準Frobenius環

1 ⇒ 2・3：$\rho(a):=B(a,-)$、$\lambda(c):=B(-,c)$ とおく。$\rho(ab)(x)=B(ab,x)=B(a,bx)=(\rho(a)b)(x)$ なので $\rho\colon A_A\to D(A)$ は右 $A$ 線形であり、$\lambda(bc)(x)=B(x,bc)=B(xb,c)=(b\lambda(c))(x)$ なので $\lambda\colon{}_AA\to D(A)$ は左 $A$ 線形である。非退化性により両方とも単射で、$\dim_kA=\dim_kD(A)$ なので同型である。
2 ⇒ 1：右 $A$ 線形な同型 $\alpha\colon A\to D(A)$ について $B(a,c):=\alpha(a)(c)$ とおくと、$B(ab,c)=(\alpha(a)b)(c)=\alpha(a)(bc)=B(a,bc)$ であり、$\alpha$ が単射なので「すべての $c$ で $B(a,c)=0$ なら $a=0$」が成り立つ。
3 ⇒ 1：左 $A$ 線形な同型 $\beta\colon A\to D(A)$ について $B(a,c):=\beta(c)(a)$ とおくと、$B(a,bc)=(b\beta(c))(a)=\beta(c)(ab)=B(ab,c)$ であり、$\beta$ が単射なので非退化である。$\square$

1：左加群の場合を示す。左 $A$ 加群 $N$ について、$\Phi_N(\varphi)(y):=\varphi(y)(1)$ により写像 $\Phi_N\colon\operatorname{Hom}_A(N,D(A))\to\operatorname{Hom}_k(N,k)$ を定めると、これは全単射であり、逆写像は $\Psi_N(\psi)(y)(x):=\psi(xy)$ である。実際 $\Psi_N(\psi)$ が $A$ 線形であることは $(a\Psi_N(\psi)(y))(x)=\Psi_N(\psi)(y)(xa)=\psi(xay)=\Psi_N(\psi)(ay)(x)$ からわかり、$\Phi_N\Psi_N(\psi)=\psi$、$\Psi_N\Phi_N(\varphi)(y)(x)=\varphi(xy)(1)=(x\varphi(y))(1)=\varphi(y)(x)$ である。部分加群 $N'\subset N$ と $A$ 準同型 $f\colon N'\to D(A)$ が与えられたとき、$k$ 線形写像 $\Phi_{N'}(f)\colon N'\to k$ は $k$ 線形写像 $\psi\colon N\to k$ に延びる（$N'$ の基底を $N$ の基底に延ばせばよい）。$g:=\Psi_N(\psi)$ とおくと、$y\in N'$ について $g(y)(x)=\psi(xy)=\Phi_{N'}(f)(xy)=f(xy)(1)=(xf(y))(1)=f(y)(x)$ なので $g|_{N'}=f$ である。よって $D(A)$ は入射的である。右加群の場合も左右を入れ替えて同じである。この議論は 入射対象 の記事の補題「係数の取り替えによる入射加群の構成」の証明で $\mathbb{Z}$ と可除群を $k$ と $k$ に置き換えたものである。
2：$D(M)$ の基底 $\xi_1,\dots,\xi_n$ をとり、$\iota(m):=\bigl(\Psi_M(\xi_1)(m),\dots,\Psi_M(\xi_n)(m)\bigr)$ とおく。すなわち $\iota(m)$ の第 $i$ 成分は $x\mapsto\xi_i(xm)$ である。1 により $\iota$ は $A$ 準同型である。$\iota(m)=0$ なら、$x=1$ としてすべての $i$ で $\xi_i(m)=0$ となるので $m=0$ である。$\square$

$A$ の左イデアルと右イデアルは $k$ 上の部分空間であり、$A$ は有限次元なので、左イデアル・右イデアルの増加列はどれも有限回で止まる。よって $A$ は左右の Noether環である。lem-qf-frobenius-iso により ${}_AA\cong D(A)$（左加群）かつ $A_A\cong D(A)$（右加群）であり、lem-qf-dual-injective の 1 により $D(A)$ は左右の入射加群である。入射性は同型で保たれるので、${}_AA$ と $A_A$ は入射的である。$\square$

