Kummer完全列

全射であっても、個々の $U$ について $\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)$ が全射とは限らない。被覆を取り替えてよい、というのが定義の要点である。逆に、すべての $U$ で切断ごとに全射なら、$\{U \to U\}$ 自身を被覆に取れるので全射である。
したがって「全射である」と「大域切断に $n$ 乗根がある」は別の主張である。後述の例がその差を具体的に示す。

本記事は次を既知として使う。いずれも可換環論・ホモロジー代数・エタール位相の標準的な事実であり、本記事では証明しない。

1. 射がエタールであることは、平坦かつ不分岐かつ局所有限表示であることと同値である StaEtaleFlat StaUnramOmega。
2. $B$ を有限表示な $A$ 代数とする。このとき射 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ が不分岐であることは、相対微分加群 $\Omega^1_{B/A}$ が $0$ であることと同値である StaUnramOmega（有限性の仮定を外すと、この同値は成り立たない場合がある）。
3. モニックな $f \in A[T]$ と $B := A[T]/(f)$ に対し、$\Omega^1_{B/A}$ は $B/(f'(T))$ と（$dT$ の係数として）同型である。ここで $f'$ は形式微分である。これは、$\Omega^1_{A[T]/A}$ が $dT$ を基底とする自由加群であること StaPolyOmega と、剰余環に対する微分加群の完全列 StaConormal から従う。
4. 層の短完全列は、コホモロジーの長完全列を導く StaDerived。
5. 体 $K$ の分離閉包を $K^s$、絶対 Galois 群を $G_K := \mathrm{Gal}(K^s/K)$ とする。$\operatorname{Spec} K$ の小エタール景の上のアーベル層 $\mathcal{F}$ に、離散 $G_K$ 加群 $\mathcal{F}(K^s) := \varinjlim_{L} \mathcal{F}(\operatorname{Spec} L)$（$L$ は $K^s$ に含まれる $K$ の有限次分離拡大をわたる）を対応させると、アーベル層の圏と離散 $G_K$ 加群の圏は同値になる。この同値のもとで $H^i(\operatorname{Spec} K, \mathcal{F})$ は Galois コホモロジー $H^i(G_K, \mathcal{F}(K^s))$ に一致する。とくに $G_m$ は $(K^s)^\times$ に、$\mu_n$ は $K^s$ の中の $1$ の $n$ 乗根の群に対応する。以下 $H^i(K, \mathcal{F}) := H^i(\operatorname{Spec} K, \mathcal{F})$ と書き、$\mathrm{cd}_\ell(K) := \mathrm{cd}_\ell(\operatorname{Spec} K)$ と書く（$\mathrm{cd}_\ell$ の定義はprop-kummer-sequence-cd を見よ。後者は、この同値により $G_K$ の $\ell$ コホモロジー次元と一致する）。StaGalois Mil13
   この一覧のうち、主定理（次節）の証明が使うのは 1〜3 だけであり、4 と 5 は「帰結と使い道」の節でだけ使う（5 は体の場合を Galois コホモロジーの言葉で読むためである）。

lem-kummer-sequence-covering の 1・2・4 は $n$ の可逆性を使っていない。$T$ が可逆であること、$\mathcal{O}_{U'}$ が階数 $n$ の自由加群であること、ファイバーが空でないことは、$n$ が可逆かどうかに関わらず成り立つ。
$n$ の可逆性を直接使うのは 3 だけである。そこで $f' = n T^{n-1}$ が単元であることを言うために使う。この一点が、$U' \to U$ を「有限で平坦なだけの被覆」から「エタール被覆」に変える。
5 は可逆性を直接には使わないが、証明の中で 3（$U' \to U$ がエタールであること）を使うので、3 を通じて可逆性に依存する。3 が成り立たなければ合成 $U' \to X$ はエタールとは限らず、$U'$ は $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の対象になるとは限らない。そうなると $\{U' \to U\}$ を $X_{\mathrm{\acute{e}t}}$ の被覆として使えず、全射性の議論は成り立たない。

上の反例が示したのは、本記事の証明が $n$ の可逆性なしには通らないことである。$p$ 乗写像が全射でないことを示したのではない。証明が通らないことと、命題が偽であることは別である。
実際、$n$ が可逆でなくても結論の側が成り立つ場合がある。$k$ を標数 $p$ の完全体、すなわち任意の元が $p$ 乗であるような体とし、$X := \operatorname{Spec} k$、$n := p$ とする。このとき

