Bezout環

概要

前提知識: 可換環, イデアル, 整域, 単元, 主イデアル整域
$\mathbb Z$ や体上の一変数多項式環 $k[x]$ では、任意のイデアルはただ一つの元で生成される（主イデアル整域、PID）。この性質は Euclid の互除法を支える一方、ネーター性（イデアルが有限生成であること）と表裏一体であり、非ネーター的な環では意味を持たない形で要求される。
Bezout環は、この「単項生成性」を有限生成イデアルだけに絞って要求することで、ネーター性を仮定せずに定式化した概念である。PIDはBezout環のうちネーター的なものにちょうど一致する（後述の性質）。逆に言えば、Bezout環はPIDより真に広いクラスであり、付値環や代数的整数全体の環のように、ネーター性を持たない自然な例を多数含む。

定義

Bezout環

可換環 $R$（単位元 $1$ をもつ）が Bezout環（Bezout ring）であるとは、$R$ の任意の有限生成イデアルが単項イデアルであること、すなわち任意の整数 $n\ge1$ と $a_1,\ldots,a_n\in R$ に対し、ある $d\in R$ が存在して
$$ (a_1,\ldots,a_n)=(d) $$
となることをいう。$R$ がさらに整域であるとき、Bezout整域（Bezout domain）という。

二元生成の場合への還元で十分である

定義は任意個の生成元について述べているが、実は二元生成イデアル $(a,b)$ がすべて単項的であることを確かめれば十分である。これは後述の性質1（帰納法による還元）で証明する。したがって以下では専ら $(a,b)=(d)$ の形を調べる。

流儀の違い：環か整域か

文献によっては「Bezout環」という語を整域の場合に限定して定義し（Cohnの用法など）、一般の可換環（零因子を許す場合）まで含める流儀と区別しないことがある。本サイトでは記事名が「環」であることに合わせ、上の定義を一般の可換環に対して与え、整域の場合を「Bezout整域」と呼び分ける。ただし、以下の具体例・性質の大半は整域の場合に固有の内容であり、零因子を許す一般の場合は最後に短く触れるにとどめる。

直感

Bezout環の条件は「どの二元 $a,b$ を持ってきても、$a,b$ の最大公約数が存在し、しかもそれが $ax+by$ という線形結合の形で書ける」という主張とほぼ同じことを述べている（性質2で正確に証明する）。$\mathbb Z$ における Bezout の等式 $\gcd(a,b)=ax+by$（Bézoutの等式参照）を、環一般に対する定義的性質として抜き出したのがBezout環である。
ネーター性（イデアルが有限生成であること自体）と単項生成性は独立の条件である。PIDはこの両方を仮定する。Bezout環はネーター性を仮定しない分だけ条件が弱く、そのぶん適用範囲が広い。実際、後述するように付値環や代数的整数全体の環は典型的に非ネーター的なBezout整域であり、PIDの枠には収まらない。

例

主イデアル整域はすべてBezout環である

$R$ が主イデアル整域（PID）であるとは、$R$ が整域であり、かつ任意のイデアルが単項イデアルであることをいう（主イデアル整域参照）。特に任意の有限生成イデアルも単項イデアルであるから、$R$ は定義よりただちにBezout環（Bezout整域）である。$\mathbb Z$、体 $k$ 上の一変数多項式環 $k[x]$、体 $k$ 自身はいずれもPIDであり、したがってBezout整域の最も基本的な例を与える。

付値環

整域 $R$（分数体を $K$ とする）が付値環であるとは、任意の $x\in K^{\times}$ に対し $x\in R$ または $x^{-1}\in R$ の少なくとも一方が成り立つことをいう。これは $R$ のイデアル全体が包含関係で全順序をなすことと同値である。付値環は常にBezout整域である（証明は性質4）。付値環は一般には非ネーター的であり（値群が $\mathbb Z$ でない場合など）、その場合はPIDではないBezout整域の例を与える。ネーター的な付値環（離散付値環、DVR）はPIDの特別な場合（極大イデアルが単項で、その冪だけが真のイデアルであるような局所PID）に一致する。

