複素コボルディズム環の計算

古典群の分類空間のコホモロジー の定理「対称多項式との同型」により、$f^*\colon H^*(BU(n);\mathbb Z)\to\mathbb Z[t_1,\dots,t_n]$ は単射で、像は対称多項式の全体 $\Lambda_n$ である。$\Lambda_n$ は、高々 $n$ 個の正の部分をもつ分割 $\lambda$ についての単項対称式 $m_\lambda$（$t^a$ の $S_n$ 軌道の和）を基底とし、$\mathbb Z[t_1,\dots,t_n]$ の直和因子である（単項式の基底が軌道ごとに分かれる）。各次数で有限生成自由なので、普遍係数定理によりホモロジーはコホモロジーの双対であり、$f_*$ は全射で、$f_*(\beta_{a_1}\times\cdots\times\beta_{a_n})$ は $a$ を並べ替えた分割 $\lambda$ の $m_\lambda$ の双対基底の元 $m_\lambda^\vee$ になる（$\langle m_\mu,f_*(\beta_{a_1}\times\cdots\times\beta_{a_n})\rangle$ は $m_\mu$ の $t_1^{a_1}\cdots t_n^{a_n}$ の係数）。Whitney 和の写像は $f_m\times f_n$ と両立する（$(\mathbb{CP}^\infty)^m\times(\mathbb{CP}^\infty)^n=(\mathbb{CP}^\infty)^{m+n}$ 上で同じ束を分類する）ので、$H_*(BU)$ の積で $\beta_{a_1}\cdots\beta_{a_n}=f_*(\beta_{a_1}\times\cdots\times\beta_{a_n})=m^\vee_\lambda$（$\beta_0=1$）である。包含 $BU(n)\to BU(n+1)$ は $m^\vee_\lambda$ を $m^\vee_\lambda$ に写す（$t_{n+1}=0$ とおくと $m_\lambda$ は $m_\lambda$ か $0$ になる）。よって $\beta$ の単項式は分割と一対一に対応して $H_*(BU)$ の基底をなし、$H_*(BU)$ は多項式環である。$\square$

$\gamma^n$ は複素ベクトル束なので向き付けられ、整数係数の Thom 類 $u_n\in\tilde H^{2n}(MU(n))$ と Thom 同型 $H^k(BU(n))\cong\tilde H^{k+2n}(MU(n))$、$y\mapsto\pi^*y\smile u_n$ がある（MS74 Theorem 10.4、p. 110、と Thom空間 の命題「Thom 空間のコホモロジー」）。両辺は各次数で有限生成自由なので、双対をとってホモロジーの同型 $\Phi_n\colon\tilde H_{k+2n}(MU(n))\cong H_k(BU(n))$ が得られる。

Thom 類は各ファイバーへの制限で特徴づけられる。$\gamma^m\times\gamma^n$ の Thom 類 $u_m\times u_n$ は各ファイバーで向きの生成元に制限されるので、Whitney 和の写像による $u_{m+n}$ の引き戻しに等しい。とくに $u_{n+1}$ を $\gamma^n\oplus\mathbb C$ に引き戻すと $u_n\times u_1|_{\mathrm{pt}}$ で、$u_1|_{\mathrm{pt}}$ は $\tilde H^2(S^2)$ の生成元である。したがって $\Phi_n$ は構造写像（懸垂同型との合成）と包含 $BU(n)\to BU(n+1)$ に両立し、積とも両立する。帰納極限をとると環の同型 $H_*(MU)\cong H_*(BU)$ が得られ、ccr-lem-bu から主張が従う。$\square$

$n\ge k+2$ をとる。$MU(n)$ は $(2n-1)$ 連結なので、Freudenthal の懸垂定理により $\pi_{k+2n}(MU(n))\to\pi^{\mathrm S}_{k+2n}(MU(n))$ は同型であり（安定ホモトピー群 の定理「安定範囲」と同じ議論で $k+2n\le2(2n-1)$）、$\pi_k(MU)=\operatorname{colim}_n\pi^{\mathrm S}_{k+2n}(MU(n))$ である。次の 2 点を示す。

