接空間
概要
接空間（tangent space）とは、滑らかな多様体 $M$ の各点 $p$ に付随する $\dim M$ 次元の実ベクトル空間 $T_pM$ であり、$p$ を通る曲線の速度ベクトル、$p$ における関数の方向微分（導分）、座標変換で決まった規則に従う成分の組という同値な 3 通りの方法で定義される。滑らかな写像 $F$ は各点で線形写像 $dF_p\colon T_pM\to T_{F(p)}N$（微分）を定め、局所座標ではその Jacobi 行列で表される。$\mathbb{R}^N$ の中で Jacobi 行列の階数が最大の等位集合 $F^{-1}(c)$ の接空間は $\ker DF(p)$ であり、球面なら $T_pS^n=p^\perp$ である。代数幾何学の Zariski 接空間 $(\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2)^*$ はその類似である。
球面 $S^2\subset\mathbb{R}^3$ の点 $p$ で球面に接する平面は、$p$ を通り $p$ に直交する平面であり、球面の上を動く点が $p$ を通過するときの速度ベクトルはすべてこの平面に入る。$\mathbb{R}^N$ の中にない一般の多様体では「接する平面」を外から描けないので、この平面を多様体の内側の言葉だけで作り直す必要がある。そうして得られる、各点 $p$ に付随する $n$ 次元のベクトル空間が接空間（tangent space）$T_pM$ である。接空間は多様体の「点 $p$ での 1 次近似」であり、写像の微分、ベクトル場、微分形式、リーマン計量はすべて接空間の上で定義される。
定義
以下、$M$ を $n$ 次元の滑らかな多様体（可微分多様体。Hausdorff かつ第 2 可算）、$p\in M$ とし、$C^\infty(M)$ を $M$ 上の $C^\infty$ 級実数値関数の全体とする。$p$ のまわりの局所座標 $(U,\varphi)$、$\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ に対し、関数 $f$ の局所座標表示を $\hat f:=f\circ\varphi^{-1}$ と書く。$0$ を含む開区間 $J$ から $M$ への $C^\infty$ 級写像 $\gamma$ で $\gamma(0)=p$ となるものを、$p$ を通る滑らかな曲線という。$p$ を通る滑らかな曲線 $\gamma$ に対し、$\varphi\circ\gamma$ は $0$ の近くで定義された $\mathbb{R}^n$ 値の $C^\infty$ 級関数であり、$(\varphi\circ\gamma)'(0)\in\mathbb{R}^n$ はその速度ベクトルである。
接空間には、同じものを表す 3 つの定義がある。
$p$ を通る 2 つの滑らかな曲線 $\gamma,\delta$ が $p$ で 1 次の接触をもつとは、$p$ のまわりの局所座標 $\varphi$ について
$$
(\varphi\circ\gamma)'(0)=(\varphi\circ\delta)'(0)
$$
が成り立つことをいい、$\gamma\sim\delta$ と書く。この条件は $\varphi$ の選び方によらず、$\sim$ は同値関係である。$\gamma$ の同値類 $[\gamma]$ を $p$ における接ベクトルといい、その全体を $T_pM$ と書く。$p$ のまわりの局所座標 $\varphi$ を 1 つ固定すると、
$$
\Theta_\varphi\colon T_pM\to\mathbb{R}^n,\qquad[\gamma]\mapsto(\varphi\circ\gamma)'(0)
$$
は全単射であり、$\Theta_\varphi$ を通して $\mathbb{R}^n$ の和とスカラー倍を移したものを $T_pM$ のベクトル空間の構造とする。この構造は $\varphi$ の選び方によらない。
定義の中の主張を確かめる。別の局所座標 $\psi$ をとると、$0$ の近くで $\psi\circ\gamma=(\psi\circ\varphi^{-1})\circ(\varphi\circ\gamma)$ なので、連鎖律により
$$
(\psi\circ\gamma)'(0)=A\,(\varphi\circ\gamma)'(0),\qquad A:=D(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))
$$
である。$A$ は座標変換の Jacobi 行列で正則なので、定義の中の主張はすべてこの式から従う。
詳細
「$(\varphi\circ\gamma)'(0)=(\varphi\circ\delta)'(0)$」と「$(\psi\circ\gamma)'(0)=(\psi\circ\delta)'(0)$」は $A$ が正則なので同値であり、$\sim$ は $\varphi$ によらない。$\sim$ は $\mathbb{R}^n$ のベクトルの等号で定めたので同値関係である。$\Theta_\varphi$ は定義により単射であり、$v\in\mathbb{R}^n$ に対し $\gamma(t):=\varphi^{-1}(\varphi(p)+tv)$（$\lvert t\rvert$ が小さいとき定義される）が $\Theta_\varphi([\gamma])=v$ をみたすので全射である。$\Theta_\psi=A\,\Theta_\varphi$ で $A$ は線形同型なので、$\Theta_\varphi$ と $\Theta_\psi$ で移した構造は一致する。