• 大域切断の間の写像 $G_m(X) = k^\times \to k^\times$, $x \mapsto x^p$ は、完全体の定義そのものにより全射である。
• 大域切断 $\mu_p(X) = \{\, a \in k^\times \mid a^p = 1 \,\}$ は自明である。標数 $p$ の可換環では $(a-1)^p = a^p - 1$ が成り立つ（$p$ が奇素数なら $(-1)^p = -1$、$p = 2$ なら $-1 = 1$ だから、どちらの場合も符号は合う）。$a^p = 1$ なら $(a-1)^p = 0$ であり、体は被約だから $a = 1$ である。
  つまりこの $X$ では、$p$ が可逆でないにもかかわらず、大域切断のところで破れているものは何も無い。

本記事は、$n$ が可逆でないときに $n$ 乗写像が層の射として全射であるかどうかを決めない。それを決めるには本記事の外の議論が要る。$X$ 上のすべての対象について結論を出すには、完全体上のエタールスキームの構造など、本記事が立ち入らない一般論が必要になる。
可逆でない素数のところで実際に起こること（引用）。完全体の例とは逆に、$n$ が可逆でない素数 $p$ のところでは、Kummer 完全列の外で $0$ でない現象が起こりうる。Grothendieck Gro68 は、代数閉体上の超越次数 $1$ の体などの Brauer 群が $0$ になるという定理について、基礎体（あるいは剰余体）が代数閉であるという仮定を分離閉に弱めると、少なくとも標数 $p > 0$ では結論が破れ、Brauer 群が $0$ でない $p$ 捩れ群になりうると注意し、その特別な場合として次を述べて、根拠を Auslander と Goldman の可換環の Brauer 群についての論文に委ねている：$k$ を標数 $p$ の分離閉体とするとき、多項式環 $k[t]$ の Brauer群 が $0$ になるのは $k$ が完全である（したがって代数閉である）ときに限る。とくに、$k$ が完全でなければ $\mathrm{Br}(k[t]) \ne 0$ である。本記事はこの事実を証明せず、引用として記録するにとどめる。

定理は $n$ が $X$ 上可逆であることを仮定しているから、Kummer 完全列を作れるのは、$X$ の剰余標数で割り切れない $n$ に限られる。したがってこの完全列を使う議論から取り出せるのは、はじめから剰余標数と素な部分だけである。
たとえば上の命題も、$\ell$ が $X$ 上可逆な素数についてしか述べていない。剰余標数に等しい素数についての同じ型の主張がほしければ、Kummer 完全列とは別の道具が要る。これはこの完全列の欠点ではなく、適用範囲そのものである。
別の道具の一例（体の場合）。$K$ を標数 $p > 0$ の体とする。$K$ 上エタールな $U$ は $K$ の有限次分離拡大体のスペクトルの非交和だから StaEtaleFibres、$\Gamma(U, \mathcal{O}_U)$ は体の直積であり、被約である。したがって $x^p = 1$ なら $(x - 1)^p = x^p - 1 = 0$ から $x = 1$ となり、$p$ 乗写像 $G_m \to G_m$ は層の射として単射である。その余核の層を $\mathcal{C}$ と書くと、層の短完全列
$$ 1 \to G_m \xrightarrow{\ x \mapsto x^p\ } G_m \to \mathcal{C} \to 0 $$
を得る。$\mathcal{C}$ の局所切断は $G_m$ の局所切断 $x$ の類であり、その $p$ 倍は $x^p$ の類すなわち $0$ だから、$\mathcal{C}$ は $p$ で消える層、とくに $p$ 準素捩れ層である。ここで、標数 $p$ の体では $\mathrm{cd}_p(K) \le 1$ であるという標準的な事実を、本記事では証明せずに使う（Grothendieck Gro68 は、この事実を Serre の Galois コホモロジーの講義録を引いて用いている）。すると $i \ge 3$ では $H^{i-1}(K, \mathcal{C}) = 0$ であり、長完全列の一部
$$ H^{i-1}(K, \mathcal{C}) \to H^i(K, G_m) \xrightarrow{\ p\ } H^i(K, G_m) $$
から $p$ 倍写像は $H^i(K, G_m)$ の上で単射になる。命題の証明の最後の段落と同じ議論により、$i \ge 3$ では $H^i(K, G_m)$ の $p$ 準素成分は $0$ である。
この議論は $p$ 乗写像の余核 $\mathcal{C}$ をそのまま残しており、$p$ 乗写像が層の射として全射であるとは主張していない（rem-kummer-sequence-proof-vs-truth と矛盾しない）。また結論は $i \ge 3$ に限られ、$i = 2$ の段、すなわち Brauer 群の $p$ 準素成分については何も言わない。実際その段では、rem-kummer-sequence-proof-vs-truth の最後の段落で述べるように、$0$ でない $p$ 捩れが現れうる。