一様連続

同義語：一様連続性一様連続写像uniform continuityuniformly continuous

概要

前提知識: 距離空間, 連続写像, 実数, コンパクト空間
一様連続は、距離空間の間の写像について、「入力の差を小さくすれば出力の差を小さくできる」ことが定義域のどこでも同じ尺度で成り立つという性質である。記法は距離空間・連続写像の記事に合わせ、距離空間 $(X,d_X)$ の開球を $B_X(x,r)$ と書く。実数の部分集合には通常の距離 $|x-y|$ を入れる。

定義

一様連続の定義

$(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ を距離空間とする。写像 $f\colon X\to Y$ が一様連続（uniformly continuous）であるとは、任意の実数 $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在し、任意の $x,x'\in X$ について
$$ d_X(x,x')<\delta\ \Longrightarrow\ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon $$
が成り立つことをいう。量化記号で書けば
$$ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x\in X\ \forall x'\in X\ \bigl(d_X(x,x')<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon\bigr) $$
である。部分集合 $A\subset X$ について「$f$ は $A$ 上で一様連続である」とは、距離を制限した $(A,d_X)$ からの制限（写像の制限） $f|_A$ が一様連続であることをいう。

連続写像の記事の定理「距離空間でのε-δ判定」により、$f$ が連続であることは
$$ \forall x\in X\ \forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0\ \forall x'\in X\ \bigl(d_X(x,x')<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon\bigr) $$
と同値である。違いは量化記号の順序だけである。連続性では $\delta$ を点 $x$ ごとに選んでよく、一様連続性では一つの $\delta$ がすべての点 $x$ で同時に使えなければならない。したがって一様連続写像は連続であり（prop-uniform-continuity-basic の 1）、逆は一般には成り立たない（ex-uniform-continuity-square）。
$f$ が一様連続でないことは、次のように言い換えられる。ある $\varepsilon_0>0$ が存在して、どの $\delta>0$ に対しても、$d_X(x,x')<\delta$ かつ $d_Y(f(x),f(x'))\ge\varepsilon_0$ となる $x,x'\in X$ がある。
一様連続性を量的に強めた条件として、次のものがよく使われる。

Lipschitz条件とHölder条件

距離空間の間の写像 $f\colon X\to Y$ と実数 $L\ge0$ について、すべての $x,x'\in X$ で
$$ d_Y(f(x),f(x'))\le L\,d_X(x,x') $$
が成り立つとき、$f$ は定数 $L$ の Lipschitz 連続（Lipschitz continuous、Lipschitz連続）な写像、あるいは Lipschitz 写像であるという。より一般に、$0<\alpha\le1$ と $L\ge0$ について $d_Y(f(x),f(x'))\le L\,d_X(x,x')^\alpha$ がつねに成り立つとき、$f$ は指数 $\alpha$ の Hölder 連続（Hölder continuous）であるという（Hölder連続）。$\alpha=1$ の場合が Lipschitz 連続である。

直感

連続性は「各点のまわりで」出力の揺れを抑えられることを求めるだけなので、場所によっては入力をきわめて小さく揺らさないと出力の揺れを抑えられないことがある。$\mathbb{R}$ 上の $x^2$ はグラフが遠くへ行くほど急になり、$(0,1)$ 上の $1/x$ は $0$ の近くで急になる。一様連続性は、定義域全体で共通の $\delta$ を要求し、「幅 $\delta$ 未満の入力の変化で出力が $\varepsilon$ 以上変わる場所」が残らないことを求める。これは傾きの有界性とは別の条件であり、$[0,\infty)$ 上の $\sqrt x$ は $0$ の近くで傾きが際限なく大きくなるが一様連続である（ex-uniform-continuity-sqrt）。そのおかげで、一様連続写像は Cauchy列を Cauchy列に移し（Cauchy列の記事の命題「一様連続写像による保存」）、稠密な部分集合から完備な空間への延長ができる（完備距離空間の記事の定理「一様連続写像の延長」）。定義域がコンパクト空間なら急さは有限の範囲に収まり、連続性だけで一様連続性が従う（thm-uniform-continuity-heine-cantor）。

