t進対称多重ゼータ値
概要
t進対称多重ゼータ値（t-adic symmetric multiple zeta value）とは、対称多重ゼータ値を定める交代和で、逆順にした側の因子を成分のずらし $\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e}$ に二項係数と $t$ の冪の重みをつけて足したものに置き換え、$\zeta(2)$ を法として $(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[\![t]\!]$ で見た値のことである。正規化の取り方によらず、$t=0$ で対称多重ゼータ値に戻り、負の側の変数を $t$ だけずらした打ち切り和の極限で表される。調和関係式・反転公式・シャッフル関係式を満たし、$p$ 進有限多重ゼータ値の実数側の対応物と予想されている（金子–Zagier 予想の精密化）。
前提知識: 対称多重ゼータ値, 正規化複シャッフル関係式, 有限多重ゼータ値
対称多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ は、正規化多重ゼータ値の交代和を $\zeta(2)$ を法として見たもので、有限多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})$（素数 $p$ を法とした打ち切り和）の実数側の対応物と考えられている。有限多重ゼータ値には $p^{n}$ を法とした精密化である $p$ 進版 $\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})$ があり、$p$ の冪の情報を持つ。$t$ 進対称多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ はその対応物で、交代和の片側の因子の成分を $t$ の冪で重みをつけてずらし、$t$ の冪級数として定めたものである。$t=0$ とすると対称多重ゼータ値に戻る。本記事では、定義が正規化の取り方によらないこと、打ち切り和による表示、$t$ 進版の調和関係式と反転公式を証明する。
定義
本記事は 多重ゼータ値 と 正規化複シャッフル関係式 の記号を使う。$\mathcal{Z}$ を多重ゼータ値全体が $\mathbb{Q}$ 上生成する $\mathbb{R}$ の部分代数とし（多重ゼータ値 の定義「多重ゼータ値の張る空間」）、$\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$、$\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};T)=Z^{\bullet}_T(z_{\boldsymbol{k}})\in\mathcal{Z}[T]$ を正規化多項式とする。インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と $0\le i\le r$ に対し $\boldsymbol{k}_{[i]}=(k_1,\ldots,k_i)$、$\boldsymbol{k}^{[i]}=(k_{i+1},\ldots,k_r)$、逆転インデックスを $\overleftarrow{\boldsymbol{k}}=(k_r,\ldots,k_1)$ と書く。深さ $r$ の非負整数の列 $\boldsymbol{e}$ に対し
$$b(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e}):=\prod_{i=1}^{r}\binom{k_i+e_i-1}{e_i}$$
とおく（深さ $0$ では $b(\emptyset;\emptyset)=1$）。$t$ は不定元である。
インデックス $\boldsymbol{k}$（深さ $r$）と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し
$$\zeta^{t,\bullet}_{\mathrm{sh}}(\boldsymbol{k};T):=\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{r}}b(\boldsymbol{k};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}\oplus\boldsymbol{e};T)\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}\in\mathcal{Z}[T][\![t]\!]$$
とおき、
$$\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}\,\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k}_{[i]};T)\,\zeta^{t,\bullet}_{\mathrm{sh}}\bigl(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}};T\bigr)\in\mathcal{Z}[T][\![t]\!]$$
とおく。$t^{n}$ の係数は有限和である。$t=0$ とすると 対称多重ゼータ値 の定義「調和対称多重ゼータ値とシャッフル対称多重ゼータ値」の $\zeta^{\bullet}_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ に戻る。
任意のインデックス $\boldsymbol{k}$ と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し次が成り立つ。
- $\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ は $T$ によらない。すなわち $\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の元である。
- $\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})-\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\in\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]$ である。
係数環 $R=\mathcal{Z}[T][\![t]\!]$ 上の非可換な形式的冪級数環 $R\langle\!\langle x,y\rangle\!\rangle$ で考える。$\theta$ を $\theta(x)=x+t$、$\theta(y)=y$ で定まる $R$ 代数の準同型、$\varepsilon$ を $\varepsilon(x)=-x$、$\varepsilon(y)=-y$ で定まる $R$ 線形な反自己同型（語の順序を逆にし各文字に $-1$ を掛ける）とする。$\theta$ は語の長さを $t$ の次数の分だけ短くするので、各係数は有限和で定まる。母関数を