以上は Nic20 §2.1 の接ベクトルの構成に対応する。
$\mathbb{R}$ 線形写像 $v\colon C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ で、すべての $f,g\in C^\infty(M)$ について
$$
v(fg)=f(p)\,v(g)+g(p)\,v(f)
$$
をみたすものを、$p$ における導分（導分）という。$p$ における導分の全体 $\mathrm{Der}_p(M)$ は写像の和とスカラー倍でベクトル空間になる。
ベクトル場の記事は冒頭でこの定義を採り、$p$ のまわりの局所座標 $(x^1,\dots,x^n)$ に対し座標ベクトル $\partial/\partial x^i|_p\colon f\mapsto\partial\hat f/\partial x^i(\varphi(p))$ を定め、定理「座標ベクトルは接空間の基底をなす」で $\partial/\partial x^1|_p,\dots,\partial/\partial x^n|_p$ が $\mathrm{Der}_p(M)$ の基底であることを示している。とくに $\dim\mathrm{Der}_p(M)=n$ である。
$p$ のまわりの局所座標 $\varphi$ のそれぞれに $\mathbb{R}^n$ のベクトル $v_\varphi$ を対応させる対応 $v=(v_\varphi)_\varphi$ で、任意の 2 つの局所座標 $\varphi,\psi$ について
$$
v_\psi=D(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))\,v_\varphi
$$
（成分で $v_\psi^j=\sum_i\frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p)\,v_\varphi^i$）をみたすものの全体を $\mathrm{Comp}_p(M)$ と書き、成分ごとの和とスカラー倍でベクトル空間とみる。
局所座標 $\varphi$ を 1 つ固定すると、$v\mapsto v_\varphi$ は $\mathrm{Comp}_p(M)$ から $\mathbb{R}^n$ への線形同型である。
詳細
$w\in\mathbb{R}^n$ に対し $v_\psi:=D(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))\,w$ と定めると、連鎖律 $D(\chi\circ\varphi^{-1})=D(\chi\circ\psi^{-1})\,D(\psi\circ\varphi^{-1})$（点は省略）により変換則がみたされ、条件をみたす $v$ で $v_\varphi=w$ となるものはこれに限る。
この定義は物理学で「座標変換のもとで決まった規則で変わる成分の組」として接ベクトル（反変ベクトル）を扱う流儀である。
| 曲線による定義 | 導分による定義 | 成分による定義 | |
|---|---|---|---|
| 接ベクトルとは | 曲線の 1 次の接触の類 $[\gamma]$ | 関数の方向微分 $v\colon C^\infty(M)\to\mathbb{R}$ | 変換則をみたす成分の組 $(v_\varphi)$ |
| 線形構造 | 局所座標で $\mathbb{R}^n$ から移す | 写像の和とスカラー倍 | 成分ごと |
| 見やすいこと | 速度ベクトルとしての意味 | 座標を使わない定義、代数的な一般化 | 計算、変換則 |
| 使う場面 | 部分多様体、Lie 群の計算 | ベクトル場、Lie 括弧 | テンソル解析、物理 |
3 つの定義は次の節の定理で標準的に同一視されるので、以下ではどれも $T_pM$ と書き、その元を接ベクトルという。
3 つの定義の同一視
曲線による接空間 $T_pM$ から次の写像を定める。$p$ を通る滑らかな曲線 $\gamma$、$f\in C^\infty(M)$、$p$ のまわりの局所座標 $\varphi=(x^1,\dots,x^n)$ に対し、
$$
\alpha([\gamma])(f):=(f\circ\gamma)'(0),\qquad\kappa([\gamma])_\varphi:=(\varphi\circ\gamma)'(0)
$$
とし、$v\in\mathrm{Der}_p(M)$ を座標ベクトルで $v=\sum_ia^i\,\partial/\partial x^i|_p$ と展開したときの係数の組を $\beta(v)_\varphi:=(a^1,\dots,a^n)$ とする。このとき $\alpha\colon T_pM\to\mathrm{Der}_p(M)$、$\beta\colon\mathrm{Der}_p(M)\to\mathrm{Comp}_p(M)$、$\kappa\colon T_pM\to\mathrm{Comp}_p(M)$ はいずれも矛盾なく定義された線形同型であり、次の図式は可換である。
$$
\xymatrix{
T_pM \ar[rr]^{\alpha} \ar[dr]_{\kappa} & & \mathrm{Der}_p(M) \ar[dl]^{\beta} \\
