Heine–Cantorの定理
概要
Heine–Cantorの定理（Heine–Cantor theorem）とは、コンパクトな距離空間から距離空間への連続写像は一様連続である、という定理である。とくに $\mathbb R^n$ の有界閉集合上の連続関数は一様連続である。各点ごとに選んだ $\delta$ を、コンパクト性によって点によらない一つの $\delta$ にまとめるのが要点で、Lebesgue 数や収束部分列を使って証明され、連続関数の積分可能性や一様近似の基礎になる。定義域の有界性・閉性のどちらを外しても成り立たず、無限次元の有界閉集合でも成り立たない。
Heine–Cantorの定理（Heine–Cantor theorem）は、コンパクトな距離空間で定義された連続写像は一様連続であることを述べる。とくに、有界閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数は一様連続である。連続性は「各点ごとに $\delta$ がとれる」ことしか言わないが、定義域がコンパクトなら、それらの $\delta$ から点によらない一つの $\delta$ を取り出せる。この定理は、連続関数の Riemann 積分可能性、連続関数の多項式や折れ線による一様近似、パラメータを含む積分の連続性など、解析学の基本的な議論の多くで「点によらない評価」を供給する。
名前の似た Heine–Borelの定理 は「$\mathbb R^n$ の有界閉集合はコンパクトである」という別の定理である。二つを合わせると「$\mathbb R^n$ の有界閉集合上の連続関数は一様連続である」が得られる（cor-hc-euclid）。
この記事では、主定理を Lebesgue 数による証明と点列による証明の二通りで示し、コンパクト集合の近くでの一様性へ強めた形と、その帰結（台がコンパクトな関数・周期関数の一様連続性、折れ線による一様近似）を証明する。最後に、仮定を一つずつ外した反例と、有界な部分集合では逆も成り立つことを確かめる。
記号と主張
距離空間 $(X,d_X)$ の点 $x$ を中心とする半径 $r$ の開球を $B_X(x,r)$ と書く。写像 $f\colon X\to Y$ が連続であるとは、各 $x\in X$ と各 $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ があり、$d_X(x,x')<\delta$ ならば $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ となることである（ここで $\delta$ は $x$ によってよい）。$f$ が一様連続であるとは、各 $\varepsilon>0$ に対して、すべての $x,x'\in X$ に共通に使える $\delta>0$ があって
$$
d_X(x,x')<\delta\ \Longrightarrow\ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon
$$
となることである。距離空間 $X$ がコンパクトであるとは、$X$ のどの開被覆も有限部分被覆をもつことである。
主定理の一つめの証明では、Lebesgue数の補題 の記事の定理「Lebesgue数の補題」を使う。これは、コンパクトな距離空間の開被覆 $\mathcal U$ に対して、ある $\lambda>0$ があり、直径が $\lambda$ 未満の空でない部分集合は必ず $\mathcal U$ のある成員に含まれる、という主張である。
$(X,d_X)$ をコンパクトな距離空間、$(Y,d_Y)$ を距離空間とする。連続写像 $f\colon X\to Y$ は一様連続である。
$\varepsilon>0$ を固定する。各 $z\in X$ について
$$
V_z:=f^{-1}\bigl(B_Y(f(z),\varepsilon/2)\bigr)
$$
とおく。$f$ は連続なので $V_z$ は開集合であり、$z\in V_z$ である。よって $\mathcal U:=\{V_z\mid z\in X\}$ は $X$ の開被覆である。$X$ はコンパクトなので、Lebesgue 数の補題により、直径が $\lambda$ 未満の空でない部分集合が必ずある $V_z$ に含まれるような $\lambda>0$ がある。$\delta:=\lambda$ とおく。
$x,x'\in X$、$d_X(x,x')<\delta$ とする。二点集合 $\{x,x'\}$ の直径は $d_X(x,x')<\lambda$ なので、ある $z$ について $x,x'\in V_z$ である。$V_z$ の定義から $d_Y(f(x),f(z))<\varepsilon/2$、$d_Y(f(x'),f(z))<\varepsilon/2$ であり、三角不等式により
$$
d_Y(f(x),f(x'))\le d_Y(f(x),f(z))+d_Y(f(z),f(x'))<\varepsilon