例と反例

Lipschitz写像と距離関数

定数 $L$ の Lipschitz 写像は一様連続である。$\varepsilon>0$ に対して $\delta:=\varepsilon/(L+1)$ とおけば、$d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))\le L\delta<\varepsilon$ となる。同様に、指数 $\alpha$ の Hölder 連続写像は $\delta:=(\varepsilon/(L+1))^{1/\alpha}$ により一様連続である。
次の写像は Lipschitz 写像であり、したがって一様連続である。

点 $a\in X$ からの距離 $x\mapsto d_X(x,a)$（$X\to\mathbb{R}$）は定数 $1$ の Lipschitz 写像である。三角不等式から $d_X(x,a)\le d_X(x,x')+d_X(x',a)$ と、$x,x'$ を入れ替えた不等式が成り立つので、$|d_X(x,a)-d_X(x',a)|\le d_X(x,x')$ となる。
$\sin\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ は、平均値の定理により $|\sin x-\sin y|=|\cos c|\,|x-y|\le|x-y|$（$c$ は $x,y$ の間の点）を満たす。$\cos$、$\arctan$ も同様である（$\arctan$ の導関数は $1/(1+t^2)\le1$）。
等長写像（$d_Y(f(x),f(x'))=d_X(x,x')$）は定数 $1$ の Lipschitz 写像である。

平方根

$f(x)=\sqrt x$ は $[0,\infty)$ 上で一様連続だが、Lipschitz 連続でない。
$0\le y\le x$ とすると $(\sqrt y+\sqrt{x-y})^2=x+2\sqrt{y(x-y)}\ge x$ なので $\sqrt x-\sqrt y\le\sqrt{x-y}$ である。よって $|\sqrt x-\sqrt y|\le|x-y|^{1/2}$ がつねに成り立ち、$f$ は指数 $1/2$ の Hölder 連続写像であり、ex-uniform-continuity-lipschitz により一様連続である。一方、定数 $L$ の Lipschitz 写像なら $x>0$ で $\sqrt x=|f(x)-f(0)|\le Lx$、すなわち $1/\sqrt x\le L$ となるが、$x\to0$ で左辺は有界でない。
満たす性質：一様連続。満たさない性質：Lipschitz 連続。破る含意：「一様連続な写像は Lipschitz 連続である」。

反例：実数全体上の2乗

$f(x)=x^2$ は $\mathbb{R}$ 上で連続だが、一様連続でない。$n\ge1$ について $x_n:=n$、$x'_n:=n+1/n$ とおくと、$|x_n-x'_n|=1/n\to0$ だが
$$ |f(x'_n)-f(x_n)|=2+\frac1{n^2}\ge2 $$
である。よって $\varepsilon_0=2$ に対し、どの $\delta>0$ についても $1/n<\delta$ となる $n$ をとれば一様連続性の否定の条件が満たされる。
一方、$R>0$ を固定すると、$[-R,R]$ 上では $|x^2-y^2|=|x+y|\,|x-y|\le2R|x-y|$ なので $f$ は Lipschitz 連続であり、一様連続である。一様連続性は定義域全体についての性質であり、有界な部分ごとに一様連続でも全体で一様連続とは限らない。
満たす性質：連続、各有界区間上で一様連続。満たさない性質：$\mathbb{R}$ 上での一様連続性。破る含意：「連続写像は一様連続である」。

反例：開区間上の逆数と振動する関数

$(0,1)$ 上の $g(x)=1/x$ は連続だが一様連続でない。$n\ge1$ について $x_n:=1/(n+1)$、$x'_n:=1/(n+2)$ とおくと $|x_n-x'_n|=\frac1{(n+1)(n+2)}\to0$ だが $|g(x_n)-g(x'_n)|=1$ である。$g$ は Cauchy列 $1/(n+2)$ を Cauchy列でない列 $n+2$ に移すことからも分かる（Cauchy列の記事の注意「反例：連続写像は Cauchy列を保たない」）。
$g$ は有界でないが、有界な連続関数でも一様連続とは限らない。$(0,1)$ 上の $h(x)=\sin(1/x)$ について、$n\ge1$ で $x_n:=1/(2\pi n+\pi/2)$、$x'_n:=1/(2\pi n+3\pi/2)$ とおくと、$x_n,x'_n\in(0,1)$、$|x_n-x'_n|\to0$ だが $h(x_n)=1$、$h(x'_n)=-1$ である。
満たす性質：定義域 $(0,1)$ は有界であり、$g$、$h$ は連続で、$h$ は有界でもある。満たさない性質：一様連続性。破る含意：「有界な区間上の連続関数は一様連続である」「有界な連続関数は一様連続である」。どちらの例でも定義域 $(0,1)$ はコンパクトでない。

