Gelfand–Naimarkの定理

$c1-a$ は自己共役なので $\|c1-a\|=r(c1-a)$ であり、多項式のスペクトル写像定理（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の命題「多項式のスペクトル写像定理」）により $\sigma(c1-a)=\{c-\lambda\mid\lambda\in\sigma(a)\}$ である。
$a\geq0$ なら $\sigma(a)\subset[0,\|a\|]\subset[0,c]$ なので、$\lambda\in\sigma(a)$ について $0\leq c-\lambda\leq c$、よって $\|c1-a\|=\max_{\lambda\in\sigma(a)}|c-\lambda|\leq c$ である。逆に $\|c1-a\|\leq c$ なら、$\lambda\in\sigma(a)$ は実数で $|c-\lambda|\leq c$ を満たすので $\lambda\geq0$ である。$\square$

$s:=\|a\|$、$t:=\|b\|$ とおく。lem-gn-positive-criterion により $\|s1-a\|\leq s$、$\|t1-b\|\leq t$ なので
$$ \|(s+t)1-(a+b)\|\leq\|s1-a\|+\|t1-b\|\leq s+t $$
である。$a+b$ は自己共役で $\|a+b\|\leq s+t$ だから、再び lem-gn-positive-criterion（$c=s+t$）により $a+b\geq0$ である。$\square$

$\lambda\neq0$ について、$\lambda1-xy$ が可逆なら $\lambda1-yx$ も可逆であることを示せばよい（$x,y$ を入れ替えれば逆も従う）。$x$ を $x/\lambda$ に替えて $\lambda=1$ としてよい。$u:=(1-xy)^{-1}$ とおくと $u-uxy=u-xyu=1$ である。$v:=1+yux$ とおくと
$$ v(1-yx)=1-yx+yux-yuxyx=1-yx+y(u-uxy)x=1-yx+yx=1, $$
$$ (1-yx)v=1-yx+yux-yxyux=1-yx+y(u-xyu)x=1 $$
である。よって $1-yx$ は可逆で、逆元は $v$ である。$\square$

段 1：$\sigma(x^*x)\subset(-\infty,0]$ なら $x=0$。 $x=h+ik$、$h:=(x+x^*)/2$、$k:=(x-x^*)/(2i)$ と自己共役元に分けると、展開して
$$ x^*x+xx^*=2h^2+2k^2 $$
である。自己共役元 $h$ について $\sigma(h^2)=\{\lambda^2\mid\lambda\in\sigma(h)\}\subset[0,\infty)$（スペクトル写像定理）なので $h^2\geq0$、同様に $k^2\geq0$ である。仮定から $-x^*x\geq0$ なので、cor-gn-positive-sum を 2 回使って
$$ xx^*=2h^2+2k^2+(-x^*x)\geq0 $$
を得る。一方 lem-gn-jacobson により $\sigma(xx^*)\setminus\{0\}=\sigma(x^*x)\setminus\{0\}\subset(-\infty,0)$ である。$\sigma(xx^*)\subset[0,\infty)$ と合わせると $\sigma(xx^*)\subset\{0\}$ で、自己共役元 $xx^*$ について $\|xx^*\|=r(xx^*)=0$ となる。$C^*$-恒等式を $x^*$ に使うと $\|x^*\|^2=\|xx^*\|=0$ なので $x=0$ である。
段 2：一般の場合。 $h:=a^*a$ は自己共役である。連続関数 $f_\pm(t):=\max\{\pm t,0\}$ を連続汎関数計算で代入して $h_\pm:=f_\pm(h)$ とおくと、$h_\pm$ は自己共役で $h_\pm\geq0$、$h=h_+-h_-$、$h_+h_-=h_-h_+=0$ である（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の例「自己共役元の平方根と正負の部分」。$f_+f_-=0$、$f_+-f_-=t$ と汎関数計算が準同型であることによる）。$x:=ah_-$ とおくと
$$ x^*x=h_-a^*ah_-=h_-(h_+-h_-)h_-=-h_-^3 $$
である。スペクトル写像定理により $\sigma(-h_-^3)=\{-\lambda^3\mid\lambda\in\sigma(h_-)\}\subset(-\infty,0]$ なので、段 1 から $x=0$、すなわち $h_-^3=0$ である。$h_-$ は自己共役なので $\|h_-\|^3=r(h_-)^3=r(h_-^3)=0$ となり、$h_-=0$ である。よって $a^*a=h_+\geq0$ である。$\square$

thm-gn-positive により $\sigma(a^*a)\subset[0,\infty)$ なので $-1\notin\sigma(a^*a)$、すなわち $-1-a^*a$ は可逆である。$\square$