& \mathrm{Comp}_p(M) &
}
$$
すなわち $\beta\circ\alpha=\kappa$ である。
$\kappa$ について：定義の節の計算により $(\varphi\circ\gamma)'(0)$ は変換則 $v_\psi=D(\psi\circ\varphi^{-1})(\varphi(p))\,v_\varphi$ をみたすので、$\kappa([\gamma])\in\mathrm{Comp}_p(M)$ である。$\kappa$ に「$v\mapsto v_\varphi$」を合成したものは $\Theta_\varphi$ であり、$\Theta_\varphi$ と $v\mapsto v_\varphi$ はともに線形同型なので、$\kappa$ も線形同型である。
$\alpha$ について：$w:=(\varphi\circ\gamma)'(0)$ とおく。$0$ の近くで $f\circ\gamma=\hat f\circ(\varphi\circ\gamma)$ なので、連鎖律により
$$
\alpha([\gamma])(f)=(f\circ\gamma)'(0)=\sum_{i=1}^n\frac{\partial\hat f}{\partial x^i}(\varphi(p))\,w^i=\sum_{i=1}^nw^i\,\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p(f)
$$
である。よって $\alpha([\gamma])=\sum_iw^i\,\partial/\partial x^i|_p$ は導分であり、$w=\Theta_\varphi([\gamma])$ だけで決まるので代表元 $\gamma$ の選び方によらない。$L_\varphi(w):=\sum_iw^i\,\partial/\partial x^i|_p$ とおくと $\alpha=L_\varphi\circ\Theta_\varphi$ であり、座標ベクトルが $\mathrm{Der}_p(M)$ の基底であること（ベクトル場の記事の定理「座標ベクトルは接空間の基底をなす」）から $L_\varphi$ は線形同型なので、$\alpha$ は線形同型である。
$\beta$ について：別の局所座標 $\psi=(y^1,\dots,y^n)$ をとると、ベクトル場の記事の命題「座標変換に関する変換則」により $\partial/\partial x^i|_p=\sum_j\frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p)\,\partial/\partial y^j|_p$ なので、
$$
v=\sum_ia^i\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p=\sum_j\Bigl(\sum_i\frac{\partial y^j}{\partial x^i}(p)\,a^i\Bigr)\frac{\partial}{\partial y^j}\Big|_p
$$
であり、$\beta(v)$ は変換則をみたす。$\beta$ に「$v\mapsto v_\varphi$」を合成したものは $L_\varphi^{-1}$ なので、$\beta$ は線形同型である。
可換性：上の $\alpha$ の計算により $\alpha([\gamma])$ の $\varphi$ に関する係数は $w=(\varphi\circ\gamma)'(0)$ なので、$\beta(\alpha([\gamma]))_\varphi=(\varphi\circ\gamma)'(0)=\kappa([\gamma])_\varphi$ である。$\square$
この定理により、曲線 $\gamma$ の速度ベクトル $\gamma'(0):=[\gamma]$ は、関数 $f$ に $f$ の $\gamma$ に沿った微分 $(f\circ\gamma)'(0)$ を対応させる導分と同じものであり、局所座標では成分 $(\varphi\circ\gamma)'(0)$ をもつ。座標ベクトル $\partial/\partial x^i|_p$ は、第 $i$ 座標の方向の曲線 $t\mapsto\varphi^{-1}(\varphi(p)+te_i)$ の速度ベクトルである。
写像の微分と連鎖律
$M$、$N$ を滑らかな多様体、$F\colon M\to N$ を $C^\infty$ 級写像、$p\in M$ とする。$F$ の $p$ における微分（differential）$dF_p\colon T_pM\to T_{F(p)}N$ を、導分による定義で
$$
(dF_p\,v)(g):=v(g\circ F)\qquad(v\in T_pM,\ g\in C^\infty(N))
$$
と定める。曲線による定義では $dF_p([\gamma])=[F\circ\gamma]$ である。$dF_p$ を $F_{*p}$、$DF(p)$、$T_pF$ とも書く。
$g\circ F\in C^\infty(M)$ なので右辺は意味をもち、$dF_p\,v$ は $F(p)$ における導分である（$v((g_1g_2)\circ F)=g_1(F(p))\,v(g_2\circ F)+g_2(F(p))\,v(g_1\circ F)$）。$v=\alpha([\gamma])$ のとき $(dF_p\,v)(g)=(g\circ F\circ\gamma)'(0)=\alpha([F\circ\gamma])(g)$ なので、2 つの記述は thm-tangent-space-iso の $\alpha$ で対応する。
