\rvert}-(q-1)\frac2\delta\ge\frac1{\lvert f(z)-a_j\rvert}\Bigl(1-\frac{q-1}q\Bigr)=\frac1{q\lvert f(z)-a_j\rvert} $$
である。よって $j$ の項は $\log^+\lvert F(z)\rvert+\log q$ 以下、ほかの項はそれぞれ $\log\frac2\delta$ 以下で、和は (4) の右辺以下である。(4) を円周上で平均して
$$ \sum_{j=1}^qm_f(a_j,r)\le m_F(\infty,r)+q\log\frac{2q}\delta $$
を得る。
段 2（対数微分を取り出す）．$F=(Ff')\cdot\frac1{f'}$ で $Ff'=\sum_j\frac{(f-a_j)'}{f-a_j}$ である。$\log^+(xy)\le\log^+x+\log^+y$ と $\log^+\lvert\sum_jx_j\rvert\le\sum_j\log^+\lvert x_j\rvert+\log q$ から
$$ m_F(\infty,r)\le\sum_{j=1}^qm_{(f-a_j)'/(f-a_j)}(\infty,r)+\log q+m_{f'}(0,r) $$
である（$m_{1/f'}(\infty,r)=m_{f'}(0,r)$）。
段 3（$f'$ に Jensen の公式を当てる）．$f'$ は恒等的に $0$ でないので、(J) により $m_{f'}(0,r)=m_{f'}(\infty,r)+N_{f'}(\infty,r)-N_{f'}(0,r)-\log\lvert c_{f'}\rvert$ である。$f'=f\cdot\frac{f'}f$ から $m_{f'}(\infty,r)\le m_f(\infty,r)+m_{f'/f}(\infty,r)$ なので
$$ m_{f'}(0,r)\le m_f(\infty,r)+N_{f'}(\infty,r)-N_{f'}(0,r)+m_{f'/f}(\infty,r)-\log\lvert c_{f'}\rvert $$
である。
段 4（まとめる）．段 1〜3 を合わせ、両辺に $m_f(\infty,r)=T_f(r)-N_f(\infty,r)$ を足すと、
$$ \sum_{j=1}^qm_f(a_j,r)+m_f(\infty,r)\le2T_f(r)-\bigl(N_{f'}(0,r)+2N_f(\infty,r)-N_{f'}(\infty,r)\bigr)+R(r) $$
である。ここで $R(r):=m_{f'/f}(\infty,r)+\sum_jm_{(f-a_j)'/(f-a_j)}(\infty,r)+q\log\frac{2q}\delta+\log q-\log\lvert c_{f'}\rvert$ で、括弧の中は $N_{\mathrm{ram}}(r)$ である。lem-nsm-logderiv を $f$ と $f-a_1,\dots,f-a_q$（どれも定数でない）に当て、(1) の第 3 式から $\log^+T_{f-a_j}(r)\le\log^+T_f(r)+\log\bigl(1+\log^+\lvert a_j\rvert+\log2\bigr)$ であることを使う。$q+1$ 個の例外集合の和集合を $E$ とすれば、$r\in[1,\infty)\setminus E$ で $R(r)\le S(r)$ となる定数 $C$ がとれる。$\square$

$A\cap\mathbb C=\{a_1,\dots,a_q\}$ とする。$q=0$ なら $A=\{\infty\}$ で、左辺 $-T_f(r)$ は $0$ 以下、右辺は（$S_A$ の定数を $0$ 以上にとれば）$0$ 以上なので明らかである。$q\ge1$ とする。$a_j$ 点で $f$ の重複度が $k$ なら、そこは $f'$ の $k-1$ 位の零点である。異なる $j$ の $a_j$ 点は異なる点なので、$N_{f'}(0,r)\ge\sum_j\bigl(N_f(a_j,r)-\overline N_f(a_j,r)\bigr)$ である（どの個数関数も同じ重み $\log\frac r{\lvert z\rvert}$、$z=0$ では $\log r$ で、$r\ge1$ では $0$ 以上）。また $N_f(\infty,r)-\overline N_f(\infty,r)$ は極の位数から $1$ を引いたものの重み付きの和である。よって $N_{\mathrm{ram}}(r)\ge\sum_j\bigl(N_f(a_j,r)-\overline N_f(a_j,r)\bigr)+N_f(\infty,r)-\overline N_f(\infty,r)$ で、(5) に代入すると
$$ (q-1)\,T_f(r)\le\sum_{j=1}^q\overline N_f(a_j,r)+\overline N_f(\infty,r)+S(r)+O(1) $$
である。$\infty\in A$ なら $\lvert A\rvert=q+1$ でこれが主張である。$\infty\notin A$ なら $\lvert A\rvert=q$ で、$\overline N_f(\infty,r)\le N_f(\infty,r)\le T_f(r)$ を移項すればよい。$\square$

有限集合 $A\subset\mathbb C\cup\{\infty\}$ について $\sum_{a\in A}\delta_f(a)\le2$ を示せば十分である（そうなら $\delta_f(a)>1/n$ となる $a$ は $2n$ 個未満なので、正の欠除をもつ $a$ は可算個で、和は $2$ 以下）。$A\cap\mathbb C$ が空なら和は $\delta_f(\infty)\le1$ 以下である。空でないとき $A\cap\mathbb C$ に thm-nsm-main を当て、$\infty\notin A$ なら左辺の $m_f(\infty,r)\ge0$ を、また $N_{\mathrm{ram}}(r)\ge0$ を捨てると、$r\notin E$ で $\sum_{a\in A}m_f(a,r)\le2T_f(r)+S(r)$ である。$T_f(r)\to\infty$ と $T_f(r)\ge\log r-C_0$ から $S(r)/T_f(r)\to0$ である。$r\notin E$ はいくらでも大きくとれ、そこに制限した下極限は全体の下極限以上なので
$$ \sum_{a\in A}\delta_f(a)\le\sum_{a\in A}\liminf_{r\to\infty,\,r\notin E}\frac{m_f(a,r)}{T_f(r)}\le\liminf_{r\to\infty,\,r\notin E}\sum_{a\in A}\frac{m_f(a,r)}{T_f(r)}\le2 $$
である。$\square$

$f$ が定数でなければ、とらない値の欠除はどれも $1$ なので $\delta_f(a_1)+\delta_f(a_2)+\delta_f(a_3)=3$ で、cor-nsm-defect に反する。整関数は $\infty$ をとらないので、2 つの複素数をとらなければ 3 つの値をとらないことになる。$\square$

各 $a$ 点の重複度が $m_a$ 以上なので $\overline N_f(a,r)\le N_f(a,r)/m_a$ であり、Nevanlinnaの第一主要定理 の系「個数関数の上からの評価と特性関数の増大」の 1（$a=\infty$ なら $N_f(\infty,r)\le T_f(r)$）から $\overline N_f(a,r)\le(T_f(r)+C'_a)/m_a$ である（$m_a=\infty$ なら $\overline N_f(a,r)=0$）。cor-nsm-truncated に代入すると、$r\notin E$ で $(\lvert A\rvert-2)T_f(r)\le\sum_a\frac{T_f(r)+C'_a}{m_a}+S_A(r)$ である。$T_f(r)$ で割って $r\to\infty$（$r\notin E$）とすると $\lvert A\rvert-2\le\sum_a\frac1{m_a}$ である。後半は、各項が $\frac12$ 以上であること、整関数では $\infty$ の項が $1$ であることによる。$\square$