Greenの公式

直交座標の取り替えで体積と $\operatorname{div}$ は変わらないので、def-gf-c1 の座標で計算してよい。$W$ は $B$ の外で $0$ なので、左辺は $E:=\{x\in\mathbb{R}^N\mid x_N>g(x')\}$ の上の積分 $\int_E\operatorname{div}W\,dx$ に等しい。
$N$ 番目の成分：各 $y$ について $t\mapsto W_N(y,t)$ はコンパクトな台をもつので、微分積分学の基本定理から $\int_{g(y)}^\infty\partial_NW_N(y,t)\,dt=-W_N(y,g(y))$ である。Fubini の定理で $y$ について積分すると $\int_E\partial_NW_N\,dx=-\int W_N(y,g(y))\,dy$ を得る。
$i\le N-1$ の成分：$\widetilde W_i(y,s):=W_i(y,s+g(y))$ とおく。$\widetilde W_i$ は $C^1$ 級で、台はコンパクトである（$(y,s+g(y))$ がコンパクトな台に入るなら $y$ は有界で、$g$ は有界集合の上で有界なので $s$ も有界）。連鎖律から
$$ \partial_{y_i}\widetilde W_i(y,s)=(\partial_iW_i)(y,s+g(y))+(\partial_NW_i)(y,s+g(y))\,\partial_ig(y)=(\partial_iW_i)(y,s+g(y))+\partial_s\widetilde W_i(y,s)\,\partial_ig(y) $$
である。変数変換 $t=s+g(y)$（各 $y$ ごとの平行移動）と Fubini の定理により
$$ \int_E\partial_iW_i\,dx=\int_0^\infty\!\!\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial_{y_i}\widetilde W_i\,dy\,ds-\int_{\mathbb{R}^{N-1}}\partial_ig(y)\int_0^\infty\partial_s\widetilde W_i(y,s)\,ds\,dy. $$
右辺の第 1 項は、$y_i$ について先に積分するとコンパクトな台により $0$ である。第 2 項の内側の積分は $-\widetilde W_i(y,0)=-W_i(y,g(y))$ なので、$\int_E\partial_iW_i\,dx=\int W_i(y,g(y))\,\partial_ig(y)\,dy$ となる。
$i=1,\dots,N$ について足すと 1 つ目の等号を得る。2 つ目の等号は $n$ と $\sigma$ の定義そのものである（$\sqrt{1+\lvert\nabla g\rvert^2}$ が打ち消し合う）。$\square$

rem-gf-pou の $\theta_j$ をとり、$V_j:=\theta_jV$ とおく。$\sum_j\theta_j=1$ なので $V=\sum_jV_j$ であり、両辺は $V$ について線形だから、各 $V_j$ について示せばよい。$j\ge1$ では $V_j$ の台は $B_j$ に含まれ、lem-gf-graph がそのまま使える。$j=0$ では、$V_0|_\Omega$ の台は $\Omega$ のコンパクトな部分集合なので、$V_0$ を $\Omega$ の外で $0$ に置き換えたものは $C^1_c(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N)$ に属し、各 $\partial_iV_{0,i}$ を $x_i$ について先に積分すれば $\int_\Omega\operatorname{div}V_0\,dx=0$ である。一方 $\theta_0$ は $\Gamma$ の上で $0$ なので右辺も $0$ である。$\square$

$\overline\Omega$ はコンパクトなので、$\overline\Omega$ の近傍で $1$ となり台が $U$ に含まれる $\zeta\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N)$ がとれる。$V:=\zeta v\nabla u$（$U$ の外では $0$）は $C^1_c(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N)$ に属し、$\overline\Omega$ の近くでは積の微分により $\operatorname{div}V=\nabla v\cdot\nabla u+v\,\Delta u$、$\Gamma$ の上で $V\cdot n=v\,\partial u/\partial n$ である。thm-gf-divergence を $V$ に使えば 1 つ目の式を得る。2 つ目の式は、1 つ目の式で $u$ と $v$ を入れ替えたものとの差をとれば $\nabla u\cdot\nabla v$ の項が消えて得られる。$\square$