反例：距離を取り替えると一様連続性が変わる

$\mathbb{R}$ 上に通常の距離 $d(x,y)=|x-y|$ と、$\rho(x,y):=|\arctan x-\arctan y|$ を入れる。$\arctan$ は $\mathbb{R}$ から開区間 $(-\pi/2,\pi/2)$ への同相写像なので、$\rho$ は $d$ と同じ位相を定める（Cauchy列の記事の例「反例：距離の取り替え」）。
恒等写像 $(\mathbb{R},d)\to(\mathbb{R},\rho)$ は、ex-uniform-continuity-lipschitz の 2 により定数 $1$ の Lipschitz 写像なので一様連続である。逆向きの恒等写像 $(\mathbb{R},\rho)\to(\mathbb{R},d)$ は連続だが一様連続でない。実際、$\arctan n$ と $\arctan(n+1)$ はともに $\pi/2$ に収束するので $\rho(n,n+1)\to0$ だが、$d(n,n+1)=1$ である。
満たす性質：同相写像である（位相の上では恒等写像）。満たさない性質：一様連続性。破る含意：「同相写像は一様連続である」。一様連続性は位相だけでは決まらず、距離に依存する。

性質

点列による特徴づけ

距離空間の間の写像 $f\colon X\to Y$ について、次は同値である。

$f$ は一様連続である。
$X$ の二つの点列 $(x_n)$、$(x'_n)$ が $d_X(x_n,x'_n)\to0$ を満たすならば、つねに $d_Y(f(x_n),f(x'_n))\to0$ である。

1 ⇒ 2：$\varepsilon>0$ に対し、一様連続性から $\delta>0$ をとる。$d_X(x_n,x'_n)\to0$ なので、ある $N$ があって $n\ge N$ ならば $d_X(x_n,x'_n)<\delta$、したがって $d_Y(f(x_n),f(x'_n))<\varepsilon$ である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。$f$ が一様連続でないとすると、ある $\varepsilon_0>0$ があって、各 $n\in\mathbb{N}$ について $\delta=1/(n+1)$ に対し $d_X(x_n,x'_n)<1/(n+1)$ かつ $d_Y(f(x_n),f(x'_n))\ge\varepsilon_0$ となる $x_n,x'_n$ がとれる（可算選択公理）。この二つの点列は $d_X(x_n,x'_n)\to0$ を満たすが、$d_Y(f(x_n),f(x'_n))$ は $0$ に収束しないので、2 が成り立たない。$\square$

ex-uniform-continuity-square・ex-uniform-continuity-open-interval・ex-uniform-continuity-metric は、いずれも 2 が破れる点列の組を示すことで一様連続でないことを確かめている。

基本性質

$X,Y,Z$ を距離空間とする。

一様連続写像 $f\colon X\to Y$ は連続である。
$f\colon X\to Y$、$g\colon Y\to Z$ が一様連続ならば、写像の合成 $g\circ f$ も一様連続である。
$f,g\colon X\to\mathbb{R}$ が一様連続で $a\in\mathbb{R}$ ならば、$f+g$ と $af$ は一様連続である。
$f,g\colon X\to\mathbb{R}$ が一様連続かつ有界ならば、積 $fg$ は一様連続である。

1：一様連続性で得た $\delta$ は、各点 $x$ における連続性の条件をそのまま満たすので、連続写像の記事の定理「距離空間でのε-δ判定」により $f$ は連続である。
2：$\varepsilon>0$ に対し、$g$ の一様連続性から $d_Y(y,y')<\eta\Rightarrow d_Z(g(y),g(y'))<\varepsilon$ となる $\eta>0$ をとり、$f$ の一様連続性から $d_X(x,x')<\delta\Rightarrow d_Y(f(x),f(x'))<\eta$ となる $\delta>0$ をとる。$d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Z(g(f(x)),g(f(x')))<\varepsilon$ である。
3：$\varepsilon>0$ に対し、$f$、$g$ について $\varepsilon/2$ に対応する $\delta_1,\delta_2$ をとり $\delta:=\min\{\delta_1,\delta_2\}$ とすると、$d_X(x,x')<\delta$ ならば $|(f+g)(x)-(f+g)(x')|\le|f(x)-f(x')|+|g(x)-g(x')|<\varepsilon$ である。$af$ は $a=0$ なら定数、$a\neq0$ なら $\varepsilon/|a|$ に対応する $\delta$ をとればよい。
4：$|f|,|g|\le M$（$M>0$）とする。
$$ |f(x)g(x)-f(x')g(x')|\le|f(x)|\,|g(x)-g(x')|+|g(x')|\,|f(x)-f(x')|\le M\bigl(|g(x)-g(x')|+|f(x)-f(x')|\bigr) $$
なので、$f$、$g$ について $\varepsilon/(2M)$ に対応する $\delta$ の小さいほうをとればよい。$\square$

