Schauder基底

$Y$ を、級数 $\sum_ka_kb_k$ が $X$ で収束するスカラー列 $a=(a_k)$ 全体とし、
$$ |||a|||:=\sup_n\Bigl\|\sum_{k\le n}a_kb_k\Bigr\| $$
とおく。収束する級数の部分和は有界なので $|||a|||<\infty$ である。$|||\cdot|||$ は $Y$ 上のノルムである。実際、$|||a|||=0$ ならすべての部分和が $0$ なので、隣り合う部分和の差 $a_kb_k$ が $0$ になり、$b_k\ne0$ から $a=0$ である。
$Y$ は完備である。 $(a^{(m)})$ を $Y$ の Cauchy 列とする。隣り合う部分和の差を考えると、各 $k$ で
$$ |a^{(m)}_k-a^{(l)}_k|\,\|b_k\|\le2|||a^{(m)}-a^{(l)}||| $$
なので、座標ごとの極限 $a_k:=\lim_ma^{(m)}_k$ が存在する。$\varepsilon>0$ に対し、$m,l\ge M$ なら $|||a^{(m)}-a^{(l)}|||<\varepsilon$ となる $M$ をとる。$n$ を固定すると有限和なので $l\to\infty$ とでき、
$$ \Bigl\|\sum_{k\le n}(a^{(m)}_k-a_k)b_k\Bigr\|\le\varepsilon\qquad(m\ge M,\ n\ge1) $$
を得る。$\sum_ka_kb_k$ が収束することを示す。$n'< n$ について、この評価を $m=M$ で $n$ と $n'$ に使った差から
$$ \Bigl\|\sum_{n'< k\le n}a_kb_k\Bigr\|\le2\varepsilon+\Bigl\|\sum_{n'< k\le n}a^{(M)}_kb_k\Bigr\| $$
であり、右辺の最後の項は $\sum_ka^{(M)}_kb_k$ が収束するので $n'$ が大きければ $\varepsilon$ より小さい。よって部分和は Cauchy 列であり、$X$ は完備なので収束する。すなわち $a\in Y$ であり、上の評価は $m\ge M$ で $|||a^{(m)}-a|||\le\varepsilon$ を意味する。
有界逆写像定理を使う。 $U\colon Y\to X$ を $Ua:=\sum_ka_kb_k$ と定めると、$U$ は線形で $\|Ua\|=\lim_n\|\sum_{k\le n}a_kb_k\|\le|||a|||$ なので有界である。Schauder 基底の定義の存在と一意性は、$U$ が全単射であることにほかならない。$Y$ と $X$ は Banach 空間なので、有界逆写像定理 の定理「有界逆写像定理」により $U^{-1}$ は有界である。$x\in X$ について $U^{-1}x=(b_k^*(x))_k$ なので
$$ \|P_nx\|=\Bigl\|\sum_{k\le n}b_k^*(x)b_k\Bigr\|\le|||U^{-1}x|||\le\|U^{-1}\|\,\|x\| $$
となり、$K\le\|U^{-1}\|<\infty$ である。最後に $b_k^*(x)b_k=P_kx-P_{k-1}x$（$P_0:=0$）から $|b_k^*(x)|\,\|b_k\|\le2K\|x\|$ である。$\square$

係数が有理数（$\mathbb{K}=\mathbb{C}$ なら実部と虚部が有理数）の有限和 $\sum_{k\le n}q_kb_k$ 全体 $D$ は可算集合である。$x\in X$ と $\varepsilon>0$ について、$\|x-P_nx\|<\varepsilon/2$ となる $n$ をとり、各 $b_k^*(x)$（$k\le n$）を $|b_k^*(x)-q_k|\,\|b_k\|<\varepsilon/(2n)$ となる $q_k$ で近似すれば、$\|x-\sum_{k\le n}q_kb_k\|<\varepsilon$ である。よって $D$ は稠密である。$\square$

(a) $L_n$ は線形で、$\|L_nf\|_\infty\le\|f\|_\infty$ である。隣り合う 2 節点 $u< v$ の間で $L_nf(t)$ は $f(u)$ と $f(v)$ の凸結合だからである。
(b) $\|L_nf-f\|_\infty\to0$ である。節点 $d_0,\ldots,d_n$ が分母 $2^j$ のすべての 2 進有理数を含むとき、隣り合う節点の間隔は $2^{-j}$ 以下である。$t$ が隣り合う節点 $u\le t\le v$ の間にあるとき、$L_nf(t)-f(t)$ は $f(u)-f(t)$ と $f(v)-f(t)$ の凸結合なので、$|L_nf(t)-f(t)|\le\sup\{|f(s)-f(t)|\mid|s-t|\le2^{-j}\}$ である。$[0,1]$ はコンパクトなので $f$ は一様連続であり（一様連続）、$j\to\infty$ で右辺は $t$ について一様に $0$ に近づく。
(c) $n\ge1$ について $L_nf-L_{n-1}f$ は、節点 $d_0,\ldots,d_n$ の間で 1 次式になり、$d_0,\ldots,d_{n-1}$ で $0$ になる関数である。このような関数は $d_n$ での値で決まり、$h_n$ の定数倍である。よって
$$ L_nf-L_{n-1}f=a_nh_n,\qquad a_n:=f(d_n)-(L_{n-1}f)(d_n) $$
であり、$a_0:=f(0)$ とおくと $L_nf=\sum_{k\le n}a_kh_k$ となる。(b) により $f=\sum_ka_kh_k$ である。
(d) 一意性を示す。$f=\sum_kc_kh_k$ が一様収束するとする。$k>m$ なら $h_k(d_m)=0$ なので、$d_m$ で値をとると $f(d_m)=\sum_{k\le m}c_kh_k(d_m)$ である。$h_m(d_m)=1$ なので、$c_0,c_1,\ldots$ は $f(d_0),f(d_1),\ldots$ から順に決まる。
(a)–(d) から $(h_n)$ は Schauder 基底で、$P_n=L_n$、$\|L_n\|\le1$ である。定数関数 $1$ で $L_n1=1$ なので $\|L_n\|=1$ であり、基底定数は $1$ である。$\square$

$H$ は無限次元なので、正規直交系 $(u_k)_{k\ge1}$ がとれる（線形独立な列に Gram–Schmidt の直交化を施す）。正の整数の部分集合 $A$ について
$$ T_Ax:=\sum_{k\in A}\langle x,u_k\rangle u_k $$
とおくと、Hilbert空間 の記事の命題「Besselの不等式と正規直交系の級数」により級数は収束し、$\|T_Ax\|^2=\sum_{k\in A}|\langle x,u_k\rangle|^2\le\|x\|^2$ なので $T_A\in L(H)$ である。$A\ne B$ なら、$A$ と $B$ の一方だけに属する $k$ があり、$(T_A-T_B)u_k=\pm u_k$ なので $\|T_A-T_B\|\ge1$ である。部分集合 $A$ は非可算個あるので、$L(H)$ には互いの距離が $1$ 以上の点が非可算個ある。可算な稠密集合 $D$ があれば、各 $T_A$ から距離 $1/2$ 未満の点を $D$ から選ぶ写像は単射になり（2 つの $T_A$ が同じ点を選べば距離が $1$ 未満になる）、矛盾する。よって $L(H)$ は可分でなく、cor-sb-separable により Schauder 基底をもたない。$\square$