可分空間

$X$ が高々可算なら $D=X$ 自身が高々可算な稠密集合である。
逆に $X$ が可分だとし、$D$ を高々可算な稠密集合とする。各 $x\in X$ について $\{x\}$ は空でない開集合だから $D\cap\{x\}\ne\emptyset$、すなわち $x\in D$ である。よって $D=X$ となり、$X$ は高々可算である。$\square$

各部分集合 $A\subseteq\mathbb{N}$ に対し、その定義関数 $x^A=(x^A_n)_{n\ge1}$（$n\in A$ なら $x^A_n=1$、そうでなければ $0$）を考える。$x^A$ は有界なので $\ell^\infty$ の点であり、$A\ne B$ なら $A$ と $B$ の一方だけに属する $n$ があるので $\|x^A-x^B\|_\infty=1$ である。$\mathbb{N}$ の部分集合全体は非可算だから、$\{x^A\mid A\subseteq\mathbb{N}\}$ は互いの距離が $1$ である非可算個の点からなる。
$D$ を稠密部分集合とする。各 $A$ について $B(x^A,1/2)$ は空でない開集合だから、$y_A\in D\cap B(x^A,1/2)$ がとれる。$A\ne B$ のとき $y_A\ne y_B$ である。実際 $y_A=y_B$ とすると $\|x^A-x^B\|_\infty\le\|x^A-y_A\|_\infty+\|y_B-x^B\|_\infty<1/2+1/2=1$ となり、$\|x^A-x^B\|_\infty=1$ に矛盾する。よって $A\mapsto y_A$ は単射であり $|D|\ge2^{\aleph_0}$、$D$ は非可算である。ゆえに高々可算な稠密部分集合は存在しない。$\square$

$D$ を $X$ の高々可算な稠密部分集合とする。$f(D)$ は $D$ の像なので高々可算である。$V$ を $f(X)$ の空でない相対開集合とすると、$Y$ の開集合 $W$ があって $V=W\cap f(X)$ である。$V\ne\emptyset$ だから $f(x)\in W$ となる $x\in X$ があり、$f^{-1}(W)$ は $x$ を含む $X$ の空でない開集合である（$f$ の連続性）。$D$ の稠密性から $d\in D\cap f^{-1}(W)$ がとれ、このとき $f(d)\in f(D)$ かつ $f(d)\in W\cap f(X)=V$ である。よって $f(D)\cap V\ne\emptyset$ となり、$f(D)$ は $f(X)$ で稠密である。$X=\emptyset$ のときは $f(X)=\emptyset$ で、空集合は空の稠密集合をもつ。$\square$

$D$ を $X$ の高々可算な稠密部分集合とする。$D\cap U$ は高々可算である。$V$ を $U$ の空でない相対開集合とすると、$U$ が $X$ の開集合だから $V$ も $X$ の開集合であり、$D$ の稠密性から $D\cap V\ne\emptyset$ である。$V\subseteq U$ なので $D\cap V=(D\cap U)\cap V$ であり、したがって $(D\cap U)\cap V\ne\emptyset$ となる。よって $D\cap U$ は $U$ で稠密である。$\square$

$S$ を非可算集合、$a\notin S$ とし、$X=S\cup\{a\}$ に
$$\mathcal{O}=\{\emptyset\}\cup\{U\subseteq X\mid a\in U\}$$
を開集合系とする位相を入れる。これが位相であること：$\emptyset\in\mathcal{O}$ であり $a\in X$ より $X\in\mathcal{O}$、また $\mathcal{O}$ の元の合併は、空でない元があればその元が $a$ を含むので $a$ を含み、すべて空なら空集合であり、いずれも $\mathcal{O}$ に属する。有限個の共通部分も、すべて空でなければ各元が $a$ を含むので共通部分が $a$ を含み、一つでも空なら空集合になる。
$X$ は可分である。実際 $\{a\}$ は高々可算であり、空でない開集合はすべて $a$ を含むので $\{a\}$ と交わる。
$S$ の相対位相は離散位相である。実際、任意の $A\subseteq S$ に対し $A\cup\{a\}$ は $X$ の開集合であり、$(A\cup\{a\})\cap S=A$ である。$S$ は非可算だから、prop-separable-space-discreteにより部分空間 $S$ は可分でない。
さらに $X\setminus S=\{a\}$ は開集合だから $S$ は $X$ の閉集合である。したがって閉部分空間でも可分性は遺伝しない。$\square$

$D$ を $X$ の高々可算な稠密部分集合とし、$D$ の部分集合の族への写像
$$\Phi\colon X\to\mathcal{P}(\mathcal{P}(D)),\qquad \Phi(x)=\{A\subseteq D\mid x\in\overline{A}\}$$
を考える。この $\Phi$ が単射であることを示す。
$x\ne y$ とする。Hausdorff性より互いに素な開集合 $U\ni x$、$V\ni y$ がとれる。$A=U\cap D$ とおく。
$x\in\overline{A}$ であること：$W$ を $x$ の任意の開近傍とすると $W\cap U$ は $x$ を含む空でない開集合だから、$D$ の稠密性より $(W\cap U)\cap D\ne\emptyset$、すなわち $W\cap A\ne\emptyset$ である。閉包の特徴づけにより $x\in\overline{A}$ となる。
$y\notin\overline{A}$ であること：$V$ は $y$ の開近傍であり $A\subseteq U$、$U\cap V=\emptyset$ だから $V\cap A=\emptyset$ である。よって $y\notin\overline{A}$ である。
したがって $A\in\Phi(x)$ かつ $A\notin\Phi(y)$ となり $\Phi(x)\ne\Phi(y)$、すなわち $\Phi$ は単射である。ゆえに
$$|X|\le|\mathcal{P}(\mathcal{P}(D))|=2^{2^{|D|}}\le2^{2^{\aleph_0}}$$
である（$|D|\le\aleph_0$ から $2^{|D|}\le2^{\aleph_0}$、さらに $2^{2^{|D|}}\le2^{2^{\aleph_0}}$）。$\square$

$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。パラコンパクト性より、$\mathcal{U}$ の局所有限な開細分 $\mathcal{V}$ がとれる（$\mathcal{V}$ は $X$ の開被覆で、各元はある $\mathcal{U}$ の元に含まれる）。$D$ を高々可算な稠密部分集合とする。
各 $d\in D$ に対し、$\mathcal{V}$ の高々有限個の元としか交わらない開近傍 $N_d$ をとる（$D$ は高々可算なので可算選択公理を用いる）。$d\in V$ なる $V\in\mathcal{V}$ は $d\in V\cap N_d$ より $N_d$ と交わるので、$\{V\in\mathcal{V}\mid d\in V\}$ は有限である。
$\mathcal{V}$ の空でない元 $V$ はすべて開集合だから $D$ と交わり、$d\in V\cap D$ がとれる。よって
$$\mathcal{V}\setminus\{\emptyset\}=\bigcup_{d\in D}\{V\in\mathcal{V}\mid d\in V\}$$
であり、右辺は高々可算個の有限集合の合併なので高々可算である（可算選択公理を用いる）。したがって $\mathcal{V}$ は高々可算である。
各 $V\in\mathcal{V}\setminus\{\emptyset\}$ に対し $V\subseteq U_V$ となる $U_V\in\mathcal{U}$ を一つ選ぶ（高々可算個の選択なので可算選択公理を用いる）。$\mathcal{V}$ が $X$ を覆うので $\{U_V\}$ も $X$ を覆い、これは $\mathcal{U}$ の高々可算な部分被覆である。よって $X$ はLindelöf空間である。$\square$