(a) 構造写像 $g\colon\Sigma^2MU(n)\to MU(n+1)$ は、$k+2n+2\le4n+1$ なら $\pi^{\mathrm S}_{k+2n+2}$ と $\tilde H_{k+2n+2}$ に同型を誘導する。実際、包含 $BU(n)\to BU(n+1)$ は $H_q$（$q\le2n$）に同型を誘導する（ccr-prf-bu で、次数 $2q'\le2n$ の分割は $n$ 個以下の正の部分しかもたない）ので、Thom 同型により $g$ は $\tilde H_m$（$m\le4n+2$）に同型を誘導する。$g$ を胞体写像とし、その写像錐 $C_g$ を考えると、$C_g$ は単連結で $\tilde H_m(C_g)=0$（$m\le4n+2$）なので、Hurewiczの定理 により $(4n+2)$ 連結であり、$\pi^{\mathrm S}_m(C_g)=0$（$m\le4n+2$）である。ホモロジー論の長完全列から主張が従う。

(b) $X:=MU(n)$ の $(k+2n+1)$ 骨格 $X'$ は有限 CW 複体で、包含は $\pi^{\mathrm S}_{k+2n}$ と $\tilde H_{k+2n}$ に同型を誘導する（$X/X'$ は $(k+2n+1)$ 連結）。

(a) により帰納極限は $n\ge k+2$ で一定になり、(b) と ccr-lem-finite から、$\pi_k(MU)\cong\pi^{\mathrm S}_{k+2n}(X')$ は有限生成で、$\pi_k(MU)\otimes\mathbb Q\cong\tilde H_{k+2n}(X';\mathbb Q)\cong H_k(MU;\mathbb Q)$ は Hurewicz 写像で与えられる。これが 2 の加法的な主張で、Hurewicz 写像は積と両立する（Thom 空間の積 $MU(m)\wedge MU(n)\to MU(m+n)$ による自然性）ので環の同型である。$k< 0$ では $k+2n< 2n$ なので $\pi_{k+2n}(MU(n))=0$、$k=0$ では Hurewicz の定理により $\pi_{2n}(MU(n))\cong\tilde H_{2n}(MU(n))\cong H_0(BU(n))\cong\mathbb Z$ である。3 は 2 と、$\mathbb Q[b_1,b_2,\dots]$ の次数 $2n$ の単項式が $n$ の分割と一対一に対応し、奇数次の部分が $0$ であることによる（有限生成アーベル群で有理化が $0$ なら有限群）。$\square$

一般 Eilenberg–MacLane スペクトル $K$ への写像は $H^*$ の元の組と一対一に対応する（Rav04 Proposition 2.1.2 (e)）。$H^*(K)$ はその因子を基底とする自由 $\mathcal A$ 加群なので、自然な同型 $[W,K]\cong\operatorname{Hom}^0_{\mathcal A}(H^*(K),H^*(W))$（次数を保つ $\mathcal A$ 準同型）がある。$W=\bar\Sigma^jX$ とすると $E_1^s(X;j)\cong\operatorname{Hom}^0_{\mathcal A}(F_s,H^*(\bar\Sigma^{j+s}X))$ で、$d_1$ は分解の写像 $F_{s+1}\to F_s$ に（符号を除いて）対応する。よって $E_2^s(X;j)\cong\operatorname{Ext}^s_{\mathcal A}(H^*(MU),H^*(\bar\Sigma^{j+s}X))$ である。各次数で有限次元の双対をとると、$F_s$ の双対は自由余加群 $\mathcal A_*\otimes V_s$ になり、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A_*}(L,\mathcal A_*\otimes V)\cong\operatorname{Hom}(L,V)$ なので入射的である。$0\to H_*(MU)\to F_0^\vee\to F_1^\vee\to\cdots$ は完全で、$\operatorname{Hom}^0_{\mathcal A}(F_s,N)\cong\operatorname{Hom}_{\mathcal A_*}(N^\vee,F_s^\vee)$（$N$ は有限次元）なので、右辺の余加群の Ext に一致する。