$$
である。$\delta$ は $x,x'$ によらないので、$f$ は一様連続である。$\square$
コンパクト性は、無数の点ごとの $\delta$ を有限個に減らすところ（ここでは Lebesgue 数の存在）にだけ使われている。点列による証明では、同じ役割を収束部分列の存在が担う。
要点：一様連続でないとすると、近づいていくのに像が離れたままの点の組の列がとれる。その収束部分列の極限で連続性に反する。
詳しい証明を開く
$f$ が一様連続でないとすると、ある $\varepsilon_0>0$ があって、各 $n\ge1$ について $d_X(x_n,x'_n)<1/n$ かつ $d_Y(f(x_n),f(x'_n))\ge\varepsilon_0$ となる $x_n,x'_n\in X$ がとれる。コンパクトな距離空間は点列コンパクトなので（点列コンパクト の記事の定理「距離空間における同値性」）、部分列 $x_{n_k}$ がある点 $p\in X$ に収束する。$d_X(x'_{n_k},p)\le d_X(x'_{n_k},x_{n_k})+d_X(x_{n_k},p)<1/n_k+d_X(x_{n_k},p)\to0$ なので $x'_{n_k}\to p$ でもある。$f$ は $p$ で連続なので $f(x_{n_k})\to f(p)$、$f(x'_{n_k})\to f(p)$ であり、$d_Y(f(x_{n_k}),f(x'_{n_k}))\le d_Y(f(x_{n_k}),f(p))+d_Y(f(p),f(x'_{n_k}))\to0$ となる。これは $d_Y(f(x_{n_k}),f(x'_{n_k}))\ge\varepsilon_0$ に反する。$\square$
$K\subset\mathbb R^n$ を有界閉集合とし、$f\colon K\to\mathbb R^m$ を連続写像とする（距離は Euclid 距離）。このとき $f$ は $K$ 上で一様連続である。とくに、有界閉区間 $[a,b]$ 上の実数値連続関数は一様連続である。
cor-hc-euclid は、$K$ がコンパクトであること（コンパクト空間 の記事の定理「有界閉集合とコンパクト性の一致」）と thm-hc-main から従う。
直観的には、$\varepsilon$ を固定し、点 $x$ ごとに「$x$ のまわりで揺れを $\varepsilon$ 未満に収める $\delta$ の上限（$1$ を超える分は $1$ とする）」を考えると、連続性はそれが各点で正であることを、一様連続性はその下限が正であることを求めている。連続なのに下限が $0$ になるのは、$\delta$ がいくらでも小さくなる点の列が、定義域の中に収束する部分列をもたないように、定義域の「端」や「無限遠」などへ逃げていくときである。コンパクトな定義域ではそのような逃げ場がなく、有限個の点の $\delta$ で全体を賄える。
一様連続 の記事には、Lebesgue 数を経由せず、各点の $\delta$ を有限個の開球でまとめる直接の証明がある。次節の thm-hc-near で $K=X$ とおいたものも、そのような直接の証明になる。
コンパクト集合の近くでの一様性
定義域全体がコンパクトでなくても、コンパクトな部分集合の近くでは同じ議論が使える。片方の点だけをコンパクト集合に制限すれば、もう片方は定義域全体を動いてよい。
$(X,d_X)$、$(Y,d_Y)$ を距離空間、$K\subset X$ をコンパクトな部分集合とし、$f\colon X\to Y$ は $K$ の各点で連続であるとする。このとき、各 $\varepsilon>0$ に対してある $\delta>0$ が存在し、
$$
x\in K,\ x'\in X,\ d_X(x,x')<\delta\ \Longrightarrow\ d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon
$$
が成り立つ。
$K=\emptyset$ なら主張は自明なので、$K\ne\emptyset$ とする。$\varepsilon>0$ を固定する。各 $z\in K$ について、$f$ の $z$ での連続性から、$d_X(z,w)< r_z$ ならば $d_Y(f(z),f(w))<\varepsilon/2$ となる $r_z>0$ をとる（$w\in X$ は任意）。開球 $B_X(z,r_z/2)$（$z\in K$）は $K$ を覆うので、$K$ のコンパクト性から有限個の点 $z_1,\dots,z_m\in K$ で $K\subset\bigcup_{i=1}^mB_X(z_i,r_{z_i}/2)$ となるものがある。$\delta:=\min_ir_{z_i}/2>0$ とおく。
$x\in K$、$x'\in X$、$d_X(x,x')<\delta$ とする。$x\in B_X(z_i,r_{z_i}/2)$ となる $i$ をとると $d_X(x,z_i)< r_{z_i}$ であり、