$$\varphi^{\bullet}:=\sum_{\boldsymbol{k}}\zeta^{\bullet}(\boldsymbol{k};T)\,z_{\boldsymbol{k}},\qquad\Phi^{\bullet}:=\varphi^{\bullet}\,y\,\varepsilon\bigl(\theta(\varphi^{\bullet})\bigr)$$
とおく（和は空インデックスを含むインデックス全体）。
段 1（$\Phi^{\bullet}$ が求める値の母関数であること）．$\theta(z_n)=y(x+t)^{n-1}=\sum_{e}\binom{n-1}{e}t^{e}z_{n-e}$ から $\theta(\varphi^{\bullet})=\sum_{\boldsymbol{m}}\zeta^{t,\bullet}_{\mathrm{sh}}(\boldsymbol{m};T)\,z_{\boldsymbol{m}}$ であり、$z_{\boldsymbol{l}}\,y\,\varepsilon(z_{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}z_{(\boldsymbol{l},\overleftarrow{\boldsymbol{m}})}\,y$ だから
$$\Phi^{\bullet}=\sum_{\boldsymbol{k}}\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\,z_{\boldsymbol{k}}\,y$$
である。
詳細
$\theta(z_{\boldsymbol{n}})=\prod_i\sum_{e_i}\binom{n_i-1}{e_i}t^{e_i}z_{n_i-e_i}$ の $z_{\boldsymbol{m}}$ の係数は、$\boldsymbol{n}=\boldsymbol{m}\oplus\boldsymbol{e}$ として $\prod_i\binom{m_i+e_i-1}{e_i}t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}=b(\boldsymbol{m};\boldsymbol{e})t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}$ である。また $\varepsilon(z_{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}x^{m_s-1}y\cdots x^{m_1-1}y$ なので、$z_{\boldsymbol{l}}\,y\,\varepsilon(z_{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}z_{\boldsymbol{l}}\,yx^{m_s-1}\cdots yx^{m_1-1}\,y$ となる。インデックス $\boldsymbol{k}$ を $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{k}_{[i]}$、$\boldsymbol{m}=\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}$ に分ける仕方は $i=0,\ldots,r$ の $r+1$ 通りで、$\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})=\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})$ だから、$z_{\boldsymbol{k}}y$ の係数は定義の和そのものである。
段 2（$T$ によらないこと）．正規化複シャッフル関係式 の命題「正規化多項式の明示式」から $\varphi^{\bullet}=\varphi^{\bullet}_0\,e^{Ty}$ である。ここで $\varphi^{\bullet}_0$ は $\varphi^{\bullet}$ に $T=0$ を代入したもので、$e^{Ty}=\sum_{n}T^{n}y^{n}/n!$ である。実際、任意のインデックスは許容インデックス $\boldsymbol{k}$ と $n\ge0$ で $(\boldsymbol{k},\{1\}^{n})$ と一通りに書け、$z_{(\boldsymbol{k},\{1\}^{n})}=z_{\boldsymbol{k}}y^{n}$ だから、明示式の両辺に $z_{\boldsymbol{k}}y^{n}$ を掛けて足せばよい。$\theta(e^{Ty})=e^{Ty}$、$\varepsilon(e^{Ty})=e^{-Ty}$ で、$y$ は $e^{\pm Ty}$ と可換なので
$$\Phi^{\bullet}=\varphi^{\bullet}_0\,e^{Ty}\,y\,e^{-Ty}\,\varepsilon\bigl(\theta(\varphi^{\bullet}_0)\bigr)=\varphi^{\bullet}_0\,y\,\varepsilon\bigl(\theta(\varphi^{\bullet}_0)\bigr)$$
となり、$T$ を含まない。これで 1 が示された。
段 3（正規化による違い）．正規化複シャッフル関係式 の定理「比較定理」を各語の係数ごとに使うと、比較写像 $\rho$ の定義 $\rho(e^{Tu})=A(u)e^{Tu}$ を $u=y$ として
$$\varphi^{\mathbin{\text{ш}}}=\rho\bigl(\varphi^{\ast}_0e^{Ty}\bigr)=\varphi^{\ast}_0\,A(y)\,e^{Ty}=\varphi^{\ast}A(y)$$
を得る。$\theta(A(y))=A(y)$、$\varepsilon(A(y))=A(-y)$ なので
$$\Phi^{\mathbin{\text{ш}}}=\varphi^{\ast}A(y)\,y\,A(-y)\,\varepsilon\bigl(\theta(\varphi^{\ast})\bigr)=\varphi^{\ast}\,y\,A(y)A(-y)\,\varepsilon\bigl(\theta(\varphi^{\ast})\bigr)$$