完全三角形 $MU\xrightarrow{4}MU\xrightarrow{c}D\to\bar\Sigma MU$ をとる。$0\to\pi_i(MU)/4\to\pi_i(D)\to\{y\in\pi_{i-1}(MU)\mid4y=0\}\to0$ と ccr-prop-rational の 1 から、$D$ は連結（負の次数のホモトピー群が $0$）で、各 $\pi_i(D)$ は有限 2 群であり、$H^*(D)$ は各次数で有限次元である。$D$ の mod 2 の Adams の塔 $(D_t,g_t,K^D_t)$ をとる。$D_0=D$、$\varphi_0:=c$ とし、$\varphi_s\colon Y_s\to D_s$ が $g_{s-1}\circ\varphi_s=\varphi_{s-1}\circ v_{s-1}$ をみたすとする。$f^D_s\circ\varphi_s\colon Y_s\to K^D_s$ は $H^*(Y_s)$ の元の組で与えられ、$v_s^*=0$ なので $f^D_s\circ\varphi_s\circ v_s=0$ であり、三角形の完全性から $g_s\circ\varphi_{s+1}=\varphi_s\circ v_s$ となる $\varphi_{s+1}$ がある。こうして $c\circ V_s=G_s\circ\varphi_s$（$G_s:=g_0\circ\cdots\circ g_{s-1}$）を得る。

連結で各ホモトピー群が有限 $p$ 群のスペクトルについて、その mod $p$ の Adams の塔のホモトピー極限は 1 点である（Rav04 Lemma 2.1.16、p. 47）。各 $\pi_i(D_t)$ は有限なので、Milnor の完全列により $\varprojlim_t\pi_i(D_t)=0$ であり、有限群の射影系なので、各 $i$ と $t$ について $\pi_i(D_{t+u})\to\pi_i(D_t)$ の像は $u$ が大きければ $0$ である（像の減少列は有限段で止まり、止まった像は全射の系をなすので、その極限が $0$ なら $0$ である）。$D_t$ も同じ仮定をみたし、$(D_{t+u})_u$ はその Adams の塔である（同所の証明）。

$\pi_{j+1}(D_{s_1})\to\pi_{j+1}(D)$ の像が $0$ となる $s_1$ をとり、次に $\pi_j(D_{s_1+s_2})\to\pi_j(D_{s_1})$ の像が $0$ となる $s_2$ をとって $S:=s_1+s_2$ とする。$\mathbb S$ を球面スペクトルとし、$\iota\colon\bar\Sigma^j\mathbb S\to\bar\Sigma^jM$ と $p\colon\bar\Sigma^jM\to\bar\Sigma^{j+1}\mathbb S$ を下の胞体の包含と上の胞体へのつぶし写像とすると、各 $W$ について $[\bar\Sigma^{j+1}\mathbb S,W]\xrightarrow{p^*}[\bar\Sigma^jM,W]\xrightarrow{\iota^*}[\bar\Sigma^j\mathbb S,W]$ は完全である。$x\in[\bar\Sigma^jM,Y_S]$ について $z:=\varphi_S\circ x$ の $D_{s_1}$ での像 $z'$ は、$z'\circ\iota$ が $\pi_j(D_S)\to\pi_j(D_{s_1})$ の像に入るので $0$ であり、$z'=w\circ p$（$w\in\pi_{j+1}(D_{s_1})$）と書ける。$w$ の $D$ での像は $0$ なので、$c\circ V_S\circ x=G_S\circ z=0$ である。三角形 $MU\xrightarrow4MU\xrightarrow cD$ の完全性から $V_S\circ x\in4\cdot[\bar\Sigma^jM,MU]$ である。$\square$

$\mathcal E$ 余加群 $N$ について、$\mathcal A_*$ 余加群の写像 $L\to\mathcal A_*\square_{\mathcal E}N$ と $\mathcal E$ 余加群の写像 $L\to N$ は、$\varepsilon\otimes1$ との合成で一対一に対応する。$\mathcal A_*$ は右 $\mathcal E$ 余加群として $\mathcal P_*\otimes\mathcal E$ と同型なので（Rav04 Corollary A1.1.20、p. 310）、$\mathcal A_*\square_{\mathcal E}N\cong\mathcal P_*\otimes N$ は $N$ について完全であり、余自由な $\mathcal E\otimes V$ を余自由な $\mathcal A_*\otimes V$ に写す。よって $\mathcal E$ 上の入射分解を $\mathcal A_*\square_{\mathcal E}(-)$ で写すと $\mathcal A_*$ 上の入射分解になり、両者の Hom の複体は同じなので、$\operatorname{Ext}_{\mathcal A_*}(L,\mathcal A_*\square_{\mathcal E}N)\cong\operatorname{Ext}_{\mathcal E}(L,N)$ である（同 Theorem A1.3.12、pp. 321–322 の特別な場合）。