$F\colon M\to N$ を $m$ 次元の滑らかな多様体から $n$ 次元の滑らかな多様体への $C^\infty$ 級写像、$p\in M$ とする。$p$ のまわりの局所座標 $\varphi=(x^1,\dots,x^m)$ と $F(p)$ のまわりの局所座標 $\psi=(y^1,\dots,y^n)$ をとり、$F^j:=y^j\circ F$ とおく。このとき
$$
dF_p\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p\Bigr)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial F^j}{\partial x^i}(p)\,\frac{\partial}{\partial y^j}\Big|_{F(p)}
$$
である。すなわち、座標ベクトルの基底に関する $dF_p$ の表現行列は、局所表示 $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ の $\varphi(p)$ における Jacobi 行列である。
要点：両辺を関数 $g\in C^\infty(N)$ に作用させると、$\mathbb{R}^m$ の開集合の上の連鎖律そのものになる。
詳しい証明を開く
$p$ の近くで $g\circ F\circ\varphi^{-1}=(g\circ\psi^{-1})\circ(\psi\circ F\circ\varphi^{-1})$ なので、連鎖律により $$dF_p\Bigl(\frac{\partial}{\partial x^i}\Big|_p\Bigr)(g)=\frac{\partial(g\circ F\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i}(\varphi(p))=\sum_j\frac{\partial(g\circ\psi^{-1})}{\partial y^j}(\psi(F(p)))\,\frac{\partial(y^j\circ F\circ\varphi^{-1})}{\partial x^i}(\varphi(p))$$ である。右辺は $\sum_j\frac{\partial F^j}{\partial x^i}(p)\,\frac{\partial}{\partial y^j}|_{F(p)}(g)$ であり、$g$ は任意なので主張が従う。$\square$
$F\colon M\to N$、$G\colon N\to P$ を滑らかな多様体の間の $C^\infty$ 級写像、$p\in M$ とする。このとき
$$
d(G\circ F)_p=dG_{F(p)}\circ dF_p,\qquad d(\mathrm{id}_M)_p=\mathrm{id}_{T_pM}
$$
である。とくに $F$ が微分同相写像なら $dF_p$ は線形同型であり、$\dim M=\dim N$ である。
$v\in T_pM$、$h\in C^\infty(P)$ に対し、微分の定義を 3 回使って
$$
\bigl(d(G\circ F)_p\,v\bigr)(h)=v(h\circ G\circ F)=(dF_p\,v)(h\circ G)=\bigl(dG_{F(p)}(dF_p\,v)\bigr)(h)
$$
である。$d(\mathrm{id}_M)_p\,v=v$ は定義から明らかである。$F$ が微分同相写像なら、$F^{-1}\circ F=\mathrm{id}_M$、$F\circ F^{-1}=\mathrm{id}_N$ に前半を使って $d(F^{-1})_{F(p)}$ が $dF_p$ の逆写像となる。$\dim T_pM=\dim M$（thm-tangent-space-iso と $\Theta_\varphi$ による）なので $\dim M=\dim N$ である。$\square$
$M=\mathbb{R}^m$、$N=\mathbb{R}^n$、$P=\mathbb{R}^l$ の開集合で標準座標を使えば、prop-tangent-space-differential-coordinates により $dF_p$ は Jacobi 行列 $DF(p)$ で表され、thm-tangent-space-chain-rule は Jacobi 行列の積の公式 $D(G\circ F)(p)=DG(F(p))\,DF(p)$（連鎖律）そのものである。
部分多様体の接空間
$\mathbb{R}^N$ の開集合 $W$ の点 $a$ では、恒等写像を局所座標とする $\Theta_{\mathrm{id}}\colon[\gamma]\mapsto\gamma'(0)$ により $T_aW=\mathbb{R}^N$ と同一視する。これにより、$\mathbb{R}^N$ の中の図形の接空間を $\mathbb{R}^N$ の部分空間として描くことができる。
$0\le d\le N$ とする。$S\subset\mathbb{R}^N$ が $d$ 次元の部分多様体であるとは、各点 $p\in S$ に対し、$p$ のまわりの $\mathbb{R}^N$ の局所座標 $(V;y^1,\dots,y^N)$ で
$$