代数的整数全体のなす環

$\overline{\mathbb Z}$ を、複素数体 $\mathbb C$ の中で $\mathbb Q$ 上代数的な整数（すなわちある首項係数 $1$ の整数係数多項式の根になる複素数）の全体とする。$\overline{\mathbb Z}$ は $\mathbb C$ の部分環であり、各代数体の整数環 $\mathcal O_K$（$K/\mathbb Q$ 有限次拡大）すべての和集合として得られる。$\overline{\mathbb Z}$ はBezout整域である（各 $\mathcal O_K$ がDedekind整域であり、有限個のイデアル類はより大きな整数環へ拡張すると単項化できることによる）が、$\overline{\mathbb Z}$ はネーター環ではない（真に増大するイデアルの無限列が存在する）。したがってPIDではない非ネーター的なBezout整域の代表例である。

反例：$\mathbb Z[x]$ はBezout環でない

整数係数多項式環 $\mathbb Z[x]$ は整域だが、Bezout環ではない。イデアル $(2,x)\subset\mathbb Z[x]$ が単項イデアルでないことを示す。
$(2,x)$ が単項、すなわち $(2,x)=(f)$ となる $f\in\mathbb Z[x]$ が存在すると仮定する。$f\mid 2$（定数多項式 $2$）だから、次数を比較して $f$ は定数多項式であり、$f\in\{\pm1,\pm2\}$ である（$\mathbb Z$ が整域であることと次数の加法性による）。また $f\mid x$ でもあるから、$f=\pm2$ なら $x/(\pm2)\notin\mathbb Z[x]$ となり矛盾する。ゆえに $f=\pm1$ であり、$(f)=\mathbb Z[x]$（環全体）でなければならない。
しかし評価写像 $\varphi\colon\mathbb Z[x]\to\mathbb Z/2\mathbb Z,\ g(x)\mapsto g(0)\bmod2$ を考えると、$(2,x)\subset\ker\varphi$ であり $\ker\varphi\ne\mathbb Z[x]$（例えば定数多項式 $1$ は $\ker\varphi$ に属さない）。したがって $(2,x)\ne\mathbb Z[x]$ となり、$(f)=\mathbb Z[x]$ に矛盾する。よって $(2,x)$ は単項イデアルではなく、$\mathbb Z[x]$ はBezout環ではない。
対比すると、$\mathbb Z$ 自身、$k[x]$（$k$ は体）、付値環はいずれも上の例3件でBezout環であることを見た。$\mathbb Z[x]$ が外れる原因は、二変数的な構造（整数の素元 $2$ と多項式の素元 $x$ という「独立な二方向」の割り切れなさ）が同時に存在し、それらを結ぶ単一の生成元を持てないことにある。

性質

有限生成イデアルの単項性は二元生成の場合に帰着する

可換環 $R$ において、任意の $a,b\in R$ に対し $(a,b)$ が単項イデアルであるならば、任意の有限個の元 $a_1,\ldots,a_n\in R$（$n\ge1$）に対し $(a_1,\ldots,a_n)$ も単項イデアルである。

有限生成イデアルの単項性は二元生成の場合に帰着する（証明）

$n$ に関する数学的帰納法で示す。$n=1$ のときは $(a_1)$ 自身が単項イデアルであり自明。
$n-1$ 個の元に対して主張が成り立つと仮定し、$a_1,\ldots,a_n$ を考える。帰納法の仮定より $(a_1,\ldots,a_{n-1})=(c)$ となる $c\in R$ が存在する。仮定（二元生成の場合の単項性）を $c,a_n$ に適用すると、$(c,a_n)=(d)$ となる $d\in R$ が存在する。
このとき
$$ (a_1,\ldots,a_n)=(a_1,\ldots,a_{n-1})+(a_n)=(c)+(a_n)=(c,a_n)=(d) $$
である（イデアルの和に関する結合律と、$(a_1,\ldots,a_{n-1})=(c)$、$(c,a_n)=(d)$ による）。したがって $(a_1,\ldots,a_n)$ も単項イデアルであり、帰納法が完了する。

