André–Quillenホモロジー

同義語：André–Quillen homology

概要

前提知識: 可換環、加群、微分加群、射影加群、完全列、余接複体

余接複体は、環の生成元とその間の関係を全次数で記録する。André–Quillen ホモロジーは、その複体に係数加群をテンソルして得るホモロジーである。対応するコホモロジーは、同じ複体から係数加群への Hom を取って得る。環が Noether であることも、係数加群が平坦であることも定義には必要ない。
次数零は微分加群と導分を回収する。次数一のコホモロジーは平方零拡大を分類する。高次数では関係式の関係まで含めた自由解像が必要であり、一つの多項式表示の二項複体をそのまま高次数の定義にしてはいけない。本記事では全次数の構成と、使用できる解像を取り替えても群が変わらないことを証明する。低次数の拡大分類の具体計算は余接複体と平方零拡大に譲り、ここでは自由解像と比較の部分を詳しく扱う。

定義と次数の約束

環は可換単位環とし、$A\to B$ を環準同型、$M$ を任意の $B$ 加群とする。余接複体の非負鎖モデルを
$$ L_n=L_{B/A,n},\qquad d:L_n\longrightarrow L_{n-1} $$
と書く。各 $L_n$ は射影 $B$ 加群となるように選ぶ。負次数の項は零である。

André–Quillen ホモロジーとコホモロジー

$n\ge0$ に対し
$$ D_n(B/A;M)=H_n(L_{B/A}\otimes_B M),\qquad D^n(B/A;M)=H^n\operatorname{Hom}_B(L_{B/A},M) $$
を定める。コチェイン微分は $\delta(f)=f\circ d$ とする。$H_n(A,B;M)$、$H^n(A,B;M)$ と書く流儀もあり、本記事ではそれぞれ同じ群を意味する。

テンソルを取る前の $L$ は射影項の複体である。しかし $L_n\otimes M$ が射影であることは要求しない。係数 $M$ の非平坦性も、この複体のホモロジーに含まれる。コホモロジーについても $M$ の入射解像を別に選ぶ必要はない。下に示す比較は鎖ホモトピー同値であり、任意の $M$ にテンソルまたは Hom を適用した後にも保たれる。MatCA §43。

標準多項式解像を作る

任意の $A$ 代数 $C$ に対して、その台集合の全元を添字にした多項式環
$$ G(C)=A[X_c:c\in C] $$
を取る。変数の集合が無限でも、多項式一つは有限個の変数しか含まない。評価写像 $\varepsilon_C:G(C)\to C$ は $X_c\mapsto c$ である。さらに $\Delta_C:G(C)\to G^2(C)$ を $X_c\mapsto X_{X_c}$ で定める。生成元の像を計算すると
$$ \varepsilon_G\Delta=1,\qquad G\varepsilon\Delta=1,\qquad \Delta_G\Delta=G\Delta\Delta $$
が成立する。
$P_n=G^{n+1}(B)$ と置く。$n\ge1$ の顔写像と退化写像は
$$ d_i=G^i\varepsilon G^{n-i},\qquad s_i=G^i\Delta G^{n-i} $$
で定め、次数零の増大は $\varepsilon_B:P_0\to B$ とする。上の三等式と、異なる位置の操作の可換性から単体恒等式が得られる。たとえば $i< j$ では $d_i d_j=d_{j-1}d_i$、$d_i s_j$ は $i=j,j+1$ なら恒等となる。この標準解像は環写像に自然である。

標準解像の加法的完全性

$P\to B$ の増大 Moore 複体は完全である。

$N_nP=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i$、微分を $d_0$ とする。$d_0^2=d_0d_1$ から、この部分上で $d_0^2=0$ である。台集合の写像 $t_n:P_n\to P_{n+1}$ を $z\mapsto X_z$ で定めると
$$ d_0t_n=1,\qquad d_{i+1}t_n=t_{n-1}d_i $$
となる。この $t_n$ は加法的ではないので、鎖複体の収縮と呼んではいけない。
Moore サイクル $z$ に対し $w=t_n(z)-t_n(0)$ と置く。全ての $i\ge1$ について $d_iw=0$、かつ $d_0w=z$ である。次数零でも $\varepsilon z=0$ なら同じ計算が成立する。従って全サイクルは境界であり、増大核も境界となる。$\varepsilon$ の全射性は各 $b\in B$ の変数 $X_b$ が持ち上げを与えることによる。

この証明は環の加法群について行う。多項式環そのものを自由加群解像と取り違えない。$A$ が零環なら $B$ も零環となり、以下の加群と群は全て零である。この端点では形式的な変数の独立性を使う必要はない。