V\cap S=\{q\in V\mid y^{d+1}(q)=\dots=y^N(q)=0\}
$$
となるものが存在することをいう。
局所座標の記事の命題「等位集合の多様体構造」の証明は、この形の局所座標があることだけを使う。したがって同じ証明により、部分多様体 $S$ は、$(y^1,\dots,y^d)$ を $V\cap S$ に制限したものを局所座標とする $d$ 次元の滑らかな多様体になり、包含写像 $\iota\colon S\hookrightarrow\mathbb{R}^N$ は $C^\infty$ 級である。
$S\subset\mathbb{R}^N$ を $d$ 次元の部分多様体、$p\in S$ とする。$d\iota_p\colon T_pS\to\mathbb{R}^N$ は単射であり、その像は
$$
\{\gamma'(0)\mid\gamma\colon J\to\mathbb{R}^N\text{ は }C^\infty\text{ 級で }\gamma(J)\subset S,\ \gamma(0)=p\}
$$
に等しい。とくにこの集合は $\mathbb{R}^N$ の $d$ 次元部分空間である。
要点：部分多様体を平らにする局所座標では、包含写像は $u\mapsto(u,0)$ と表され、$S$ の中の曲線は最後の $N-d$ 成分が $0$ の曲線になる。
詳しい証明を開く
$p$ のまわりの上の形の局所座標 $(V,\psi)$ をとり、$S$ の局所座標を $\chi:=\pi\circ\psi|_{V\cap S}$（$\pi$ は最初の $d$ 成分への射影）とする。$\chi^{-1}(u)=\psi^{-1}(u,0)$ なので、$\iota$ の局所表示は $\psi\circ\iota\circ\chi^{-1}(u)=(u,0)$ であり、その Jacobi 行列 $\begin{pmatrix}I_d\\0\end{pmatrix}$ の階数は $d$ である。prop-tangent-space-differential-coordinates により $d\iota_p$ は単射で、像は $d$ 次元である。
像が速度ベクトルの集合に含まれること：$v=[c]\in T_pS$ なら、$d\iota_p\,v=[\iota\circ c]$ であり、$\iota\circ c$ は $S$ に値をとる $\mathbb{R}^N$ の曲線で、その速度ベクトルが $d\iota_p\,v$ である。
逆の包含：$\gamma$ を $S$ に値をとる $C^\infty$ 級の曲線で $\gamma(0)=p$ とする。$\lvert t\rvert$ が小さければ $\gamma(t)\in V$ であり、$\gamma(t)\in S$ より $\psi(\gamma(t))=(c(t),0)$、$c:=\pi\circ\psi\circ\gamma$ は $C^\infty$ 級である。$\tilde c:=\chi^{-1}\circ c$ は $S$ の曲線で、局所表示が $c$ なので $C^\infty$ 級であり、$\iota\circ\tilde c(t)=\psi^{-1}(c(t),0)=\gamma(t)$ である。よって $\gamma'(0)=d\iota_p[\tilde c]$ である。$\square$
以下、この単射で $T_pS$ を $\mathbb{R}^N$ の部分空間とみなす。
$W\subset\mathbb{R}^N$ を開集合、$1\le k\le N$、$F\colon W\to\mathbb{R}^k$ を $C^\infty$ 級写像、$c\in\mathbb{R}^k$、$S:=F^{-1}(c)$ とし、$S$ の各点 $q$ で Jacobi 行列 $DF(q)$ の階数が $k$ であるとする。このとき $S$ は $N-k$ 次元の部分多様体であり、各点 $p\in S$ で
$$
T_pS=\ker DF(p)
$$
である。
$S$ が $N-k$ 次元の部分多様体であることは、局所座標の記事の定理「等位集合を平らにする局所座標」を滑らかな多様体 $W$ に適用すれば得られる。
$\gamma$ を $S$ に値をとる $C^\infty$ 級の曲線で $\gamma(0)=p$ とすると、$F\circ\gamma$ は定数 $c$ なので、連鎖律により $DF(p)\,\gamma'(0)=(F\circ\gamma)'(0)=0$ である。lem-tangent-space-submanifold-velocity により $T_pS\subset\ker DF(p)$ である。同じ補題により $\dim T_pS=N-k$ であり、$DF(p)$ の階数が $k$ なので次元定理により $\dim\ker DF(p)=N-k$ である。次元が等しいので $T_pS=\ker DF(p)$ である。$\square$
これは Nic20 §2.1 の接ベクトルの具体例に対応する。
$F(x)=\|x\|^2=x\cdot x$ とすると $S^n=F^{-1}(1)$ であり、$DF(p)v=2\,p\cdot v$ は $p\in S^n$ で $0$ でない。thm-tangent-space-level-set により
$$
T_pS^n=\{v\in\mathbb{R}^{n+1}\mid p\cdot v=0\}=p^\perp
$$
