構成可能集合(位相)

遡コンパクトな開集合 $U,V$ の合併は遡コンパクトである。実際、準コンパクト開集合 $Q$ に対し $(U\cup V)\cap Q=(U\cap Q)\cup(V\cap Q)$ は二つの準コンパクト部分集合の合併である。
交叉も遡コンパクトである。$V\cap Q$ は準コンパクト開集合だから、$U\cap(V\cap Q)$ は準コンパクトである。
遡コンパクト開集合 $U,V,U',V'$ に対し、基本的な形の集合 $C(U,V):=U\cap(X\setminus V)$ は
$$ X\setminus C(U,V)=C(X,U)\cup C(V,\emptyset), $$
$$ C(U,V)\cap C(U',V')=C(U\cap U',V\cup V') $$
を満たす。したがって、この形の集合の有限合併全体は補集合、有限合併、有限交叉について閉じる。各遡コンパクト開集合 $U$ は $C(U,\emptyset)$ であり、逆に各 $C(U,V)$ は $U,V$ から補集合と交叉で作られるので、最小性も従う。

$Y$ の開集合 $V$ に対して
$$ \widetilde V:=X\setminus\overline{Y\setminus V}^{\,X} $$
とおく。すると $\widetilde V$ は $X$ の開集合で、$Y\cap\widetilde V=V$ であり、$V\subset W$ なら $\widetilde V\subset\widetilde W$ である。
$Y$ の開集合からなる空でない集合族 $\mathcal V$ を取る。$X$ の Noether 性により、$\{\widetilde V\mid V\in\mathcal V\}$ は極大元 $\widetilde V_0$ を持つ。単調性と $Y\cap\widetilde V=V$ から $V_0$ は $\mathcal V$ の極大元である。

まず $X$ の任意の開集合 $W$ と、その開被覆 $\mathcal U$ を取る。$\mathcal U$ の有限部分族の合併全体は $X$ の開集合からなる空でない集合族なので、極大元 $M$ を持つ。$M\ne W$ なら、$W\setminus M$ の点を含む $U\in\mathcal U$ によって $M\cup U$ は $M$ より真に大きくなり、極大性に反する。よって $M=W$ であり、$W$ は準コンパクトである。
部分集合 $Y\subset X$ は前の補題により Noether 空間なので、同じ議論を $Y$ 自身に適用すれば $Y$ は準コンパクトである。開集合 $W\subset X$ と準コンパクト開集合 $Q\subset X$ に対し $W\cap Q$ は $X$ の部分集合だから準コンパクトであり、したがって $W$ は遡コンパクトである。

構成可能集合の定義式の各項 $U_i\cap(X\setminus V_i)$ は局所閉集合なので、1から2が従う。
逆に $E=\bigcup_{i=1}^n(U_i\cap F_i)$ とし、各 $U_i$ を開集合、各 $F_i$ を閉集合とする。前の補題により $U_i$ と $V_i:=X\setminus F_i$ は遡コンパクトな開集合である。したがって
$$ U_i\cap F_i=U_i\cap(X\setminus V_i) $$
は構成可能集合の定義式の一項であり、その有限合併 $E$ も構成可能である。