$$
d_X(x',z_i)\le d_X(x',x)+d_X(x,z_i)<\delta+\frac{r_{z_i}}2\le r_{z_i}
$$
である。よって $d_Y(f(x),f(z_i))<\varepsilon/2$、$d_Y(f(x'),f(z_i))<\varepsilon/2$ であり、三角不等式から $d_Y(f(x),f(x'))<\varepsilon$ となる。$\square$
$K=X$ がコンパクトで $f$ が連続なら、thm-hc-near は thm-hc-main そのものである。$K$ が $X$ の真部分集合のときは、$f$ の $K$ への制限が一様連続であることより強く、$x'$ が $K$ の外にあってもよい。この形から次の二つの帰結が出る。
- 連続関数 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$ が、ある有界集合の外で $0$ であるならば、$f$ は $\mathbb R^n$ 上で一様連続である。
- 連続関数 $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ が周期 $T>0$ をもつ（すべての $x$ で $f(x+T)=f(x)$）ならば、$f$ は $\mathbb R$ 上で一様連続である。
1：$f$ は閉球 $K:=\{x\mid|x|\le R\}$ の外で $0$ であるとしてよい。$K$ はコンパクトなので、$\varepsilon>0$ に対して thm-hc-near の $\delta$ をとる。$|x-x'|<\delta$ とする。$x\in K$ なら thm-hc-near により $|f(x)-f(x')|<\varepsilon$、$x'\in K$ なら $x$ と $x'$ を入れ替えて同じである。どちらも $K$ の外なら $f(x)=f(x')=0$ である。
2：$K:=[0,T]$ について thm-hc-near の $\delta$ をとる。$|x-x'|<\delta$ とし、$x+kT\in[0,T]$ となる整数 $k$ をとる。$|(x+kT)-(x'+kT)|=|x-x'|<\delta$ なので、周期性から $|f(x)-f(x')|=|f(x+kT)-f(x'+kT)|<\varepsilon$ である。$\square$
例
$f(x):=x\sin(1/x)$（$0< x\le1$）、$f(0):=0$ とおく。$|f(x)|\le|x|$ なので $f$ は $0$ で連続であり、$(0,1]$ では連続関数の積と合成なので連続である。よって cor-hc-euclid により $f$ は $[0,1]$ 上で一様連続である。
一方、$0< x\le1$ で $f'(x)=\sin(1/x)-\cos(1/x)/x$ であり、$x_k:=1/(2\pi k)$ では $f'(x_k)=-2\pi k$ なので、導関数は有界でない。したがって、平均値の定理で Lipschitz 評価を出す方法では一様連続性は示せず、この関数は Lipschitz 連続でもない（Lipschitz 定数 $L$ があれば、微分可能な点で $|f'|\le L$ となる）。Heine–Cantor の定理は、傾きの情報なしに一様連続性を与える。
$f\colon[a,b]\to\mathbb R$ を連続とし、$n\ge1$ について分点 $x_k:=a+k(b-a)/n$（$k=0,\dots,n$）をとる。各 $[x_{k-1},x_k]$ 上で $f(x_{k-1})$ と $f(x_k)$ を結ぶ一次関数を $L_n$ とすると、$L_n$ は連続な折れ線関数で、$\sup_{[a,b]}|f-L_n|\to0$（$n\to\infty$）である。
実際、$\varepsilon>0$ に対して cor-hc-euclid の $\delta$ をとり、$(b-a)/n<\delta$ とする。$x\in[x_{k-1},x_k]$ なら $L_n(x)=(1-t)f(x_{k-1})+tf(x_k)$（$t\in[0,1]$）なので
$$
|f(x)-L_n(x)|\le(1-t)|f(x)-f(x_{k-1})|+t|f(x)-f(x_k)|<\varepsilon
$$
である（$|x-x_{k-1}|,|x-x_k|\le(b-a)/n<\delta$）。$\delta$ が $x$ によらないので、評価は $[a,b]$ 全体で一様である。同じ議論で、連続関数は階段関数でも一様に近似できる。
$(X,d)$ をコンパクトな距離空間、$f\colon X\to\mathbb R$ を連続関数とし、$L>0$ について
$$
f_L(x):=\inf_{y\in X}\bigl(f(y)+L\,d(x,y)\bigr)
$$