である。$A(y)A(-y)=\exp\Bigl(\sum_{m\ge1}\frac{\zeta(2m)}{m}y^{2m}\Bigr)$ であり、多重ゼータ値 の定理「Eulerの偶数値公式」により $\zeta(2m)\in\pi^{2m}\mathbb{Q}=\zeta(2)^{m}\mathbb{Q}\subset\zeta(2)\mathcal{Z}$ なので、$A(y)A(-y)-1$ の係数はすべて $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に属する。よって $\Phi^{\mathbin{\text{ш}}}-\Phi^{\ast}=\varphi^{\ast}\,y\,\bigl(A(y)A(-y)-1\bigr)\,\varepsilon(\theta(\varphi^{\ast}))$ の係数は $\zeta(2)\mathcal{Z}[T][\![t]\!]$ に属し、1 によりそれは $\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の元である。これで 2 が示された。$\square$
インデックス $\boldsymbol{k}$ に対し、thm-tsmzv-independence により $\bullet$ によらずに定まる像
$$\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}):=\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\bmod\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]\in(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[\![t]\!]$$
を$t$ 進対称多重ゼータ値（$t$-adic symmetric multiple zeta value）という。$t=0$ とすると 対称多重ゼータ値 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$ になる。正整数 $n$ に対し $\zeta_{\mathcal{S}_n}(\boldsymbol{k}):=\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\bmod t^{n}$ とおき、スター版を $\zeta^{\star}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}):=\sum_{\boldsymbol{l}\preceq\boldsymbol{k}}\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{l})$（$\preceq$ は 多重ゼータ値 の縮約インデックス）で定める。いずれもインデックスの $\mathbb{Q}$ 線形結合へ線形に延ばす。
例
深さ $1$ では $i=1$ の項が $\zeta^{\bullet}(k;T)$、$i=0$ の項が $(-1)^{k}\zeta^{t,\bullet}_{\mathrm{sh}}(k;T)$ なので
$$\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(k)=\bigl(1+(-1)^{k}\bigr)\zeta^{\bullet}(k;T)+(-1)^{k}\sum_{e\ge1}\binom{k+e-1}{e}\zeta(k+e)\,t^{e}$$
である。$k=1$ では $\zeta^{\bullet}(1;T)=T$ が打ち消し合い、$\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)=-\sum_{e\ge1}\zeta(e+1)t^{e}$ となる。偶数での値 $\zeta(2m)$ は $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に属するので、$\zeta(2)$ を法として
$$\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(k)=(-1)^{k}\sum_{\substack{e\ge1\\ k+e\text{ は奇数}}}\binom{k+e-1}{e}\zeta(k+e)\,t^{e},\qquad\text{特に}\quad\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)=-\zeta(3)t^{2}-\zeta(5)t^{4}-\cdots$$
である。$t=0$ では 対称多重ゼータ値 の命題「深さ1の消滅」のとおり $0$ だが、$t$ の高次の係数には奇数での値 $\zeta(k+e)$ が残る。
$\boldsymbol{k}=(1,1)$ では、prf-tsmzv-independence の段 3 の $\Phi^{\mathbin{\text{ш}}}-\Phi^{\ast}$ の $yyy$ の係数を見ると、$A(y)A(-y)=1+\zeta(2)y^{2}+\cdots$ の $\zeta(2)y^{2}$ だけが寄与して
$$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1,1)-\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1,1)=\zeta(2)$$
となる（$t$ を含む項は寄与しない）。$t=0$ では 対称多重ゼータ値 の注意「反例：$\zeta(2)$ を法とすることの必要性」の値 $\zeta^{\ast}_{\mathcal{S}}(1,1)=-\zeta(2)$、$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\mathcal{S}}(1,1)=0$ と合う。
性質
打ち切り和による表示
インデックス $\boldsymbol{k}=(k_1,\ldots,k_r)$ と正整数 $M$ に対し
$$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k}):=\sum_{i=0}^{r}\ \sum_{\substack{0< n_1<\cdots< n_i< M\\ -M< n_{i+1}<\cdots< n_r< 0}}\frac{1}{n_1^{k_1}\cdots n_i^{k_i}\,(n_{i+1}+t)^{k_{i+1}}\cdots(n_r+t)^{k_r}}\in\mathbb{Q}[\![t]\!]$$
とおく。ここで負の $n$ に対し $(n+t)^{-k}=n^{-k}(1+t/n)^{-k}$ を $t$ の冪級数に展開する。このとき、$t$ の各べきの係数ごとに
$$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})=\lim_{M\to\infty}\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k})$$
が成り立つ。
要点：負の変数を $n_j=-m_j$ と書いて $(t-m)^{-k}$ を $t$ の冪級数に展開すると、$t^{n}$ の係数は二つの打ち切り和 $\zeta_{< M}$ の積の有限和になり、正規化複シャッフル関係式 の補題「打ち切り和の漸近」で各因子を正規化多項式に $T=H_{M-1}$ を代入したものに置き換えられる。