4 の有界性の仮定は落とせない。$f(x)=g(x)=x$ は $\mathbb{R}$ 上で一様連続（定数 $1$ の Lipschitz 写像）だが、積 $x^2$ は一様連続でない（ex-uniform-continuity-square）。この例は「一様連続である」という性質を満たす二つの関数の積が「一様連続である」という性質を満たさないことを示し、「一様連続な関数の積は一様連続である」という含意を破る。

コンパクト空間上の連続写像

Heine–Cantorの定理

$(X,d_X)$ をコンパクトな距離空間、$(Y,d_Y)$ を距離空間とする。連続写像 $f\colon X\to Y$ は一様連続である。

$X=\emptyset$ なら主張は自明なので、$X\neq\emptyset$ とする。$\varepsilon>0$ を固定する。各 $x\in X$ について、$f$ の $x$ での連続性から
$$ \delta_x:=\sup\bigl\{\delta\in(0,1]\ \big|\ d_X(x,x')<\delta\text{ ならば }d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon/2\bigr\} $$
は正の実数であり、$d_X(x,x')<\delta_x$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon/2$ が成り立つ（$d_X(x,x')<\delta_x$ なら上の集合に $d_X(x,x')<\delta$ を満たす $\delta$ があるから）。開球の族 $\{B_X(x,\delta_x/2)\mid x\in X\}$ は $X$ の開被覆なので、コンパクト性から有限個の点 $x_1,\dots,x_m$ で $X=\bigcup_{i=1}^mB_X(x_i,\delta_{x_i}/2)$ となるものがとれる。$\delta:=\min_i\delta_{x_i}/2>0$ とおく。
$x,x'\in X$、$d_X(x,x')<\delta$ とする。$x\in B_X(x_i,\delta_{x_i}/2)$ となる $i$ をとると、$d_X(x,x_i)<\delta_{x_i}/2<\delta_{x_i}$ であり、
$$ d_X(x',x_i)\le d_X(x',x)+d_X(x,x_i)<\delta+\frac{\delta_{x_i}}2\le\delta_{x_i} $$
である。よって $d_Y(f(x),f(x_i))<\varepsilon/2$、$d_Y(f(x'),f(x_i))<\varepsilon/2$ となり、三角不等式から $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ である。$\square$

とくに、有界閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数は一様連続であり、より一般に $\mathbb{R}^n$ の有界閉集合上の連続写像は一様連続である（有界閉集合はコンパクトである。コンパクト空間の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）。コンパクト性は一様連続性の十分条件であって必要条件ではない。$\mathbb{R}$ 上の $\sin x$ や $[0,\infty)$ 上の $\sqrt x$ は、定義域がコンパクトでないが一様連続である（ex-uniform-continuity-lipschitz、ex-uniform-continuity-sqrt）。他方、コンパクト性を外すと結論は一般には成り立たず、$\mathbb{R}$ 上の $x^2$ と $(0,1)$ 上の $1/x$ がその例である。

有界な開区間上の一様連続性

$a< b$ を実数とし、$f\colon(a,b)\to\mathbb{R}$ を連続関数とする。次は同値である。

$f$ は $(a,b)$ 上で一様連続である。
片側極限 $\lim_{x\to a+0}f(x)$ と $\lim_{x\to b-0}f(x)$ がともに実数として存在する。
$f$ は $[a,b]$ 上の連続関数 $F$ に延長される（$F|_{(a,b)}=f$）。