微分と正規化

$A[T]$ の微分加群は $dT$ を基底とする自由加群である。多項式の通常の形式微分は Leibniz 則を満たし、任意の導分は各変数の値により一意に定まる。環写像の微分は $dt\mapsto d(f(t))$ で定まり、合成に両立する。
各次数で
$$ E_n=\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n}B $$
を取ると、顔と退化の微分により単体 $B$ 加群となる。$E_n$ は自由加群である。一般の単体加群 $E$ について
$$ N_nE=\bigcap_{i=1}^n\ker d_i,\qquad q_n=(1-s_0d_1)(1-s_1d_2)\cdots(1-s_{n-1}d_n) $$
と置く。積は右から作用する。右端から順に $d_n,d_{n-1},\ldots,d_1$ を殺す。既に消えた高い顔は単体恒等式により戻らないため、$q_n$ の像は $N_nE$ であり、$N_nE$ 上では恒等である。

正規化は射影項を保つ

$E_n$ が自由なら $N_nE$ は射影である。正規化は任意係数とのテンソルと交換する。

$q_n^2=q_n$ なので $N_nE$ は $E_n$ の直和因子である。自由加群の直和因子は、全射に対する持ち上げを包含と射影の合成で作れるから射影である。直和分裂は任意の $M$ とのテンソルで保たれる。同じ顔消去の計算を $E\otimes M$ に適用すると $N_n(E\otimes M)=N_n(E)\otimes M$ となる。

これで $L=N(E)$ は定義に必要な非負射影鎖モデルになる。有限生成とは主張していない。標準解像では $B$ の全元を変数に使うため、有限型代数の場合でも項の階数は一般に大きい。

退化部分を除いてよい理由

非正規化複体の微分は $\partial=\sum_i(-1)^id_i$ である。退化部分 $D_n=\sum_i\operatorname{im}s_i$ は部分複体となる。$\partial s_i$ の二つの恒等項は逆符号で消え、他の項は退化写像を通るからである。上の $q_n$ は $D_n$ を殺す。実際、$s_i y$ に高い顔の補正を施しても $s_i$ の像に留まり、補正 $1-s_id_{i+1}$ で零になる。従って $E_n=N_nE\oplus D_n$、商複体は $N(E)$ に一致する。

退化複体の収縮と全係数比較

上の多項式微分モデルでは非正規化と正規化の両複体は鎖ホモトピー同値である。

$D^p_n=\sum_{i\le\min(p,n-1)}\operatorname{im}s_i$ と置く。顔・退化恒等式から $D^p$ は部分複体となる。商 $D^p/D^{p-1}$ 上で $(-1)^ps_p$ は収縮である。$x=s_py$ に対し $\partial s_px+s_p\partial x$ を計算すると、高い顔は対になって消え、低い顔は $D^{p-1}$ に入り、$j=p$ の項だけ $(-1)^px$ として残る。
次数 $n$ の退化サイクルは $D^{n-1}$ に属する。上の収縮で境界を引いて $D^{n-2}$ へ下げ、有限回繰り返すと零になる。従って $D$ は完全である。これは無限フィルトレーションの収束を仮定する議論ではない。
各 $D_n$ は自由 $E_n$ の直和因子で射影であり、$D_0=0$ である。下端を持つ完全射影複体は収縮できる。最初の全射 $D_2\to D_1$ を分裂し、核を射影直和因子として、次の全射も順に分裂する。こうして $D_n=Z_n\oplus Z_{n-1}$、微分は後半から前次数の前半への恒等、収縮は前半から次次数の後半への恒等となる。よって $dh+hd=1$。テンソルおよび Hom に同じ $h$ を適用しても収縮恒等式は保たれる。任意係数で全次数群が一致する。

単なる擬同型（全次数のホモロジー同型を誘導する鎖写像）に Hom を適用すれば常に擬同型になる、という命題は使っていない。ここで全係数を許す理由は、射影項の明示分裂から鎖ホモトピー同値を作ったことである。

自由セル解像と境界の持ち上げ

標準解像のほかに、自由セルを次元順に付加して作る解像を使える。以下、次に述べる形の自由セルの付加を次元順に繰り返して得られ、増大 Moore 複体が完全な単体 $A$ 代数 $P\to B$ を許容される自由セル解像と呼ぶ。標準解像も後で見るとおり自由セル表示を持つので、標準解像と許容される自由セル解像をあわせて許容される解像と呼ぶ。次数 $r$ のセル $v$ の顔 $b_0,\ldots,b_r$ を指定する。これらは二つの顔を取る順序が一致する条件を満たす必要がある。次数 $k\ge r$ に、単調全射 $\alpha:[k]\to[r]$ ごとに変数 $v_\alpha$ を置く。退化は全射の合成で定める。顔を取って全射が保たれれば対応する変数へ、全射でなくなれば唯一欠けた頂点の指定境界の退化像へ送る。
二つの顔の合成は、残る頂点集合によって分類できる。全頂点が残れば同じ変数、一つ欠ければ同じ境界、二つ欠ければ指定境界の整合条件により一致する。従ってこの付加は単体代数を作る。各次数は以前の環上の多項式拡大であるが、顔の像が単なる変数である必要はない。
最初に $B$ の全元を次数零セルにして増大を全射にする。次数零の全増大核を、顔 $(z,0)$ の一次セルで殺す。次に全 $n$ 次 Moore サイクルを顔 $(z,0,\ldots,0)$ の $(n+1)$ 次セルで殺す。各段はそれより低い次数を変えず、各次数は有限の次元段階で安定する。この構成で増大完全な自由セル解像が得られる。

