支配付値環の存在

$\mathfrak nB[x]$ の元は $\mathfrak n$ の元を係数とする $x$ の多項式の値である。両方とも単位イデアルであると仮定すると、
$$1=u_0+u_1x+\cdots+u_mx^m,\qquad 1=v_0+v_1x^{-1}+\cdots+v_nx^{-n}\qquad(u_i,v_j\in\mathfrak n)$$
と書ける。このような表示のうち、次数 $m$、$n$ がそれぞれ最小のものをとる。$1\notin\mathfrak n$ なので $m,n\ge1$ である。$x$ と $x^{-1}$ の役割は対称なので、$m\ge n$ としてよい。
第 2 式に $x^n$ を掛けると $(1-v_0)x^n=v_1x^{n-1}+\cdots+v_n$ となる。$v_0\in\mathfrak n$ で $B$ は局所環なので $1-v_0$ は $B$ の単元であり、
$$x^n=w_1x^{n-1}+\cdots+w_n\qquad(w_j=(1-v_0)^{-1}v_j\in\mathfrak n)$$
を得る。両辺に $x^{m-n}$（$m-n\ge0$）を掛けると $x^m=w_1x^{m-1}+\cdots+w_nx^{m-n}$ である。これを第 1 式の $u_mx^m$ に代入すると、$1$ が $\mathfrak n$ の元を係数とする $x$ の $m-1$ 次以下の多項式の値として書ける。これは $m$ の最小性に反する。$\square$

$R$ を含む $K$ の部分環 $B$ で $\mathfrak mB\ne B$ を満たすもの全体を $\Sigma$ とし、包含で順序づける。$\mathfrak mR=\mathfrak m\ne R$ なので $R\in\Sigma$ である。
鎖の上界。 $(B_\lambda)$ を $\Sigma$ の空でない鎖とし、$B^*=\bigcup_\lambda B_\lambda$ とおく。鎖の和集合なので $B^*$ は $R$ を含む $K$ の部分環である。$\mathfrak mB^*=B^*$ と仮定すると $1=\sum_{k=1}^ra_kb_k$（$a_k\in\mathfrak m$、$b_k\in B^*$）と書け、有限個の $b_k$ は鎖のある 1 つの $B_\lambda$ に入るので $1\in\mathfrak mB_\lambda$ となり、$B_\lambda\in\Sigma$ に反する。よって $B^*\in\Sigma$ は鎖の上界である。空の鎖には $R$ が上界になる。Zorn の補題により、$\Sigma$ は極大元 $V$ をもつ。
$V$ は $R$ を支配する局所環である。 $\mathfrak mV$ は $V$ の真のイデアルなので、それを含む極大イデアル $\mathfrak n$ がある（極大イデアル）。局所化 $V_{\mathfrak n}=\{a/s\mid a\in V,\ s\in V\setminus\mathfrak n\}$ は $V$ を含む $K$ の部分環で、$\mathfrak mV_{\mathfrak n}\subset\mathfrak nV_{\mathfrak n}\ne V_{\mathfrak n}$ だから $V_{\mathfrak n}\in\Sigma$ である。$V$ の極大性から $V_{\mathfrak n}=V$、すなわち $V\setminus\mathfrak n$ の元はすべて $V$ の単元であり、$V$ は $\mathfrak n$ を極大イデアルとする局所環である。$\mathfrak n\cap R$ は $\mathfrak m$ を含む $R$ の真のイデアルなので $\mathfrak m$ に等しい。よって $V$ は $R$ を支配する。
$V$ は付値環である。 $x\in K$、$x\ne0$ とする。lem-domval-two-directions を局所環 $(V,\mathfrak n)$ に当てると、$\mathfrak nV[x]\ne V[x]$ か $\mathfrak nV[x^{-1}]\ne V[x^{-1}]$ である。前者なら $\mathfrak mV[x]\subset\mathfrak nV[x]\ne V[x]$ より $V[x]\in\Sigma$ であり、$V\subset V[x]$ と $V$ の極大性から $V[x]=V$、すなわち $x\in V$ である。後者なら同様に $x^{-1}\in V$ である。したがって $V$ は $K$ の付値環である。$\square$

$A$ は体の部分環なので整域であり、局所化 $A_{\mathfrak p}=\{a/s\mid a\in A,\ s\in A\setminus\mathfrak p\}$ は $K$ の部分環で、$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ を極大イデアルとする局所環である。thm-domval-existence により $A_{\mathfrak p}$ を支配する $K$ の付値環 $V$ がある。$\mathfrak m_V\cap A=(\mathfrak m_V\cap A_{\mathfrak p})\cap A=\mathfrak pA_{\mathfrak p}\cap A=\mathfrak p$ である（最後の等号は $\mathfrak p$ が素イデアルであることによる。$a=b/s$、$b\in\mathfrak p$、$s\notin\mathfrak p$ なら $as=b\in\mathfrak p$ より $a\in\mathfrak p$）。$\square$