とおく。このとき $f_L$ は定数 $L$ の Lipschitz 関数で $f_L\le f$ であり、$L\to\infty$ のとき $\sup_X(f-f_L)\to0$ である。
$X=\emptyset$ なら示すことはないので、$X\ne\emptyset$ とする。$f$ はコンパクト空間上の連続関数なので有界であり（コンパクト空間 の記事の定理「最大値・最小値の存在」）、$|f|\le M$ とする。下限の中の関数は下から $-M$ で押さえられるので $f_L$ は実数値で、$y=x$ とおけば $f_L(x)\le f(x)$ である。各 $y$ について $|L\,d(x,y)-L\,d(x',y)|\le L\,d(x,x')$ なので、下限をとって $|f_L(x)-f_L(x')|\le L\,d(x,x')$ を得る。
$\varepsilon>0$ に対して、thm-hc-main により $d(x,y)<\delta$ ならば $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ となる $\delta>0$ をとり、$L\ge2M/\delta$ とする。$x$ を固定する。$d(x,y)<\delta$ なら $f(y)+L\,d(x,y)\ge f(y)>f(x)-\varepsilon$、$d(x,y)\ge\delta$ なら $f(y)+L\,d(x,y)\ge-M+2M=M\ge f(x)$ である。よって $f_L(x)\ge f(x)-\varepsilon$ であり、$0\le f(x)-f_L(x)\le\varepsilon$ がすべての $x$ で成り立つ。$\square$
ここでも一様連続性が本質的で、$\delta$ が $x$ によらないから $L$ を $x$ によらずに選べる。
連続関数の Riemann 積分可能性（Riemann積分 の記事の定理「連続関数の可積分性」）と、パラメータを含む積分の連続性（多変数微分積分学 の記事の定理「パラメータを含む積分の連続性」）も、同じように Heine–Cantor の定理で振れ幅を点によらずに抑えて示される。
仮定を外すと
Euclid 空間の部分集合では、コンパクト性は有界性と閉性の二つの条件に分かれる。次の表の各行は、thm-hc-main の仮定を一つだけ破り、結論「$f$ は一様連続である」が成り立たない例である。各行の確かめは表の後の例にある。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 定義域の有界性（閉で完備だが有界でない） | $\mathbb R$ 上の $f(x)=x^2$ | 連続だが一様連続でない |
| 定義域の閉性（有界だが閉でない） | $(0,1]$ 上の $f(x)=\sin(1/x)$ | 有界で連続だが一様連続でない |
| 有限次元性（無限次元の有界閉集合） | 実数列の Hilbert 空間 $\ell^2$ の閉単位球上の、互いに離れた山の和 | 有界・閉・完備な定義域上で連続だが一様連続でない |
| $f$ の連続性（一点だけで破る） | $[0,1]$ 上の $\mathbf 1_{[1/2,1]}$ | 一様連続でない |
いずれも、$d_X(x_k,x'_k)\to0$ なのに $d_Y(f(x_k),f(x'_k))$ が $0$ に近づかない点の組の列を示せばよい。
各行の確かめを開く
1 行目。 $x_k:=k$、$x'_k:=k+1/k$ とすると $|x_k-x'_k|=1/k\to0$ だが $|x_k'^2-x_k^2|=2+1/k^2\ge2$ である。
2 行目。 $x_k:=1/(2\pi k+\pi/2)$、$x'_k:=1/(2\pi k+3\pi/2)$ は $(0,1]$ の点で $|x_k-x'_k|\to0$ だが、$f(x_k)=1$、$f(x'_k)=-1$ である。
3 行目。 $e_k$ を第 $k$ 成分だけ $1$ の数列とし、$k\ge1$ について $g_k(x):=\max\{0,1-4k\|x-e_k\|\}$、$f:=\sum_kg_k$ とおく。$g_k$ は閉球 $\overline B(e_k,\frac1{4k})$ の外で $0$ である。どの点 $x$ についても、開球 $B(x,\frac14)$ は二つ以上の $\overline B(e_k,\frac1{4k})$ と交わらない。交わるなら三角不等式により $\|e_k-e_j\|\le\frac1{4k}+\frac14+\frac14+\frac1{4j}\le1$ となるが、$k\ne j$ なら $\|e_k-e_j\|=\sqrt2$ だからである。よって $f$ は $B(x,\frac14)$ 上で一つの $g_k$ または $0$ に等しく、連続である。$x_k:=e_k$、$x'_k:=(1-\frac1{4k})e_k$ はともに閉単位球の点で、$\|x_k-x'_k\|=\frac1{4k}\to0$ である。一方、$f(x_k)=g_k(e_k)=1$、$f(x'_k)=g_k(x'_k)=1-4k\cdot\frac1{4k}=0$ である（$j\ne k$ では $\|x_k-e_j\|,\|x'_k-e_j\|\ge1>\frac1{4j}$ なので $g_j=0$）。閉単位球は有界・閉で、$\ell^2$ が完備なので完備でもあるが、コンパクトでない（全有界 の記事の例「反例：Hilbert空間の単位球」）。
