Lazardの定理

標準射を $\mu_e\colon M_e\to\varinjlim M_e$ とすると $u\circ\mu_e=\pi_e$ である。条件 1 から $u$ は全射である。帰納極限 の補題「帰納極限の元の表示」の 1 により $\varinjlim M_e$ の元は $\mu_e(\xi)$ の形であり、$u(\mu_e(\xi))=\pi_e(\xi)=0$ なら条件 2 の $e'$ について $\mu_e(\xi)=\mu_{e'}(\varphi_{ee'}(\xi))=0$ である。よって $u$ は単射である。$\square$

線形写像 $\varphi\colon A^n\to A^r$ を $\varphi(c_1,\dots,c_n)=\bigl(\sum_ja_{ij}c_j\bigr)_i$ で定め、$K=\ker\varphi$ とおく。列 $K\to A^n\xrightarrow{\varphi}A^r$ は $A^n$ で完全である。$M$ は平坦なので、平坦加群 の命題「完全関手としての言い換え」により、$K\otimes M\to A^n\otimes M\to A^r\otimes M$ も中央で完全である。同型 $A^n\otimes M\cong M^n$、$(c_j)_j\otimes m\mapsto(c_jm)_j$（$A^r$ についても同様）で書き直すと、中央の写像は $(x_j)_j\mapsto\bigl(\sum_ja_{ij}x_j\bigr)_i$ である。仮定から $(x_j)_j$ はこの写像の核に入るので、$K\otimes M$ のある元 $\sum_{k=1}^s\beta_k\otimes y_k$（$\beta_k\in K$、$y_k\in M$）の像である。$\beta_k=(b_{1k},\dots,b_{nk})$ と書くと、$\beta_k\in K$ は $\sum_ja_{ij}b_{jk}=0$ を、像が $(x_j)_j$ であることは $x_j=\sum_kb_{jk}y_k$ を意味する。$\square$

（1 $\Rightarrow$ 2）$P=A^n/N$、$N$ は $\rho_i=\sum_ja_{ij}e_j$（$1\le i\le r$）で生成されるとし、$x_j=f(\bar e_j)$ とおく。$\sum_ja_{ij}x_j=f(\bar\rho_i)=0$ なので、prop-lazard-system により $b_{jk}$、$y_k$ がとれる。$A^s$ の標準基底を $e'_1,\dots,e'_s$ とし、$\tilde h\colon A^n\to A^s$ を $e_j\mapsto\sum_kb_{jk}e'_k$ で定めると、
$$\tilde h(\rho_i)=\sum_k\Bigl(\sum_ja_{ij}b_{jk}\Bigr)e'_k=0$$
なので $\tilde h$ は $N$ を $0$ に送り、$h\colon P\to A^s$ を誘導する。$g\colon A^s\to M$ を $e'_k\mapsto y_k$ で定めると、$g(h(\bar e_j))=\sum_kb_{jk}y_k=x_j=f(\bar e_j)$ であり、$\bar e_j$ は $P$ を生成するので $f=g\circ h$ である。
（2 $\Rightarrow$ 1）$a_1,\dots,a_n\in A$、$x_1,\dots,x_n\in M$ が $\sum_ja_jx_j=0$ を満たすとする。$P=A^n/A(a_1,\dots,a_n)$ は有限表示であり、$f\colon P\to M$、$\bar e_j\mapsto x_j$ が定まる。2 により $f=g\circ h$（$h\colon P\to A^s$、$g\colon A^s\to M$）と書け、$h(\bar e_j)=\sum_kb_{jk}e'_k$、$y_k=g(e'_k)$ とおく。$P$ の中で $\sum_ja_j\bar e_j=0$ なので $\sum_k\bigl(\sum_ja_jb_{jk}\bigr)e'_k=0$、すなわち $\sum_ja_jb_{jk}=0$ であり、$x_j=g(h(\bar e_j))=\sum_kb_{jk}y_k$ である。よって 1 本の関係はすべて自明化され、平坦性のイデアル判定 の定理「一次方程式による平坦性の判定」により $M$ は平坦である。$\square$