である。たとえば北極 $N=(0,\dots,0,1)$ では $T_NS^n=\{v\mid v_{n+1}=0\}$ である。$p^\perp$ の単位ベクトル $u$ に対し、大円 $\gamma(t)=(\cos t)\,p+(\sin t)\,u$ は $S^n$ の中の曲線で、$\gamma'(0)=u$ である。
球面 S² の点 p における接平面 p + T_pS²。球面上の大円 γ が p を通り、その速度ベクトル γ′(0) は接平面の中にある
図のように、$T_pS^2$ を点 $p$ だけ平行移動した平面 $p+T_pS^2$ が、ふつう「球面の $p$ における接平面」と呼ばれるものである。$T_pS^2$ 自身は原点を通る 2 次元の部分空間である。
$n$ 次正方行列の全体 $M_n(\mathbb{R})$ を成分により $\mathbb{R}^{n^2}$ とみる。一般線形群 $GL_n(\mathbb{R})=\{A\mid\det A\neq0\}$ は、行列式が成分の多項式で連続なので $M_n(\mathbb{R})$ の開集合であり、単位行列 $I$ での接空間は $T_IGL_n(\mathbb{R})=M_n(\mathbb{R})$ である。実際、任意の $H\in M_n(\mathbb{R})$ に対し、$\lvert t\rvert$ が小さければ $I+tH\in GL_n(\mathbb{R})$ で、この曲線の速度ベクトルは $H$ である。
$n$ 次の実対称行列の全体 $\mathrm{Sym}_n$ を対角と上三角の成分により $\mathbb{R}^{n(n+1)/2}$ とみて、$F\colon M_n(\mathbb{R})\to\mathrm{Sym}_n$、$F(A):=A^{\mathsf T}A$ を考える。直交群は $O(n)=F^{-1}(I)$ である。$DF(A)H=H^{\mathsf T}A+A^{\mathsf T}H$ は $O(n)$ の各点で全射なので、thm-tangent-space-level-set により $O(n)$ は $n(n-1)/2$ 次元の部分多様体であり、
$$
T_IO(n)=T_ISO(n)=\ker DF(I)=\{H\in M_n(\mathbb{R})\mid H^{\mathsf T}+H=0\}
$$
は交代行列の全体である。
計算の詳細を開く
$(A+tH)^{\mathsf T}(A+tH)=A^{\mathsf T}A+t(H^{\mathsf T}A+A^{\mathsf T}H)+t^2H^{\mathsf T}H$ より $DF(A)H=H^{\mathsf T}A+A^{\mathsf T}H$ である。$A\in O(n)$ と $S\in\mathrm{Sym}_n$ に対し $H:=\frac12AS$ とおくと、$A^{\mathsf T}A=I$ より $DF(A)H=\frac12SA^{\mathsf T}A+\frac12A^{\mathsf T}AS=S$ なので、$DF(A)$ は全射で階数は $n(n+1)/2$ であり、$O(n)$ の次元は $n^2-n(n+1)/2=n(n-1)/2$ である。$O(n)$ の上で $\det$ は $\pm1$ の値しかとらない連続関数なので、特殊直交群 $SO(n)=\{A\in O(n)\mid\det A=1\}=O(n)\cap\{\det>0\}$ は $O(n)$ の開集合であり、同じ次元の部分多様体である。$O(n)$ の中の曲線で $I$ を通るものは $\lvert t\rvert$ が小さければ $SO(n)$ にとどまるので、lem-tangent-space-submanifold-velocity により $T_ISO(n)=T_IO(n)$ である。
$n=2$ では回転の曲線 $R(t)=\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{pmatrix}$ の速度ベクトルは $R'(0)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ で、確かに交代行列である。Nic20 §2.1 も同じ計算を曲線で行っている。
thm-tangent-space-level-set の階数の条件を外すと、等位集合は部分多様体とは限らない。
$F(x,y,z):=x^2+y^2-z^2$、$C:=F^{-1}(0)\subset\mathbb{R}^3$ とする。$DF=2(x,\,y,\,-z)$ は原点以外で $0$ でないので、$C\setminus\{0\}$ は 2 次元の部分多様体であり、各点の接空間は $\ker DF$ である。しかし原点の開近傍 $V$ をどのようにとっても、$V\cap C$ はどの次元の部分多様体でもない。満たす性質は「多項式の等位集合で、1 点を除けば 2 次元の部分多様体」、満たさない性質は「原点の近くで部分多様体」であり、破る含意は「滑らかな関数の等位集合は部分多様体である」である。原点では $DF(0)=0$ で、定理の階数の条件が成り立たない。
原点の近くで部分多様体でないことの証明を開く