4 行目。 $x_k:=1/2-1/(4k)$、$x'_k:=1/2$ とすると $|x_k-x'_k|\to0$ だが、値の差はつねに $1$ である。一様連続な写像は連続なので、一点でも不連続なら一様連続でない。
3 行目は、$\mathbb R^n$ で「有界閉」が「コンパクト」の言い換えになるのは有限次元だからであり、定理の本当の仮定はコンパクト性であることを示している。2 行目の $\sin(1/x)$ は、ex-hc-xsin の $x\sin(1/x)$ と違って $0$ まで連続に延ばせない。有界な開区間の上の連続関数については、両端まで連続に延ばせることが一様連続であることと同値である（一様連続 の記事の命題「有界な開区間上の一様連続性」）。
逆向きの主張
コンパクト性は一様連続性の十分条件であって必要条件ではない（$\mathbb R$ 上の $\sin x$ は一様連続である）。しかし「その上のすべての連続関数が一様連続になる」という性質で定義域を見ると、有界な部分集合では逆が成り立つ。
$S\subset\mathbb R^n$ を空でない有界集合とする。次は同値である。
- $S$ は閉集合である（したがってコンパクトである）。
- $S$ 上のすべての実数値連続関数は一様連続である。
1 ⇒ 2 は cor-hc-euclid である。2 ⇒ 1 の対偶を示す。$S$ が閉でないとすると、$S$ の閉包の点 $p$ で $p\notin S$ となるものがある。$f(x):=1/|x-p|$ は $S$ 上で連続である。$p$ は閉包の点なので、$|x_k-p|<1/k$ となる $x_k\in S$ がとれる。$(x_k)$ は $p$ に収束するので Cauchy 列であるが、$f(x_k)>k$ なので $(f(x_k))$ は有界でなく、Cauchy 列でない。一様連続な写像は Cauchy 列を Cauchy 列に移すので（Cauchy列 の記事の命題「一様連続写像による保存」）、$f$ は一様連続でない。$\square$
整数全体 $\mathbb Z\subset\mathbb R$ は閉集合だが有界でないので、コンパクトでない。それでも $\mathbb Z$ 上の実数値関数はすべて一様連続である。$\delta:=1/2$ とすれば、$|m-m'|<1/2$ を満たす整数は $m=m'$ だけだからである。したがって、prop-hc-converse から有界性の仮定を外すと、「すべての連続関数が一様連続ならコンパクト」という含意は成り立たない。
補足
コンパクトな距離化可能空間 $X$ 上の二つの距離 $d$、$d'$ が同じ位相を定めるとする。恒等写像 $(X,d)\to(X,d')$ とその逆は連続なので、thm-hc-main によりどちらも一様連続である。したがって、$X$ から（または $X$ への）写像が一様連続かどうかは、位相を定める距離の選び方によらない。コンパクトでない空間ではこれは成り立たない（一様連続 の記事の例「反例：距離を取り替えると一様連続性が変わる」）。
同じ議論は、関数一つではなく関数の族にも使える。コンパクトな距離空間上の各点で同程度連続な族は一様に同程度連続である（Arzelà–Ascoliの定理 の記事の命題「コンパクト空間上の同程度連続性は一様」）。
一様連続の定義と主定理は Rud76 Definition 4.18（p. 90）と Theorem 4.19（p. 91、各点の $\delta$ を有限個の開球でまとめる証明）にあり、点列による証明の筋は同章の演習 10（p. 99）に挙げられている。prop-hc-converse の $n=1$ の場合と ex-hc-integers は Rud76 Theorem 4.20 (c)（pp. 91–92）とその後の注意にある。Lebesgue 数による証明は Mun00 Lemma 27.5（p. 175）と Theorem 27.6（p. 176）による。
関連項目
- 前提: 一様連続, コンパクト空間, 距離空間, 連続写像
- 証明の道具: Lebesgue数の補題, 点列コンパクト, Heine–Borelの定理
- 応用: Riemann積分, 多変数微分積分学, Arzelà–Ascoliの定理
- 比較: Lipschitz連続, 全有界, Cauchy列
- 発展: 一様空間, 広義一様収束
参考文献
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