詳細
負の変数を $n_j=-m_j$ と書くと、$m_{i+1}>\cdots>m_r>0$ であり、$$(t-m)^{-k}=(-1)^{k}m^{-k}\Bigl(1-\frac{t}{m}\Bigr)^{-k}=(-1)^{k}\sum_{e\ge0}\binom{k+e-1}{e}\frac{t^{e}}{m^{k+e}}$$である。$m_r<\cdots< m_{i+1}$ の順に並べると成分は $\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}$ の順になるので、打ち切り和 $\zeta_{< M}$（正規化複シャッフル関係式 の記号）を使って$$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k})=\sum_{i=0}^{r}(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k}^{[i]})}\,\zeta_{< M}(\boldsymbol{k}_{[i]})\sum_{\boldsymbol{e}}b\bigl(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}};\boldsymbol{e}\bigr)\,\zeta_{< M}\bigl(\overleftarrow{\boldsymbol{k}^{[i]}}\oplus\boldsymbol{e}\bigr)\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}$$となる。$t^{n}$ の係数は $\zeta_{< M}(\boldsymbol{u})\zeta_{< M}(\boldsymbol{v})$ の形の項の有限和である。正規化複シャッフル関係式 の補題「打ち切り和の漸近」により $\zeta_{< M}(\boldsymbol{u})=\zeta^{\ast}(\boldsymbol{u};H_{M-1})+O\bigl(M^{-1/2}(1+\log M)^{d}\bigr)$ であり、$\zeta^{\ast}(\boldsymbol{v};H_{M-1})$ は $\log M$ の多項式の大きさなので、積の誤差も $0$ に収束する。したがって $t^{n}$ の係数は、$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ の $t^{n}$ の係数（$T$ の多項式として書いたもの）に $T=H_{M-1}$ を代入した値との差が $0$ に収束する。thm-tsmzv-independence によりこの多項式は定数なので、主張を得る。$\square$
シャッフル正規化についても、二つの和の条件を $0< n_1<\cdots< n_i$、$n_{i+1}<\cdots< n_r< 0$、$n_i-n_{i+1}< M$ に替えた打ち切り和 $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k})$ が $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ に収束する（OSY21 Definition 1.4・Theorem 1.5。$i=0$ では $-n_1< M$、$i=r$ では $n_r< M$ と読む）。この記事ではその証明はしない。
調和関係式と反転公式
任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し、$\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の等式
$$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\,\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{l})$$
が成り立つ。したがって $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{l})$ であり、$t=0$ として対称多重ゼータ値の調和関係式 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})$ も得る。
有限集合 $X_M=\{1,2,\ldots,M-1\}\cup\{-(M-1),\ldots,-1\}$ に、正の数を小さい順に並べ、そのあとに負の数を小さい順に並べる全順序 $\prec$ を入れる（$1\prec\cdots\prec M-1\prec-(M-1)\prec\cdots\prec-1$）。$n\in X_M$ と正整数 $k$ に対し、$n>0$ なら $f_k(n)=n^{-k}$、$n< 0$ なら $f_k(n)=(n+t)^{-k}$ とおくと、$f_kf_l=f_{k+l}$ であり、
$$\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k})=\sum_{n_1\prec\cdots\prec n_r}f_{k_1}(n_1)\cdots f_{k_r}(n_r)$$
である（$n_1,\ldots,n_r$ のうち正のものの個数が $i$）。多重ゼータ値 の定理「調和関係式」の証明の前半は、最後の変数どうしを $\prec$ で比べて三つに分ける計算で、和の範囲が有限の全順序集合で $f_kf_l=f_{k+l}$ でありさえすればそのまま通る。よって $\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k}\ast\boldsymbol{l})=\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{k})\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}},M}(\boldsymbol{l})$ が $\mathbb{Q}[\![t]\!]$ で成り立つ。積の $t^{n}$ の係数は各因子の係数の有限和なので、thm-tsmzv-truncated で $M\to\infty$ として主張を得る。$\square$
任意のインデックス $\boldsymbol{l}$ と $\bullet\in\{\ast,\mathbin{\text{ш}}\}$ に対し、$\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の等式
$$\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}}b(\boldsymbol{l};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}\bigl(\overleftarrow{\boldsymbol{l}\oplus\boldsymbol{e}}\bigr)\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}$$