$V\cap C$ が $d$ 次元の部分多様体であったとする。$a\in\mathbb{R}$ に対し直線 $\gamma_a(t)=t(\cos a,\,\sin a,\,1)$ は $C$ に含まれ、$\lvert t\rvert$ が小さければ $V$ に入る。$a=0,\ \pi/2,\ \pi$ の速度ベクトル $(1,0,1)$、$(0,1,1)$、$(-1,0,1)$ を並べた行列の行列式は $2$ なので、これらは線形独立である。lem-tangent-space-submanifold-velocity により $T_0(V\cap C)$ は $d$ 次元でこれらを含むので、$d=3$ である。ところが $d=3=N$ のときは定義の局所座標 $(V',\psi)$ について $V'\cap(V\cap C)=V'$ となり、$C$ は原点の開近傍を含む。一方 $(\varepsilon,0,0)$（$\varepsilon\neq0$）は $C$ に属さず、いくらでも原点に近い。これは矛盾である。
円錐 x² + y² = z² と、頂点を通る母線。母線の方向ベクトルは 3 次元の空間を張るので、頂点での接空間を 2 次元の平面にとることはできない
Zariski 接空間との比較
導分による定義は、関数の環だけから接空間を取り出す。これを代数的に言い直すと、特異点をもつ図形にも使える「Zariski 接空間」が得られる。
$I_p:=\{f\in C^\infty(M)\mid f(p)=0\}$ とし、$I_p^2$ を積 $fg$（$f,g\in I_p$）の有限和の全体とする。このとき
$$
T_pM\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(I_p/I_p^2,\ \mathbb{R}),\qquad v\mapsto\bigl(f+I_p^2\mapsto v(f)\bigr)
$$
は矛盾なく定義された線形同型である。
要点：Leibniz 則により導分は $I_p^2$ の上で $0$ になり、逆に $I_p/I_p^2$ 上の線形写像 $\lambda$ からは $v_\lambda(f):=\lambda\bigl(f-f(p)+I_p^2\bigr)$ で導分が得られる。
詳しい証明を開く
$f,g\in I_p$ なら $v(fg)=f(p)v(g)+g(p)v(f)=0$ なので、$v$ は $I_p^2$ の上で $0$ であり、写像は矛盾なく定義され、$v$ について線形である。逆写像を作る。線形写像 $\lambda\colon I_p/I_p^2\to\mathbb{R}$ に対し $v_\lambda(f):=\lambda\bigl(f-f(p)+I_p^2\bigr)$ とおく。$v_\lambda$ は線形であり、$$fg-f(p)g(p)=\bigl(f-f(p)\bigr)\bigl(g-g(p)\bigr)+f(p)\bigl(g-g(p)\bigr)+g(p)\bigl(f-f(p)\bigr)$$ の右辺の第 1 項は $I_p^2$ に属するので、$v_\lambda(fg)=f(p)v_\lambda(g)+g(p)v_\lambda(f)$ である。よって $v_\lambda\in T_pM$ である。
導分 $v$ は定数関数を $0$ に写す（$v(1)=v(1\cdot1)=2v(1)$）ので、$v$ から作った $\lambda_v$ について $v_{\lambda_v}(f)=v(f-f(p))=v(f)$ である。また $f\in I_p$ なら $v_\lambda(f)=\lambda(f+I_p^2)$ である。したがって 2 つの写像は互いに逆である。$\square$
これは Vak25 §13.1 が Zariski 接空間の定義の動機として挙げる議論であり、同書の Exercise 13.1.A にあたる。そこで一般の可換環について次のように定める。
$A$ を可換環、$\mathfrak m$ を $A$ の極大イデアル、$k:=A/\mathfrak m$ とする。$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ は $k$ 上のベクトル空間であり、これを $\mathfrak m$ における Zariski 余接空間、その双対空間 $\operatorname{Hom}_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2,\ k)$ を Zariski 接空間という。
Vak25 Definition 13.1.1 は局所環 $A_{\mathfrak m}$ の極大イデアルで定義し、$\mathfrak m/\mathfrak m^2=\mathfrak mA_{\mathfrak m}/\mathfrak m^2A_{\mathfrak m}$ であることを注意している。局所環付き空間の点での定義は環付き空間の記事の定義「点における剰余体と接空間」にある。平面曲線では、Zariski 接空間は方程式の 1 次の部分だけで決まる。
$k$ を体、$f\in k[x,y]$ を $f(0,0)=0$ をみたす多項式とし、$f$ の 1 次の部分を $ax+by$（$a,b\in k$）とする。$A:=k[x,y]/(f)$、$\mathfrak m:=(x,y)/(f)$ とおく。このとき
$$
\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2=\begin{cases}1&((a,b)\neq(0,0)),\\2&(a=b=0)\end{cases}
$$
であり、Zariski 接空間は線形汎関数 $\lambda$ に $(\lambda(\bar x),\lambda(\bar y))$ を対応させることで $\{(v_1,v_2)\in k^2\mid av_1+bv_2=0\}$ と同一視される。