1 ⇒ 2：左端 $a$ で示す（右端も同様）。$(x_n)$ を $a$ に収束する $(a,b)$ の点列とすると、$(x_n)$ は Cauchy列であり、一様連続写像は Cauchy列を Cauchy列に移すので（Cauchy列の記事の命題「一様連続写像による保存」）、$(f(x_n))$ は実数の Cauchy列で、$\mathbb{R}$ の完備性から収束する。$(x'_n)$ も $a$ に収束する $(a,b)$ の点列なら、交互に並べた列 $x_0,x'_0,x_1,x'_1,\dots$ も $a$ に収束するので、その像の列は収束し、二つの部分列の極限 $\lim f(x_n)$ と $\lim f(x'_n)$ は一致する。この共通の値を $\ell$ とする。$\lim_{x\to a+0}f(x)=\ell$ でないとすると、ある $\varepsilon_0>0$ と、各 $n$ について $a< x_n<\min\{a+1/(n+1),b\}$ かつ $|f(x_n)-\ell|\ge\varepsilon_0$ となる点 $x_n$ がとれるが、$x_n\to a$ なので $f(x_n)\to\ell$ となり矛盾する。
2 ⇒ 3：$F(a)$、$F(b)$ を 2 の片側極限とし、$(a,b)$ 上では $F:=f$ とおく。$F$ は $(a,b)$ の各点で連続であり、端点 $a$ での連続性は $\lim_{x\to a+0}f(x)=F(a)$ そのもの、$b$ でも同様である。
3 ⇒ 1：$[a,b]$ はコンパクトなので、thm-uniform-continuity-heine-cantor により $F$ は一様連続であり、その $(a,b)$ への制限 $f$ も一様連続である（同じ $\delta$ が使える）。$\square$

区間の端点が実数であること（区間の有界性）は、1 ⇒ 2 では端点に収束する点列が Cauchy列になることに、3 ⇒ 1 では $[a,b]$ のコンパクト性に使われている。非有界な区間では 1 ⇒ 2 は成り立たない。$\mathbb{R}$ 上の恒等写像 $x$ は一様連続だが、$x\to\infty$ で極限をもたない。1 ⇒ 2 の議論を一般化したものが、稠密な部分集合から完備距離空間への一様連続写像の延長定理（完備距離空間の記事の定理「一様連続写像の延長」）である。

補足

連続率による言い換え

写像 $f\colon X\to Y$ と $t>0$ に対し、
$$ \omega_f(t):=\sup\{d_Y(f(x),f(x'))\mid x,x'\in X,\ d_X(x,x')< t\} $$
（値は $+\infty$ もとりうる。$X=\emptyset$ のときは $0$ とする）を $f$ の連続率（modulus of continuity）という。定義から、$f$ が一様連続であることは $\lim_{t\to+0}\omega_f(t)=0$ と同値である。実際、一様連続なら $\varepsilon$ に対する $\delta$ について $0< t\le\delta$ で $\omega_f(t)\le\varepsilon$ であり、逆に $\omega_f(t)\to0$ なら $\omega_f(\delta)<\varepsilon$ となる $\delta$ が一様連続性の $\delta$ を与える。定数 $L$ の Lipschitz 写像は $\omega_f(t)\le Lt$、指数 $\alpha$ の Hölder 連続写像は $\omega_f(t)\le Lt^\alpha$ を満たす。

一様空間と位相群への一般化

一様連続性は距離の数値を使わずに定義できる。一様空間の間の写像の一様連続性は、近縁を用いて一様空間の記事の定義「一様連続写像」で定められ、距離から定まる一様構造については本記事の定義と一致する（一様空間の記事の例「距離から定まる一様構造」）。一様連続性・Cauchy列・完備性は、位相ではなく一様構造によって決まる性質（一様的性質）であり、ex-uniform-continuity-metric はその典型例である。
位相群 $G$ には、単位元 $e$ の近傍 $U$ を用いて「$x^{-1}y\in U$ のとき $x,y$ は近い」とする一様構造（左一様構造）が入る。位相群の間の連続な群準同型 $\varphi\colon G\to H$ はこの意味で一様連続である。$e_H$ の近傍 $V$ に対し $U:=\varphi^{-1}(V)$ は $e_G$ の近傍であり、$x^{-1}y\in U$ ならば $\varphi(x)^{-1}\varphi(y)=\varphi(x^{-1}y)\in V$ となるからである。