自己共役元での値は実数。 $h$ を自己共役元とし、$\omega(h)=\alpha+i\beta$（$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$）とおく。実数 $t$ について $(h+it1)^*(h+it1)=h^2+t^21$ なので、$C^*$-恒等式から
$$ \alpha^2+(\beta+t)^2=|\omega(h+it1)|^2\leq\|h+it1\|^2=\|h^2+t^21\|\leq\|h\|^2+t^2 $$
である。整理すると $\alpha^2+\beta^2+2\beta t\leq\|h\|^2$ がすべての実数 $t$ で成り立つので、$\beta=0$ である。
正の元での値は $0$ 以上。 $p\geq0$ とし、$p\neq0$ なら $p$ を $p/\|p\|$ に替えて $\|p\|\leq1$ としてよい。lem-gn-positive-criterion（$c=1$）により $\|1-p\|\leq1$ なので
$$ |1-\omega(p)|=|\omega(1-p)|\leq\|1-p\|\leq1 $$
である。前段により $\omega(p)$ は実数なので $\omega(p)\geq0$ である。
thm-gn-positive により $a^*a\geq0$ だから $\omega(a^*a)\geq0$ であり、$\omega(1)=1$ と合わせて $\omega$ は状態である。$\square$

$h:=a^*a$ とおき、$\mathcal{B}$ を $1$ と $h$ の多項式全体の閉包とする。$h$ は自己共役なので、連続汎関数計算 $f\mapsto f(h)$ は $C(\sigma(h))$ から $\mathcal{A}$ への等長な単位的 $*$-準同型である（Banach環とC*-環のスペクトル理論 の定理「連続汎関数計算」）。その像は完備で多項式 $p(h)$ をすべて含み、多項式は Weierstrassの近似定理 により $C(\sigma(h))$ で稠密なので（$f\in C(\sigma(h))$ を区間 $[-\|h\|,\|h\|]$ 上の連続関数に、$\sigma(h)$ の外の各区間で 1 次式（両端の区間では定数）として延長してから近似する）、像は $\mathcal{B}$ に等しい。
自己共役元では $r(h)=\|h\|$ で $\sigma(h)$ はコンパクトなので、$|\lambda_0|=\|h\|$ となる $\lambda_0\in\sigma(h)$ がある。thm-gn-positive により $\lambda_0\geq0$、したがって $\lambda_0=\|h\|=\|a\|^2$ である。$\mathcal{B}$ 上の線形汎関数を
$$ \chi(f(h)):=f(\lambda_0)\qquad(f\in C(\sigma(h))) $$
で定めると、汎関数計算の等長性から $|\chi(f(h))|\leq\|f\|_\infty=\|f(h)\|$ であり、$\chi(1)=1$ なので $\|\chi\|=1$ である。Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」（スカラーが複素数の場合）を部分空間 $\mathcal{B}\subset\mathcal{A}$ に当てはめると、$\mathcal{B}$ 上で $\chi$ と一致し $\|\omega\|=\|\chi\|=1$ を満たす連続線形汎関数 $\omega\colon\mathcal{A}\to\mathbb{C}$ が得られる。$\omega(1)=\chi(1)=1$ なので、lem-gn-norm-one-positive により $\omega$ は状態であり、$\omega(a^*a)=\chi(h)=\lambda_0=\|a\|^2$ である。$\square$

$S$ を $\mathcal{A}$ 上の状態全体とする（prop-gn-norming-state により空でない）。各 $\omega\in S$ について、GNS構成 の定理「GNS構成」により、Hilbert 空間 $H_\omega$、表現 $\pi_\omega\colon\mathcal{A}\to B(H_\omega)$、単位ベクトル $\Omega_\omega$ で $\omega(a)=\langle\Omega_\omega,\pi_\omega(a)\Omega_\omega\rangle$ を満たすものがある。その証明のとおり $\|\pi_\omega(a)\|\leq\|a\|$ である。
直和をとる。 $H$ を、$\xi=(\xi_\omega)_{\omega\in S}$（$\xi_\omega\in H_\omega$）で $\sum_\omega\|\xi_\omega\|^2<\infty$ を満たすもの全体とし、内積を $\langle\xi,\eta\rangle:=\sum_\omega\langle\xi_\omega,\eta_\omega\rangle$ で定める。これは Hilbert 空間である（各成分ごとの Cauchy 列の極限をとる、$\ell^2$ の完備性と同じ議論）。$a\in\mathcal{A}$ について
$$ (\pi(a)\xi)_\omega:=\pi_\omega(a)\xi_\omega $$
とおくと、$\sum_\omega\|\pi_\omega(a)\xi_\omega\|^2\leq\|a\|^2\sum_\omega\|\xi_\omega\|^2$ なので $\pi(a)\in B(H)$、$\|\pi(a)\|\leq\|a\|$ である。積・対合・単位元の保存は成分ごとに成り立つので、$\pi$ は表現である。
等長であること。 $a\in\mathcal{A}$ を任意にとり、prop-gn-norming-state で $\omega(a^*a)=\|a\|^2$ となる状態 $\omega$ を選ぶ。$\omega$ 成分だけが $\Omega_\omega$ で他は $0$ のベクトルを $\xi$ とすると $\|\xi\|=1$ で
$$ \|\pi(a)\xi\|^2=\|\pi_\omega(a)\Omega_\omega\|^2=\langle\Omega_\omega,\pi_\omega(a^*a)\Omega_\omega\rangle=\omega(a^*a)=\|a\|^2 $$
である。よって $\|\pi(a)\|\geq\|a\|$ で、上の評価と合わせて $\|\pi(a)\|=\|a\|$ である。$\square$