$j=1,\dots,m$ について、$\varepsilon_j$ を球 $B_j$ に付随する座標の $x_N$ 軸の単位ベクトルとし、
$$ X:=-\sum_{j=1}^m\theta_j\,\varepsilon_j\in C^\infty_c(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N) $$
とおく。$\Gamma\cap B_j$ の点では、$j$ 番目の座標で $n=(\nabla g_j,-1)/\sqrt{1+\lvert\nabla g_j\rvert^2}$ なので $-\varepsilon_j\cdot n=1/\sqrt{1+\lvert\nabla g_j\rvert^2}$ である。$\operatorname{supp}\theta_j\cap\Gamma$ はコンパクトなので、その上で $\lvert\nabla g_j\rvert\le M_j$ となる $M_j$ がある。$\Gamma$ の上では $\theta_0=0$、$\sum_{j\ge1}\theta_j=1$、$\theta_j\ge0$ なので
$$ X\cdot n\ge c:=\min_j\frac1{\sqrt{1+M_j^2}}>0\qquad(\Gamma\text{ の上}). $$
$\varphi^2X\in C^1_c(\mathbb{R}^N;\mathbb{R}^N)$ に thm-gf-divergence を使うと、$\operatorname{div}(\varphi^2X)=\varphi^2\operatorname{div}X+2\varphi\nabla\varphi\cdot X$ なので、$K:=\sup\lvert\operatorname{div}X\rvert+\sup\lvert X\rvert$ とおけば
$$ c\int_\Gamma\varphi^2\,d\sigma\le\int_\Gamma\varphi^2X\cdot n\,d\sigma=\int_\Omega\bigl(\varphi^2\operatorname{div}X+2\varphi\nabla\varphi\cdot X\bigr)dx\le K\bigl(\|\varphi\|_{L^2}^2+2\|\varphi\|_{L^2}\|\nabla\varphi\|_{L^2}\bigr)\le2K\|\varphi\|_{H^1(\Omega)}^2 $$
である（Cauchy–Schwarz の不等式と $2ab\le a^2+b^2$）。$C=2K/c$ とすればよい。$\square$

$\mathcal{D}:=\{\varphi|_\Omega\mid\varphi\in C^1_c(\mathbb{R}^N)\}$ の上で $\varphi|_\Omega\mapsto\varphi|_\Gamma$ は矛盾なく定まる（$\Gamma\subset\overline\Omega$ の上の値は連続性により $\Omega$ の上の値で決まる）。lem-gf-trace-estimate によりこれは有界で、$\mathcal{D}$ は $C^\infty_c$ の制限を含むので rem-gf-density により稠密である。$L^2(\Gamma,\sigma)$ は完備なので、有界作用素は $H^1(\Omega)$ 全体へただ 1 通りに連続に延びる。$\square$

1：まず $u=\varphi|_\Omega$、$v=\psi|_\Omega$（$\varphi,\psi\in C^1_c(\mathbb{R}^N)$）とする。$V:=\varphi\psi\,e_i$ は $C^1_c$ のベクトル場で、$\operatorname{div}V=\partial_i\varphi\,\psi+\varphi\,\partial_i\psi$、$V\cdot n=\varphi\psi\,n_i$ なので、thm-gf-divergence から 1 の式を得る。
一般の $u,v$ には、rem-gf-density により $u_k\to u$、$v_k\to v$（$H^1(\Omega)$ で）となる上の形の列をとる。内部の項は、Cauchy–Schwarz の不等式から
$$ \Bigl\lvert\int_\Omega(\partial_iu_k\,v_k-\partial_iu\,v)\,dx\Bigr\rvert\le\|\partial_iu_k-\partial_iu\|_{L^2}\|v_k\|_{L^2}+\|\partial_iu\|_{L^2}\|v_k-v\|_{L^2}\to0 $$
であり（収束列なので $\|v_k\|_{L^2}$ は有界）、もう一方の内部の項も同じである。境界の項は、thm-gf-trace により $\gamma u_k\to\gamma u$、$\gamma v_k\to\gamma v$（$L^2(\Gamma)$ で）なので、$\lvert n_i\rvert\le1$ と同じ分け方で $\int_\Gamma\gamma u_k\,\gamma v_k\,n_i\,d\sigma\to\int_\Gamma\gamma u\,\gamma v\,n_i\,d\sigma$ である。極限をとって 1 を得る。
2：$u\in H^2(\Omega)$ なら $w_i:=\partial u/\partial x_i\in H^1(\Omega)$ で、$\partial w_i/\partial x_i=\partial^2u/\partial x_i^2$ である。1 を $(w_i,v)$ に使い、$i$ について足すと
$$ \int_\Omega(\Delta u)\,v\,dx=-\int_\Omega\nabla u\cdot\nabla v\,dx+\int_\Gamma\sum_in_i\,\gamma w_i\,\gamma v\,d\sigma $$
となり、最後の被積分関数は $\frac{\partial u}{\partial n}\gamma v$ である。$\lvert n\rvert=1$ と Cauchy–Schwarz の不等式から $\bigl\lvert\frac{\partial u}{\partial n}\bigr\rvert^2\le\sum_i(\gamma w_i)^2$ なので、$\frac{\partial u}{\partial n}\in L^2(\Gamma,\sigma)$ である。$\square$