整合する全境界の充填

増大 Moore 複体が完全な単体代数 $Q\to B$ では、整合する $n+1$ 個の顔 $b_0,\ldots,b_n$ は一つの $x\in Q_n$ の顔になる。

$x=0$ から始め、$i=n,n-1,\ldots,1$ の順に
$$ x\longmapsto x+s_{i-1}(b_i-d_ix) $$
と補正する。$d_is_{i-1}=1$ なので現在の顔が合う。既に合った $j>i$ の顔に対する補正は、境界の整合条件と単体恒等式により零となる。
最後の差 $c=b_0-d_0x$ は Moore サイクルである。$n=1$ では増大核に入る。完全性により $c=d_0z$、全正の顔が零である $z\in Q_n$ を選べる。$x+z$ は全顔を指定通りに持つ。次数零では増大全射で直接持ち上げる。

この充填を自由セルの上の生成元ごとに行うと、任意の自由セル解像から増大完全な対象への比較写像を作れる。全退化変数の像は上の生成元の退化像で強制し、全射の顔の規則により整合する。無限個のセルでも一つの多項式は有限台なので同じ手順が働く。

標準解像も許容される自由セル表示を持つ

標準 $P_n$ の生成元ラベルを $T_n$ とする。退化はラベルの単射 $\sigma_i:T_{n-1}\to T_n$ を誘導し、正の顔が左逆を与える。二つの退化像の交叉を計算する。$\sigma_i a=\sigma_jb$、$i< j$ なら、正の顔を適用して
$$ a=\sigma_{j-1}c,\qquad b=\sigma_i c $$
となる共通のラベル $c$ を得る。隣接した $j=i+1$ でも、もう一つの正の顔を使えば同じ式になる。
退化を外して次元を下げれば、有限回で非退化ラベルに達する。退化の交換関係でその合成を一つの単調全射に直せる。この表示が一意であることも交叉の計算から従う。全射の隣接重複位置の集合は、ラベルがどの $\sigma_i$ の像に入るかという内在的集合に等しい。余分な重複位置があれば交叉式で既存の退化を一つずつ外し、最後の非退化ラベルが退化像に入る矛盾を得る。重複位置は全射を一意に決め、左逆により最後の非退化ラベルも一意に回収できる。
従って各非退化生成元をセルとし、その全退化を置けば、標準解像の多項式基底と顔・退化をそのまま回収する。これにより標準解像と自由セル解像の間には、両方向の比較写像がある。単に各次数が多項式であるという性質だけから、このセル表示を任意の単体代数に与えたわけではない。

比較の選択が群に影響しないこと

許容される解像に関する独立性

標準解像または上の自由セル解像を用いて定義した $D_n,D^n$ は、全 $n\ge0$、任意の係数加群について自然同型となる。比較写像の選択にも依存しない。

同じ増大を保つ二比較 $f,g:P\to Q$ を取る。次数 $n$ で単調写像 $\tau:[n]\to[1]$ の各々に $P_n$ のコピーを置き、その余積を円柱とする。多項式生成元は対 $(v,\tau)$ で添字付けられる。顔は位置削除、退化は位置重複と元の顔・退化を同時に施す。
定数零と定数一のコピーには $f,g$ の値を指定する。退化生成元の像も低次数から強制される。二つの退化表示の交叉は、共通の二重退化から得られるため整合する。端点と退化の交叉では、退化後の頂点列が定数なら元の列も定数である。残る自由生成元には上の境界充填を使う。次元順にこの構成を行い、円柱から $Q$ への写像を得る。
円柱から余接加群へ微分を施す。零を $i+1$ 個、一を残りに置いた頂点列と $s_i$ を用いて、次数を一つ上げる $B$ 線型作用素 $h_i$ を得る。端は $d_0h_0=g$、$d_{n+1}h_n=f$、中間は $d_ih_i=d_ih_{i-1}$ となる。交互和 $T_n=\sum_i(-1)^ih_i$ を取ると
$$ \partial T+T\partial=g-f. $$
顔が切断の左にある項は $T\partial$ と相殺し、右にある項も同様である。隣接する中間顔は上の等式で相殺し、両端だけが残る。この計算は整数の符号のみを使い全標数で成立する。
正規化射影 $q$ と包含 $\iota$ は鎖写像なので、$K=qT\iota$ は $dK+Kd=g-f$ を満たす。自由セル解像の円柱でも、二つの位置を削除する共通二重退化の計算が同じ充填を許す。両方向比較の合成と恒等は同じ増大を保つため、このホモトピーで結ばれる。よって余接複体は鎖ホモトピー同値である。$K\otimes1$ と $K$ への前合成は、任意係数の鎖・コチェインホモトピーを与え、全次数群と誘導写像は一致する。

