Chevalley群

$\mathrm{SL}_2(K)$ の作用．$K$ の成分の行列 $e,h,f$ は、$K$ 上の跡 $0$ の 2 次正方行列の空間 $V_K$ の基底である。実際、跡 $0$ の行列はただ一通りに $\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}=ah+be+cf$ と書け、これは標数 $2$（$h=I$ となる）でも変わらない。この基底で $\mathfrak{g}_K$ と $V_K$ を同一視する。$g\in\mathrm{SL}_2(K)$ に対し $\rho(g)X:=gXg^{-1}$（$X\in V_K$）と定めると、$\operatorname{tr}(gXg^{-1})=\operatorname{tr}X=0$ なので $\rho(g)$ は $V_K$ の線形変換であり、$\rho(gg')X=gg'X(gg')^{-1}=\rho(g)\rho(g')X$、$\rho(g^{-1})=\rho(g)^{-1}$ である。よって $\rho\colon\mathrm{SL}_2(K)\to\mathrm{GL}(\mathfrak{g}_K)$ は群準同型である。
生成元の像．$u(t)=\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}$、$u(t)^{-1}=u(-t)$ について、行列の積を計算すると
$$ u(t)\,h\,u(t)^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2t\\0&-1\end{pmatrix}=h-2te,\qquad u(t)\,f\,u(t)^{-1}=\begin{pmatrix}t&-t^2\\1&-t\end{pmatrix}=f+th-t^2e $$
であり、$e$ は $u(t)$ と可換なので不変である。よって $\rho(u(t))$ の行列は $x_\alpha(t)$ の行列と一致し、$\rho(u(t))=x_\alpha(t)$ である。$v(t)=\begin{pmatrix}1&0\\t&1\end{pmatrix}$、$v(t)^{-1}=v(-t)$ について
$$ v(t)\,h\,v(t)^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\2t&-1\end{pmatrix}=h+2tf,\qquad v(t)\,e\,v(t)^{-1}=\begin{pmatrix}-t&1\\-t^2&t\end{pmatrix}=e-th-t^2f $$
であり、$f$ は $v(t)$ と可換なので不変である。よって $\rho(v(t))=x_{-\alpha}(t)$ である。これらの計算は整数係数の多項式の恒等式なので、標数によらず成り立つ。$\mathrm{SL}_2(K)$ は $u(t),v(t)$（$t\in K$）で生成される（基本変形 の系「体と整数環の場合」）ので、$G(K)=\rho(\mathrm{SL}_2(K))$ である。
核．$\rho(g)=1$ とし、$g=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ とおく。$geg^{-1}=e$ すなわち $ge=eg$ であり、
$$ ge=\begin{pmatrix}0&a\\0&c\end{pmatrix},\qquad eg=\begin{pmatrix}c&d\\0&0\end{pmatrix} $$
を比べて $c=0$、$a=d$ である。同様に $gf=fg$ であり、
$$ gf=\begin{pmatrix}b&0\\d&0\end{pmatrix},\qquad fg=\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix} $$
を比べて $b=0$ である。よって $g=aI$ であり、$\det g=a^2=1$ から $(a-1)(a+1)=0$、体なので $a=\pm1$、すなわち $g=\pm I$ である（標数 $2$ では $-I=I$ であり、核は自明群である）。逆にスカラー行列はすべての行列と可換なので $\rho(\pm I)=1$ である。よって $\ker\rho=\{\pm I\}$ であり、準同型定理 により $G(K)\cong\mathrm{SL}_2(K)/\{\pm I\}$ である。$\mathrm{SL}_2(K)$ の中心は $\{\pm I\}$（特殊線形群 の命題「特殊線形群の中心」）なので、これは $\mathrm{PSL}_2(K)$ である。$\square$

$H$ は正規なので $HB=BH$ は部分群であり、Tits系、BN対 の定理「標準的放物型部分群の分類」により $HB=P_J$ となる $J$ がある。
$s\in J$、$t\in S\setminus J$ とする。$\dot s\in C(s)\subseteq P_J=HB$ なので $\dot s=hb$（$h\in H$、$b\in B$）と書ける。すると
$$ \dot t\dot s=(\dot th\dot t^{-1})\,\dot tb\in H\dot tB\subseteq HB\,\dot tB=P_J\,C(t)=\bigcup_{w\in W_J}C(w)C(t)\subseteq\bigcup_{w\in W_J}\bigl(C(wt)\cup C(w)\bigr) $$
である（最後は同記事の補題「細胞の基本性質」の 4）。$\dot t\dot s$ は $ts$ の代表元なので $\dot t\dot s\in C(ts)$ であり、異なる細胞は交わらない（同記事の定理「Tits系の基本定理」の 2）から、$ts\in W_J$ または $ts\in W_Jt$ である。
$ts\in W_J$ なら $t=(ts)s\in W_J$ となり、$t\in W_J\cap S=J$（Coxeter系 の命題「放物型部分群の基本性質」の 2）に反する。よって $ts=wt$（$w\in W_J$）、すなわち $tst=w\in W_J$ である。
$S$ の元を右から掛けると長さはちょうど $1$ だけ変わる（Coxeter系 の定理「長さと正負の判定」から $\ell(us)\ne\ell(u)$、一般に $\lvert\ell(us)-\ell(u)\rvert\le1$）。$s\ne t$ なので $ts\ne1$、$\ell(ts)=2$ であり、$\ell(tst)$ は $1$ か $3$ である。$\ell(tst)=3$ なら $t\cdot s\cdot t$ は $W_J$ の元の簡約表示で、$J$ に属さない文字 $t$ を含み、同記事の命題「放物型部分群の基本性質」の 1 に反する。よって $\ell(tst)=1<\ell(ts)$ であり、簡約表示 $ts$ に交換条件（同記事の系「Coxeter系は交換条件を満たす」）を使うと、$tst$ は $s$ か $t$ に等しい。$tst=t$ なら左から $t$ を掛けて $st=1$、すなわち $s=t$ となり $s\in J$、$t\notin J$ に反するので、$tst=s$、すなわち $ts=st$ である。$\square$

$H$ を正規部分群とし、lem-chv-commute により $HB=P_J$ とする。同補題から $J$ の元と $S\setminus J$ の元はすべて交換し、$m(s,t)=2$ である。$J$ と $S\setminus J$ がともに空でなければ $(W,S)$ は可約になるので、$J=\emptyset$ か $J=S$ である。
$J=S$ のとき、$HB=P_S=G$（Tits系、BN対 の命題「両端の標準的放物型部分群」）である。準同型定理 の定理「第2同型定理」により $G/H=HB/H\cong B/(B\cap H)$ は可解群の剰余群なので可解である（可解群 の命題「部分群と剰余群への遺伝」）。一方 $G/H$ は完全群 $G$ の像なので $[G/H,G/H]=G/H$ である。可解群で自分自身の交換子部分群に等しいものは、導来列が $G/H$ のまま止まって $\{e\}$ に届くので自明群であり、$H=G$ である。
$J=\emptyset$ のとき、$HB=P_\emptyset=B$ なので $H\subseteq B$ であり、任意の $g$ について $H=gHg^{-1}\subseteq gBg^{-1}$、すなわち $H\subseteq Z$ である。
$Z$ は正規部分群であり、$G/Z$ の正規部分群は $Z$ を含む正規部分群 $H$ に対応する。上により $H=Z$ か $H=G$ である。$S\ne\emptyset$ なので $s\in S$ について $C(s)\ne B$（Tits系、BN対 の補題「単純生成元の細胞の平方」）であり、$Z\subseteq B\ne G$ である。よって $G/Z$ は単純群である。$\square$