Bezout環はGCD整域である

$R$ をBezout整域とする。任意の $a,b\in R$ に対し、$(a,b)=(d)$ を満たす $d\in R$ が存在し、この $d$ は次の意味で $a,b$ の最大公約数（gcd）である。

$d\mid a$ かつ $d\mid b$（$d$ は公約数）。
$c\mid a$ かつ $c\mid b$ を満たす任意の $c\in R$ に対し $c\mid d$（$d$ は公約数の中で最大）。
さらに $d=ax+by$ を満たす $x,y\in R$ が存在する（Bezoutの等式）。特に $R$ はGCD整域（任意の二元が最大公約数を持つ整域）である。

Bezout環はGCD整域である（証明）

$R$ はBezout整域だから、イデアル $(a,b)$ は単項であり、$(a,b)=(d)$ を満たす $d\in R$ が取れる。
$d\in(a,b)$ であることから Bezout の等式が従う。 $d\in(d)=(a,b)$ より、ある $x,y\in R$ が存在して $d=ax+by$ と書ける。
$d$ が公約数であること（主張1）。 $a,b\in(a,b)=(d)$ だから、$a=de_1$、$b=de_2$ を満たす $e_1,e_2\in R$ が存在する。すなわち $d\mid a$ かつ $d\mid b$ である。
$d$ が最大であること（主張2）。 $c\mid a$、$c\mid b$ とする。このとき $a,b\in(c)$ であるから、$(a,b)\subset(c)$ である。一方 $(a,b)=(d)$ だから $d\in(c)$、すなわち $c\mid d$ である。
以上より $d$ は $a,b$ の最大公約数であり、しかもBezoutの等式 $d=ax+by$ を満たす。$a,b\in R$ は任意だったから、$R$ の任意の二元は最大公約数を持ち、$R$ はGCD整域である。

ネーター的なBezout整域はPIDである

$R$ をネーター的なBezout整域とする。このとき $R$ は主イデアル整域（PID）である。

ネーター的なBezout整域はPIDである（証明）

$R$ がネーターであることは、$R$ の任意のイデアルが有限生成であることと同値である（ネーター環の標準的な特徴づけ。イデアルの昇鎖が有限生成でないイデアルの存在から作れることによる。詳細はNoether環に譲る）。
$I\subset R$ を任意のイデアルとする。$R$ はネーターだから、$I$ は有限生成である。すなわちある $n\ge1$ と $a_1,\ldots,a_n\in R$ が存在して $I=(a_1,\ldots,a_n)$ と書ける。
$R$ はBezout整域だから、定義より有限生成イデアル $I=(a_1,\ldots,a_n)$ は単項イデアルである。すなわちある $d\in R$ が存在して $I=(d)$ となる。
$I$ は任意のイデアルであったから、$R$ の任意のイデアルは単項イデアルである。$R$ は整域でもあるから、$R$ はPIDである。

PIDはネーター的なBezout整域とちょうど一致する

整域 $R$ について、$R$ がPIDであることと、$R$ がネーター的なBezout整域であることは同値である。

（系の証明）PID $\Rightarrow$ ネーター的なBezout整域は、PIDでは任意のイデアルが単項であり有限生成でもあるから、$R$ はネーターかつBezout整域である。逆は性質3（ネーター的なBezout整域はPID）そのものである。

付値環はBezout整域である

$R$ を（分数体 $K$ をもつ）付値環とする。すなわち任意の $x\in K^{\times}$ に対し $x\in R$ または $x^{-1}\in R$ が成り立つとする。このとき $R$ はBezout整域である。