$A\subset B\subset K$ を満たす部分環 $B$ と、$h|_A=f$ を満たす準同型 $h\colon B\to\Omega$ の組 $(B,h)$ 全体を $\Sigma'$ とし、$B\subset B'$ かつ $h'|_B=h$ のとき $(B,h)\le(B',h')$ と順序づける。$(A,f)\in\Sigma'$ であり、空でない鎖 $(B_\lambda,h_\lambda)$ には、和集合 $\bigcup_\lambda B_\lambda$ と、$B_\lambda$ 上で $h_\lambda$ に一致する写像の組が上界になる（2 元は共通の $B_\lambda$ に入るので、和と積は保たれる）。Zorn の補題により極大元 $(V,g)$ がとれる。
$V$ は $\mathfrak q=\ker g$ を極大イデアルとする局所環である。 $g(V)$ は体 $\Omega$ の部分環で整域なので、$\mathfrak q$ は素イデアルである。$s\in V\setminus\mathfrak q$ なら $g(s)\ne0$ なので、$V_{\mathfrak q}\to\Omega$ を $a/s\mapsto g(a)g(s)^{-1}$ で定められる。表示によらないことは、$a/s=a'/s'$ なら $K$ の中で $as'=a's$ なので $g(a)g(s')=g(a')g(s)$ となることから従い、これは準同型で $g$ を延ばす。極大性から $V_{\mathfrak q}=V$ であり、$V$ は $\mathfrak q$ を極大イデアルとする局所環である。
$V$ は付値環である。 $x\in K$、$x\ne0$ とする。lem-domval-two-directions により、$x$ と $x^{-1}$ を必要なら入れ替えて、$\mathfrak qV[x]\ne V[x]$ としてよい。$\mathfrak qV[x]$ を含む $V[x]$ の極大イデアル $\mathfrak q'$ をとる。$\mathfrak q'\cap V$ は $\mathfrak q$ を含む真のイデアルなので $\mathfrak q$ に等しく、体の単射 $\kappa=V/\mathfrak q\to\kappa'=V[x]/\mathfrak q'$ が得られる。$\kappa'$ は $\kappa$ 上の環として $x$ の像 $\bar x$ で生成される体 $\kappa[\bar x]$ である。$\bar x$ が $\kappa$ 上超越的なら $\kappa[\bar x]$ は 1 変数多項式環と同型で体でないので、$\bar x$ は $\kappa$ 上代数的である。その最小多項式を $P$ とすると $\kappa'\cong\kappa[T]/(P)$ である。
$g$ は体の埋め込み $\bar g\colon\kappa\to\Omega$ を誘導する。$\Omega$ は代数閉体なので、$P$ の係数を $\bar g$ で移した多項式は $\Omega$ に根 $\omega$ をもち、$T\mapsto\omega$ により $\bar g$ は $\kappa'\cong\kappa[T]/(P)\to\Omega$ に延びる。これと $V[x]\to\kappa'$ の合成は $g$ を延ばす準同型 $V[x]\to\Omega$ であり、$(V,g)$ の極大性から $V[x]=V$、すなわち $x\in V$ である。$x$ と $x^{-1}$ を入れ替えた場合は $x^{-1}\in V$ である。よって $V$ は付値環で、$\ker g=\mathfrak q=\mathfrak m_V$ である。$\square$

$k$ の代数閉包 $\Omega$ をとり（代数閉包）、$f\colon R\to k\subset\Omega$ を自然な写像とする。thm-domval-chevalley により付値環 $V\supset R$ と $f$ を延ばす $g\colon V\to\Omega$ で $\ker g=\mathfrak m_V$ となるものがある。$\mathfrak m_V\cap R=\ker(g|_R)=\ker f=\mathfrak m$ なので $V$ は $R$ を支配する。$g$ は単射 $\kappa_V\to\Omega$ を誘導し、$k\to\kappa_V\to\Omega$ の合成は包含 $k\subset\Omega$ である。$\Omega$ は $k$ 上代数的なので、その部分体と同型な $\kappa_V$ も $k$ 上代数的である。$\square$

$0$ は $A$ 上整なので $x\ne0$ である。$y=x^{-1}$、$A'=A[y]$ とおく。$y$ は $A'$ の単元でない。実際 $1=y(c_0+c_1y+\cdots+c_ny^n)$（$c_i\in A$）と書けたとすると、両辺に $x^{n+1}$ を掛けて $x^{n+1}-c_0x^n-c_1x^{n-1}-\cdots-c_n=0$ となり、$x$ が $A$ 上整になってしまう。よって $yA'$ を含む $A'$ の極大イデアル $\mathfrak p$ があり、cor-domval-prime-center により $A'\subset V$、$\mathfrak m_V\cap A'=\mathfrak p$ を満たす付値環 $V$ がある。$y\in\mathfrak p\subset\mathfrak m_V$ である。$x\in V$ なら $1=xy\in\mathfrak m_V$ となって矛盾するので、$x\notin V$ である。$\square$