$M$ が射影的とする。$M$ は有限生成なので、自由加群 $A^n$ の直和因子と同型である（射影加群 の記事の定理「射影加群の特徴づけ」）。lem-qf-frobenius-iso により ${}_AA\cong D(A)$ であり、$D(A)$ は入射的なので、有限個の直和 $A^n$ も入射的である（入射対象 の記事の命題「入射対象の直積」）。入射加群の直和因子は入射的なので（入射対象 の記事の注意「直和・直和因子・分裂」）、$M$ は入射的である。
逆に $M$ が入射的とし、$n:=\dim_kM$ とする。lem-qf-dual-injective の 2 により単射 $\iota\colon M\to D(A)^n$ がある。入射加群からの単射は分裂するので、$M$ は $D(A)^n$ の直和因子と同型である。$D(A)^n\cong A^n$ は自由加群なので、$M$ は射影的である。$\square$

要点：どの $B$ も積 $ab$ の 1 次式なので $B(ab,c)=B(a,bc)$ は積の結合法則から従い、非退化性は基底についての $B$ の行列が置換行列になることからわかる。

1：有限生成射影加群は $R^m$ の直和因子と同型であり（射影加群 の記事の定理「射影加群の特徴づけ」）、${}_RR$ が入射的なので $R^m$ も、その直和因子も入射的である（thm-qf-projective-injective の証明と同じ）。
2：$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $M\cong P_0$ である。$n\ge1$ とする。単射 $P_n\to P_{n-1}$ の始域は 1 により入射的なので、この単射は分裂し、$P_{n-1}\cong P_n\oplus Q$ となる。$Q$ は $P_{n-1}$ の直和因子なので有限生成な射影加群であり、$P_{n-1}/P_n\cong Q$ である。$n=1$ なら $M\cong P_0/P_1\cong Q$ は射影的である。$n\ge2$ なら、分解の $P_n\to P_{n-1}$ の部分を $Q\to P_{n-2}$ に置き換えた長さ $n-1$ の分解
$$ 0\to Q\to P_{n-2}\to\cdots\to P_0\to M\to0 $$
が得られ、帰納法の仮定により $M$ は射影的である。$\square$

$\mathfrak{m}\operatorname{ann}(\mathfrak{m})=0$ なので $\operatorname{ann}(\mathfrak{m})$ は $\kappa$ 上のベクトル空間であり、$r\in R$ は剰余類 $\bar r\in\kappa$ のスカラー倍として作用する。
$\operatorname{ann}(\mathfrak{m})\neq0$ を示す。Artin環では $\mathfrak{m}$ は冪零である（Artin環 の記事の命題「Jacobson根基は冪零」）。$\mathfrak{m}^q=0$ となる最小の $q\ge1$ をとる。$q=1$ なら $\mathfrak{m}=0$ で $\operatorname{ann}(\mathfrak{m})=R\neq0$ であり、$q\ge2$ なら $0\neq\mathfrak{m}^{q-1}\subset\operatorname{ann}(\mathfrak{m})$ である。
次元が $2$ 以上と仮定し、$\kappa$ 上 1 次独立な $s,t\in\operatorname{ann}(\mathfrak{m})$ をとる。$s\neq0$ なので零化イデアル $\{r\mid rs=0\}$ は $\mathfrak{m}$ を含む真のイデアル、すなわち $\mathfrak{m}$ であり、$t$ についても同じである。よって $rs=0$ と $rt=0$ は同値であり、$f(rs):=rt$ により $R$ 準同型 $f\colon Rs\to R$ が矛盾なく定まる。$R$ が自己入射的なので、$f$ は $R\to R$ に延び、その延長は $1$ の像 $a$ による掛け算である。すると $t=f(s)=as=\bar a\,s$ となり、$s,t$ が 1 次独立であることに反する。$\square$