Pappusの円鎖

$A=(0,0)$、$C=(4,0)$、$B=(6,0)$ とする。$CB$ を直径とする円を $\omega_0$（中心 $(5,0)$、半径 $1$）とし、大きな半円に内側から、小さな半円に外側から接し、1 つ前の円にも接する円を $\omega_1,\omega_2,\dots$ と上へ並べていく。円に関する反転 の例「半円の間に並ぶ円の列」では、3 つの接する条件を連立方程式にして
$$ \omega_1:\ \text{中心}\left(\frac{30}7,\frac{12}7\right),\ \text{半径}\ \frac67,\qquad \omega_2:\ \text{中心}\left(3,\frac{12}5\right),\ \text{半径}\ \frac35 $$
を求めている。同じように続けると、$\omega_3$ は中心 $\left(2,\dfrac{12}5\right)$、半径 $\dfrac25$ になる。

$r=\frac12$ のとき、$\Gamma_C$ と $\omega_0$ はどちらも半径 $\frac14$ である。$\omega_1$ の中心を $(x,y)$、半径を $\rho$ とすると、接する条件は
$$ \left(x-\tfrac12\right)^2+y^2=\left(\tfrac12-\rho\right)^2,\quad \left(x-\tfrac14\right)^2+y^2=\left(\tfrac14+\rho\right)^2,\quad \left(x-\tfrac34\right)^2+y^2=\left(\tfrac14+\rho\right)^2 $$
である。2 つ目と 3 つ目の右辺は同じなので、左辺を比べて $x=\frac12$ である。これを 1 つ目に入れると $y^2=\left(\tfrac12-\rho\right)^2=\frac14-\rho+\rho^2$、2 つ目に入れると $\frac1{16}+y^2=\frac1{16}+\frac\rho2+\rho^2$ なので、$y^2=\frac\rho2+\rho^2$ である。2 つの $y^2$ を等しいとおくと $\frac14-\rho=\frac\rho2$、つまり $\rho=\frac16$ で、$y^2=\frac1{12}+\frac1{36}=\frac19$、$y=\frac13$ である。中心 $\left(\frac12,\frac13\right)$ の高さ $\frac13$ は、直径 $\frac13$ の $1$ 倍になっている。

$r=\frac23$ では $1-r=\frac13$、$D_n=\dfrac{n^2}9+\dfrac23=\dfrac{n^2+6}9$、$r(1-r)=\frac29$ なので
$$ r_n=\frac{2/9}{2(n^2+6)/9}=\frac1{n^2+6} $$
である。図を $6$ 倍すると半径は $\dfrac6{n^2+6}$ になり、ex-ppc-start の分母 $6,7,10,15$ が $n^2+6$ だったことが分かる。中心も $6$ 倍して表にする。

$n=1,2,3$ の行は、連立方程式で求めた値と一致する。

$r=\frac23$ では楕円は $\dfrac{\left(x-\frac5{12}\right)^2}{\left(\frac5{12}\right)^2}+\dfrac{y^2}{1/6}=1$ である。$\omega_2$ の中心は（$6$ で割って）$\left(\frac12,\frac25\right)$ で、
$$ \frac{\left(\frac12-\frac5{12}\right)^2}{\frac{25}{144}}+\frac{\frac4{25}}{\frac16} =\frac{\frac1{144}}{\frac{25}{144}}+\frac{24}{25}=\frac1{25}+\frac{24}{25}=1 $$
となる。$\omega_1$ の中心 $\left(\frac57,\frac27\right)$ でも、$\dfrac{\left(\frac57-\frac5{12}\right)^2}{\frac{25}{144}}+6\cdot\dfrac4{49}=\dfrac{\left(\frac{25}{84}\right)^2\cdot144}{25}+\dfrac{24}{49}=\dfrac{25}{49}+\dfrac{24}{49}=1$ である。

中心 $(0,0)$、半径 $3$ の円の中に、中心 $\left(-\frac12,0\right)$、半径 $2$ の円を置く。中心の距離 $\frac12$ は半径の差 $1$ より小さいので、2 つの円は共有点をもたない（2円の位置関係と共通接線）。$x$ 軸の上の隙間 $\frac32\le x\le3$ を直径とする円（中心 $\left(\frac94,0\right)$、半径 $\frac34$）から始め、大きい円に内側から、小さい円に外側から、前の円に外側から接する円を数値で求めると、次の円は中心がおよそ $(1.8214,\ 1.3927)$、半径がおよそ $0.7071$ で、高さ ÷ 直径はおよそ $0.985$ になり、$1$ にならない。2 つの円は反転しても平行線にはならず、同心円に移る（Steinerの円鎖）。このとき円の列は同心円の間を回る列になり、平行線の間に積む図にはならない。

$\Gamma_B$（中心 $\left(\frac12,0\right)$、半径 $\frac12$）と、$A$ で外から接する円 $\Gamma'$（中心 $\left(-\frac14,0\right)$、半径 $\frac14$）を考える。両方に外側から接する半径 $\rho$ の円の中心を $P$ とすると、$PO_B=\frac12+\rho$、$P$ から $\Gamma'$ の中心までの距離は $\frac14+\rho$ で、差が $\frac14$ で一定になる。2 点からの距離の差が一定の点は双曲線の上にある（2次曲線の焦点と準線）。数値でも、$\rho=0.1,\ 0.3,\ 1$ の円で距離の差はどれも $0.25$、和は $0.95,\ 1.35,\ 2.75$ と変わる。主定理 2 は「内側から」と「外側から」の組み合わせで和が一定になることに支えられていた。

反転した図で、帯の中の直径 $w$ の円の中心の高さを $tw$（$0< t< 1$）にとり、そこから上へ $\omega_0',\omega_1',\dots$ を積むと、$\omega_n'$ の高さは $(n+t)w$ になる。prf-ppc-formula の計算で $n$ を $n+t$ に置き換えると、もとの図の円の半径は $\dfrac{r(1-r)}{2\{(n+t)^2(1-r)^2+r\}}$、高さ ÷ 直径は $n+t$ になる。$\omega_0$ を $CB$ を直径とする円にとったから、比がちょうど整数 $n$ になった。