（2 $\Rightarrow$ 1）有限自由加群は平坦であり（平坦加群 の例「自由加群とベクトル空間」）、平坦加群の有向帰納極限は平坦である（同じ記事の命題「帰納極限の平坦性」）。同型な加群の一方が平坦なら他方も平坦である。
（1 $\Rightarrow$ 2）$M$ を平坦とする。3 段に分ける。
段 1：有限表示加群の帰納系を作る。 $I=M\times\mathbb N$ とし、$I$ を基底とする自由加群 $A^{(I)}$ の基底を $(e_i)_{i\in I}$、全射 $\pi\colon A^{(I)}\to M$ を $e_{(m,t)}\mapsto m$ で定め、$K=\ker\pi$ とおく。有限部分集合 $J\subset I$ について、$e_i$（$i\in J$）が生成する部分加群を $A^J$ と書く。$J\subset I$ が有限で $N\subset A^J\cap K$ が有限生成部分加群である組 $e=(J,N)$ の全体を $E$ とし、$J\subset J'$ かつ $N\subset N'$ のとき $(J,N)\le(J',N')$ と定める。$(\emptyset,0)\in E$ であり、$(J\cup J',N+N')$ が共通の上界になるので $E$ は有向集合である。$M_e=A^J/N$ とおき、$e\le e'$ のとき包含 $A^J\subset A^{J'}$ が誘導する写像を $\varphi_{ee'}\colon M_e\to M_{e'}$、$\pi$ が誘導する写像を $\pi_e\colon M_e\to M$（$N\subset K$ なので定まる）とする。$M_e$ は有限表示であり、$\pi_{e'}\circ\varphi_{ee'}=\pi_e$ である。
lem-lazard-colimit-test の 2 条件を確かめる。$m\in M$ は、$e=(\{(m,0)\},0)$ について $e_{(m,0)}$ の類の $\pi_e$ による像である。$\xi\in M_e$（$e=(J,N)$）が $\pi_e(\xi)=0$ を満たすなら、その持ち上げ $\tilde\xi\in A^J$ は $K$ に入るので $e'=(J,N+A\tilde\xi)\in E$ であり、$\varphi_{ee'}(\xi)=0$ である。よって $M\cong\varinjlim_{e\in E}M_e$ である。
段 2：$M_e$ が有限自由になる $e$ は共終である。 $e=(J,N)\in E$ を任意にとる。$M_e$ は有限表示なので、thm-lazard-factor により $\pi_e=g\circ h$（$h\colon M_e\to A^s$、$g\colon A^s\to M$）と分解する。$A^s$ の基底を $b_1,\dots,b_s$ とする。$J$ は有限で、各 $m\in M$ について $(m,t)$（$t\in\mathbb N$）は無限個あるので、$J$ に属さない相異なる $i_1,\dots,i_s\in I$ で $i_l=(g(b_l),t_l)$ の形のもの、すなわち $\pi(e_{i_l})=g(b_l)$ を満たすものがとれる。$J'=J\cup\{i_1,\dots,i_s\}$ とし、$\psi\colon A^{J'}\to A^s$ を
$$\psi(e_i)=h(\bar e_i)\ (i\in J),\qquad\psi(e_{i_l})=b_l\ (1\le l\le s)$$
で定め、$N'=\ker\psi$ とおく。次が成り立つ。

• 基底上で比べると $g\circ\psi=\pi|_{A^{J'}}$ である（$i\in J$ では $g(h(\bar e_i))=\pi_e(\bar e_i)=\pi(e_i)$）。よって $N'\subset K$ である。
• $\psi$ は全射で、$b_l\mapsto e_{i_l}$ が切断 $\sigma$ を与えるので $A^{J'}=N'\oplus\sigma(A^s)$ である。$N'$ は射影 $1-\sigma\psi$ による有限生成加群 $A^{J'}$ の像なので有限生成である。
• $\nu\in N$ なら $\psi(\nu)=h(\nu\bmod N)=0$ なので $N\subset N'$ である。
  したがって $e'=(J',N')\in E$、$e\le e'$ であり、$\psi$ は同型 $M_{e'}=A^{J'}/N'\cong A^s$ を誘導する。

段 3：共終部分に制限する。 $M_e$ が有限自由加群と同型になる $e$ の全体を $E_0$ とする。段 2 により $E_0$ は $E$ の共終部分集合であり、したがって有向集合である（有向集合 の命題「共終部分集合は有向集合である」）。$E_0$ 上に制限した帰納系 $(M_e,\varphi_{ee'})_{e\in E_0}$ と $(\pi_e)_{e\in E_0}$ について lem-lazard-colimit-test の 2 条件を確かめる。$M$ の元は段 1 によりある $\pi_e(\xi)$ であり、$e\le e_0\in E_0$ をとれば $\pi_e(\xi)=\pi_{e_0}(\varphi_{ee_0}(\xi))$ である。$e\in E_0$、$\pi_e(\xi)=0$ なら段 1 によりある $e'\ge e$ で $\varphi_{ee'}(\xi)=0$ となり、$e'\le e''\in E_0$ をとれば $\varphi_{ee''}(\xi)=0$ である。よって $M\cong\varinjlim_{e\in E_0}M_e$ であり、各 $M_e$ は有限自由加群と同型である。同型で取り替えて 2 を得る。$\square$

thm-lazard-factor を恒等写像 $\mathrm{id}_P\colon P\to P$ に当てると、$\mathrm{id}_P=g\circ h$（$h\colon P\to A^s$、$g\colon A^s\to P$）と書ける。$h$ は単射で、$A^s=h(P)\oplus\ker g$ である（$z\in A^s$ を $z=h(g(z))+(z-h(g(z)))$ と分ければよく、$h(P)\cap\ker g=0$ は $g\circ h=\mathrm{id}$ による）。よって $P\cong h(P)$ は $A^s$ の直和因子である。$\square$