$\mathfrak n:=(x,y)\subset k[x,y]$ とおく。要点は、$\mathfrak n/\mathfrak n^2$ が $\bar x,\bar y$ を基底とする 2 次元の $k$ ベクトル空間であり、
$$
\mathfrak m/\mathfrak m^2\cong\mathfrak n/(\mathfrak n^2+(f))\cong(\mathfrak n/\mathfrak n^2)/k(a\bar x+b\bar y)
$$
となることである。
この同型の証明を開く
$\mathfrak n$ は $k[x,y]\to k$、$g\mapsto g(0,0)$ の核なので極大イデアルであり、$(f)\subset\mathfrak n$ である。$\mathfrak m=\mathfrak n/(f)$、$\mathfrak m^2=(\mathfrak n^2+(f))/(f)$ なので、同型定理により $\mathfrak m/\mathfrak m^2\cong\mathfrak n/(\mathfrak n^2+(f))$ である。$\mathfrak n^2$ は $x^2,xy,y^2$ で生成され、2 次以上の単項式の $k$ 上の 1 次結合の全体である。$\mathfrak n$ の元は 1 次以上の単項式の 1 次結合なので、$\mathfrak n/\mathfrak n^2$ は $\bar x,\bar y$ を基底とする 2 次元の $k$ ベクトル空間である。$g\in k[x,y]$ に対し $gf-g(0,0)f=(g-g(0,0))f\in\mathfrak n\cdot\mathfrak n$ なので、$(f)+\mathfrak n^2$ の $\mathfrak n/\mathfrak n^2$ における像は $f$ の像 $a\bar x+b\bar y$ で張られる。これで 2 つ目の同型が得られる。
したがって $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ の次元は $(a,b)\neq(0,0)$ なら $1$、$a=b=0$ なら $2$ である。双対空間は $\mathfrak n/\mathfrak n^2$ 上の線形汎関数 $\lambda$ で $\lambda(a\bar x+b\bar y)=0$ をみたすものの全体であり、$(v_1,v_2):=(\lambda(\bar x),\lambda(\bar y))$ とおけば条件は $av_1+bv_2=0$ である。$\square$
これは Vak25 Exercise 13.1.B の「$A/(f)$ の Zariski 接空間は $A$ の Zariski 接空間の中で $f\bmod\mathfrak m^2$ によって切り取られる」の特別な場合である。$k=\mathbb{R}$ で $(a,b)\neq(0,0)$ のとき、曲線 $f=0$ は原点の近くで 1 次元の部分多様体であり（thm-tangent-space-level-set）、その接空間 $\ker Df(0)=\{av_1+bv_2=0\}$ は Zariski 接空間と同じ直線である。
放物線 $y-x^2=0$ では $(a,b)=(0,1)$ なので、原点の Zariski 接空間は $1$ 次元で、直線 $v_2=0$ である。尖点 $y^2-x^3=0$ と結節点 $y^2-x^2-x^3=0$ では 1 次の部分が $0$ なので、原点の Zariski 接空間は $2$ 次元であり、曲線（$1$ 次元）の次元を超える。満たす性質は「$1$ 次元の曲線の点」、満たさない性質は「接空間の次元が $1$」であり、破る含意は「接空間の次元は図形の次元に等しい」である。Zariski 接空間の次元が図形の次元を超える点が特異点であり、局所環 $A_{\mathfrak m}$ は正則局所環でない。
原点での Zariski 接空間：放物線 y = x² は直線 1 本（1 次元）、尖点 y² = x³ と結節点 y² = x² + x³ は平面全体（2 次元）
注意
- 接空間を全部集めた $TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM$ は $2n$ 次元の滑らかな多様体の構造をもち、接束と呼ばれる（Nic20 §2.1）。その構成はベクトル場の記事の定義の節にあり、ベクトル束の代表例である。$T_pM$ の双対空間 $T_p^*M$ を余接空間といい、微分形式は各点に余接空間の外積代数の元を滑らかに対応させるものである。
- 導分による定義で $C^\infty(M)$ の代わりに $p$ の近くで定義された関数（関数の芽）を使う流儀もある。接ベクトルの値は $p$ の近くの関数の値だけで決まる（ベクトル場の記事の補題「接ベクトルの局所性」）ので、2 つの流儀は一致する。
- 複素多様体の接空間には複素構造が入る（複素多様体の記事の命題「接空間の複素構造」）。
- 写像の微分 $dF_p$ を座標で書いたものが Jacobi 行列であり、$dF_p$ が全単射なら $F$ は $p$ の近くで微分同相である（逆関数定理の記事の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」）。
関連項目
参考文献
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