Hardyの不等式

$x>0$ を固定し、$f(t)=\bigl(f(t)\,t^{1/(pp')}\bigr)\cdot t^{-1/(pp')}$ と分けて Hölderの不等式（指数 $p$ と $p'$）を使う。$t^{-1/(pp')\cdot p'}=t^{-1/p}$ で $\int_0^xt^{-1/p}dt=p'x^{1/p'}$ なので
$$ F(x)^p\le\Bigl(\int_0^xf(t)^p\,t^{1/p'}\,dt\Bigr)\bigl(p'x^{1/p'}\bigr)^{p/p'} =p'^{\,p-1}x^{(p-1)/p'}\int_0^xf(t)^p\,t^{1/p'}\,dt $$
である（$(p/p')\cdot(1/p')=(p-1)/p'$）。両辺を $x^p$ で割って $x$ について積分し、非負関数なので Tonelliの定理 で順序を入れ替えると
$$ \int_0^\infty\Bigl(\frac{F(x)}x\Bigr)^pdx\le p'^{\,p-1}\int_0^\infty f(t)^p\,t^{1/p'}\Bigl(\int_t^\infty x^{(p-1)/p'-p}\,dx\Bigr)dt $$
となる。指数は $\frac{(p-1)^2}p-p=-2+\frac1p<-1$ なので内側の積分は $\frac{t^{-1+1/p}}{1-1/p}=p'\,t^{-1/p'}$ であり、右辺は $p'^{\,p}\int_0^\infty f^p$ に等しい。$p$ 乗根をとればよい。$\square$

$0<\varepsilon<\frac1{p'}$ について $f_\varepsilon(t):=t^{-1/p-\varepsilon}\mathbf 1_{(1,\infty)}(t)$ とおく。$\|f_\varepsilon\|_p^p=\int_1^\infty t^{-1-\varepsilon p}dt=\frac1{\varepsilon p}$ である。$x>1$ では
$$ \frac{F_\varepsilon(x)}x=\frac{x^{-1/p-\varepsilon}-x^{-1}}{1/p'-\varepsilon} $$
で、$x\le1$ では $0$ である。$L^p(1,\infty)$ での Minkowskiの不等式 から $\|g-h\|_p\ge\|g\|_p-\|h\|_p$ なので、$\|x^{-1/p-\varepsilon}\|_{L^p(1,\infty)}=(\varepsilon p)^{-1/p}$、$\|x^{-1}\|_{L^p(1,\infty)}=(p-1)^{-1/p}$ を使うと
$$ \frac{\|F_\varepsilon/x\|_p}{\|f_\varepsilon\|_p}\ge\frac{1-\bigl(\varepsilon p/(p-1)\bigr)^{1/p}}{1/p'-\varepsilon}\longrightarrow p'\qquad(\varepsilon\to0) $$
となる。よって $p'$ より小さい定数では $\varepsilon$ が小さい $f_\varepsilon$ で不等式が破れる。$\square$

連続な代表について $u(x)=u(0)+\int_0^xu'(t)\,dt=\int_0^xu'(t)\,dt$ なので、$|u(x)|\le\int_0^x|u'(t)|\,dt$ である。$f:=|u'|\mathbf 1_{(0,L)}$ に thm-hardy-integral を当て、$(0,L)$ に制限すればよい。$\square$

$c:=u(0)\ne0$ とすると、連続な代表は $0$ の近くの区間 $(0,\delta)$ で $|u(x)|\ge\frac{|c|}2$ を満たす。そこで $\bigl|\frac{u(x)}x\bigr|^p\ge\bigl(\frac{|c|}2\bigr)^px^{-p}$ で、$p\ge1$ なので $\int_0^\delta x^{-p}dx=\infty$ となり、仮定に反する。$\square$

$0< x\le\frac12$ では $\frac1{x(1-x)}\le\frac2x$、$\frac12\le x<1$ では $\frac1{x(1-x)}\le\frac2{1-x}$ である。前者の範囲には thm-hardy-sobolev を $u$ に、後者の範囲には $v(y):=u(1-y)$（$v(0)=0$、$\|v'\|_p=\|u'\|_p$）に当てると、それぞれの $L^p$ ノルムは $2p'\|u'\|_p$ 以下である。2 つの範囲の和をとればよい。$\square$

$\alpha_n:=\frac{A_n}n$、$\alpha_0:=0$ とおくと $a_n=n\alpha_n-(n-1)\alpha_{n-1}$ である。よって
$$ \alpha_n^p-p'a_n\alpha_n^{p-1}=(1-np')\alpha_n^p+p'(n-1)\alpha_{n-1}\alpha_n^{p-1} $$
である。積の Young の不等式 $ab\le\frac{a^p}p+\frac{b^{p'}}{p'}$（$a=\alpha_{n-1}$、$b=\alpha_n^{p-1}$）から $\alpha_{n-1}\alpha_n^{p-1}\le\frac1p\alpha_{n-1}^p+\frac{p-1}p\alpha_n^p$ で、$p'\frac{p-1}p=1$、$\frac{p'}p=\frac1{p-1}$ なので
$$ \alpha_n^p-p'a_n\alpha_n^{p-1}\le\bigl(1-np'+(n-1)\bigr)\alpha_n^p+\frac{n-1}{p-1}\alpha_{n-1}^p=\frac1{p-1}\bigl((n-1)\alpha_{n-1}^p-n\alpha_n^p\bigr) $$
となる（$1-np'+n-1=-\frac n{p-1}$）。$n=1,\dots,M$ について足すと右辺は $-\frac{M\alpha_M^p}{p-1}\le0$ に縮むので、有限和について Hölderの不等式 を使えば
$$ \sum_{n\le M}\alpha_n^p\le p'\sum_{n\le M}a_n\alpha_n^{p-1}\le p'\Bigl(\sum_{n\le M}a_n^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\sum_{n\le M}\alpha_n^p\Bigr)^{1/p'} $$
である。左辺が $0$ でなければ $\bigl(\sum_{n\le M}\alpha_n^p\bigr)^{1/p'}$ で割り、$p$ 乗して $M\to\infty$ とすればよい。$\square$

$X(x):=x|x|^{-p}$ は $x\ne0$ で $\operatorname{div}X=(N-p)|x|^{-p}$ を満たす。$p< N$ なので $|x|^{-p}$ と $|X|=|x|^{1-p}$ は原点の近くで可積分であり、左辺は有限である。$p>1$ なので $|u|^p$ は $C^1$ 級で $|\nabla|u|^p|\le p|u|^{p-1}|\nabla u|$ である。$\varepsilon< |x|$ の範囲で発散定理を使うと、球面 $|x|=\varepsilon$ からの境界項は $\sup|u|^p\cdot\varepsilon^{1-p}\cdot|S^{N-1}|\varepsilon^{N-1}\to0$ なので
$$ (N-p)\int\frac{|u|^p}{|x|^p}dx=-\int\nabla(|u|^p)\cdot X\,dx\le p\int\frac{|u|^{p-1}}{|x|^{p-1}}|\nabla u|\,dx\le p\Bigl(\int\frac{|u|^p}{|x|^p}\Bigr)^{1/p'}\|\nabla u\|_p $$
である（最後は Hölderの不等式）。左辺の積分が $0$ でなければ $\bigl(\int|u|^p|x|^{-p}\bigr)^{1/p'}$ で割ればよい。$\square$