付値環はBezout整域である（証明）

性質1（二元生成への帰着）より、任意の $a,b\in R$ に対し $(a,b)$ が単項イデアルであることを示せばよい。
$a=0$ かつ $b=0$ のときは $(a,b)=(0)$ で単項。$a,b$ の少なくとも一方が非零のときを考える。$a=0$ なら $(a,b)=(b)$ で単項だから、以下 $a,b$ がともに非零の場合を示せばよい（片方が $0$ の場合はもう一方だけで単項）。
$a,b\in R\setminus\{0\}\subset K^{\times}$ だから、$K^{\times}$ の元 $x:=a/b$ を考えられる。付値環の定義より $x\in R$ または $x^{-1}\in R$ の少なくとも一方が成り立つ。
$x=a/b\in R$ の場合。 $a=xb$ より $a\in(b)$ であり、したがって $(a,b)\subset(b)$。一方 $b\in(a,b)$ は定義より明らかで $(b)\subset(a,b)$ は $b\in(a,b)$ から従う。ゆえに $(a,b)=(b)$ であり、単項イデアル（生成元 $b$）である。
$x^{-1}=b/a\in R$ の場合。 同様に $b=x^{-1}a\in(a)$ より $(a,b)=(a)$ であり、単項イデアル（生成元 $a$）である。
いずれの場合も $(a,b)$ は単項イデアルであり、性質1により $R$ の任意の有限生成イデアルは単項イデアルである。したがって $R$ はBezout整域である。

零因子を許す一般のBezout環の例

整域とは限らないBezout環の最も簡単な例は、有限個の体の直積 $F_1\times\cdots\times F_r$ である。このような環は（有限個の元しか持たないイデアルの組み合わせしかないため）ネーター的であり、任意のイデアルが単項であることが直接確かめられる（実際は主イデアル環、PIRの例である）。零因子を許す場合のBezout環論の実質的な内容（イデアルの構造・行列の標準形理論など）は、本記事の対象を超えるため、ここでは例の存在の指摘にとどめる。

階層の整理（PID・Bezout整域・GCD整域・付値環）

以上の性質を、整域の圏における包含関係として整理する。矢印 $A\subsetneq B$ は「$A$ に属する整域は必ず $B$ にも属するが、逆は成り立たない」ことを表す。
$$ \text{PID}\ \subsetneq\ \text{Bezout整域}\ \subsetneq\ \text{GCD整域} $$
第一の包含は「性質1〜3の帰結」節・「PIDはネーター的なBezout整域とちょうど一致する（系）」であり、真に狭いことは代数的整数全体の環 $\overline{\mathbb Z}$（例3、ネーター的でないためPIDでない）が示す。第二の包含は性質2（Bezout環はGCD整域である）であり、真に狭いことは $k[x,y]$（$k$ は体。UFDゆえGCD整域だが、$(x,y)$ が単項でないためBezout整域ではない）が示す。
付値環はこの鎖の中に単純には収まらない。付値環は常にBezout整域だが（性質4）、ネーター的とは限らないためPIDとは限らない。逆にBezout整域が付値環とは限らない（例えば $\mathbb Z$ はBezout整域＝PIDだが、$2,3\in\mathbb Z$ はどちらも他方を割らないため、$\mathbb Z$ のイデアル全体は全順序をなさず付値環ではない）。

概念	定義条件	ネーター的な場合	代表例
主イデアル整域（PID）	任意のイデアルが単項	（常にネーター的）	$\mathbb Z$、$k[x]$
Bezout整域	有限生成イデアルが単項	PIDに一致（系1）	$\mathbb Z$、$\overline{\mathbb Z}$、付値環
GCD整域	任意の二元が最大公約数をもつ	UFD（一意分解整域）に一致	$k[x,y]$、任意のUFD
付値環	イデアル全体が包含で全順序	離散付値環（DVR）＝局所PID	$p$ 進整数環 $\mathbb Z_p$、体上の形式的Laurent級数の付値環