本定理の「解像」は標準または自由セルという具体的な構造を含む。任意の次数別多項式単体対象が自動的に比較の持ち上げを許す、という命題は証明していない。標準解像の自然性と比較の選択独立性を組み合わせることで、群の自然な意味が定まる。

自然性と係数長完全列

固定した $A\to B$ では、係数写像 $M\to M'$ はホモロジー・コホモロジー両方に順向きの写像を与える。一方、環の可換正方形から余接複体の写像が得られると、ホモロジーは順向き、コホモロジーは Hom の前合成により反向きとなる。この二つの自然性を区別する。
短完全列 $0\to M'\to M\to M''\to0$ に対し、$L_n$ は自由加群の直和因子である。自由加群とのテンソルは直和の完全性により完全であり、直和分裂から射影加群も平坦である。Hom の完全性は射影の持ち上げ性による。従って両係数複体に短完全列ができ、全次数の長完全列が得られる。
境界は、商複体のサイクルを中間へ持ち上げ、微分し、核の複体へ戻す操作である。持ち上げを変えると境界が変わるだけで、サイクル代表を変えても同じ群の元となる。完全性はこの操作を逆に追って確認できる。係数加群の有限性・平坦性・射影性はここでも不要である。

低次数と計算例

$P_0=A[X_b]$、$P_1=A[Y_f:f\in P_0]$ の二つの顔は $Y_f\mapsto f$ と $Y_f\mapsto X_{\varepsilon f}$ である。微分後の差は $df-dX_{\varepsilon f}$ を与える。$f=0,a,X_b+X_c,X_bX_c$ を代入すると、定数の微分零、加法性、Leibniz 則を得る。逆に任意の導分はこれら全ての関係を消す。従って
$$ D_0(B/A;M)=\Omega_{B/A}\otimes_BM,\qquad D^0(B/A;M)=\operatorname{Der}_A(B,M). $$
次数一の同定 $D^1(B/A;M)\simeq\operatorname{Exal}_A(B,M)$ の関係式と分裂の計算は余接複体にある。高次数の構成はこの低次数同定を変えない。

多項式環の全次数

$B=A[T_i:i\in I]$ なら $D_n=0$、$D^n=0$ が $n>0$ で成立し、次数零は $\bigoplus_iM$ と $\prod_iM$ である。

$B$ 自身を全次数で一定に置くと、次数零の自由セルだけからなる許容される解像となる。その微分の単体加群は一定な $\bigoplus_iB\,dT_i$ で、正規化の正次数は零である。比較独立性で標準解像と同じ群を与える。テンソルは直和、Hom は積となるため、無限個の変数の場合にも両者を区別する。

平坦係数への無断限定に対する反例

$A=\mathbb Z$、$B=\mathbb Z[T]$、$M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ を評価 $T\mapsto0$ で $B$ 加群とする。$M$ は $\mathbb Z$ 上平坦でない。実際 $2:\mathbb Z\to\mathbb Z$ にテンソルすると零写像になる。それでも上の計算により $D_0=M$、正次数は零となる。定義を平坦係数に狭めると、この基本例を取り落とす。

一方、同じ非平坦係数を持つことだけで正次数が必ず非零になるわけでもない。群は環写像と複体の両方に依存する。単体次数と係数の射影解像の次数を混同しない。

二項表示との境界

体 $k$ と $B=k[x]/(x^2)$ について、低次数余接表示の微分は $B\to B\,dx$、$1\mapsto2x\,dx$ である。標数二ではこの微分は零となり、標数が二でなければ $2$ は可逆である。従って次数零や一の計算にも標数が現れる。この二項表示の低次数比較は、全次数の自由解像を二項で置き換える一般原理ではない。
環三角 $A\to B\to C$ から得る全次数の推移列は Jacobi–Zariski完全列にまとめる。通常の微分加群の列だけでは、途中の境界や高次数項を復元できない。また、特定次数の消滅から正則性・完全交叉性を導く判定は、ここで構成した群とは別の定理である。構成の完全性を、それらの判定の証明に代えてはいけない。