が成り立つ。$t=0$ とすると 対称多重ゼータ値 の反転公式 $\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\zeta_{\mathcal{S}}(\overleftarrow{\boldsymbol{l}})$ になる。
要点：prf-tsmzv-independence の母関数 $\Phi^{\bullet}$ が $\varepsilon(\Phi^{\bullet})=-\theta(\Phi^{\bullet})$ を満たすことを示し、両辺の係数を比べる。
詳細
prf-tsmzv-independence の段 2 から $\Phi^{\bullet}=\varphi^{\bullet}_0\,y\,\varepsilon(\theta(\varphi^{\bullet}_0))$ である。$\varepsilon\circ\theta$ と $\theta^{-1}\circ\varepsilon$ はどちらも反準同型で、$x$ を $-x+t$ に、$y$ を $-y$ に送るので一致する。$\varepsilon$ は対合だから$$\varepsilon(\Phi^{\bullet})=-\theta(\varphi^{\bullet}_0)\,y\,\varepsilon(\varphi^{\bullet}_0),\qquad\theta(\Phi^{\bullet})=\theta(\varphi^{\bullet}_0)\,y\,\theta\bigl(\theta^{-1}(\varepsilon(\varphi^{\bullet}_0))\bigr)=\theta(\varphi^{\bullet}_0)\,y\,\varepsilon(\varphi^{\bullet}_0)$$となり、$\varepsilon(\Phi^{\bullet})=-\theta(\Phi^{\bullet})$ を得る。両辺の $z_{\boldsymbol{m}}y$ の係数を比べる。$\varepsilon(z_{\boldsymbol{k}}y)=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{k})+1}z_{\overleftarrow{\boldsymbol{k}}}\,y$、$\theta(z_{\boldsymbol{k}}y)=\sum_{\boldsymbol{e}}\prod_i\binom{k_i-1}{e_i}t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}z_{\boldsymbol{k}-\boldsymbol{e}}\,y$ なので$$\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\overleftarrow{\boldsymbol{m}})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{m})}\sum_{\boldsymbol{e}}b(\boldsymbol{m};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\bullet}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{m}\oplus\boldsymbol{e})\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}$$である。$\boldsymbol{m}=\overleftarrow{\boldsymbol{l}}$ とおき、$\boldsymbol{e}$ を $\overleftarrow{\boldsymbol{e}}$ に取り替えれば主張になる。$\square$
シャッフル関係式
$t$ 進反転公式は、次のシャッフル関係式の $\boldsymbol{k}=\emptyset$ の場合である。
任意のインデックス $\boldsymbol{k},\boldsymbol{l}$ に対し
$$\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k}\mathbin{\text{ш}}\boldsymbol{l})=(-1)^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{l})}\sum_{\boldsymbol{e}\in\mathbb{Z}_{\ge0}^{\mathrm{dep}(\boldsymbol{l})}}b(\boldsymbol{l};\boldsymbol{e})\,\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}\bigl(\boldsymbol{k},\overleftarrow{\boldsymbol{l}\oplus\boldsymbol{e}}\bigr)\,t^{\mathrm{wt}(\boldsymbol{e})}$$
が成り立つ。
Jarossay が別の言葉（随伴多重ゼータ値）で初めに示し、OSY21 Theorem 1.3 の (1.3) は打ち切り和と 2 色根付き木を使う別証明を与えている（Theorem 1.6 は打ち切り和の段階での精密化）。この記事では証明しない。thm-tsmzv-harmonic と合わせて $t$ 進対称多重ゼータ値の複シャッフル関係式と呼ぶ。双対性・巡回和公式などほかの関係式と、$\mathcal{S}_2$、$\mathcal{S}_3$ での評価公式は 対称多重ゼータ値 の定理「$t$ 進版の関係式」「$\mathcal{S}_2$、$\mathcal{S}_3$ における評価公式」にまとめられている。
金子–Zagier予想の精密化
有限多重ゼータ値 の記事の $p$ 進有限多重ゼータ値 $\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})\in\widehat{\mathcal{A}}$ と $\boldsymbol{p}=(p)_p\in\widehat{\mathcal{A}}$ を使う。$\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})$ たちと $\boldsymbol{p}$ が生成する $\boldsymbol{p}$ 進的に完備な $\mathbb{Q}$ 部分代数を $\mathcal{Z}_{\widehat{\mathcal{A}}}$ と書く。
$\zeta_{\widehat{\mathcal{A}}}(\boldsymbol{k})$ を $\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}(\boldsymbol{k})$ に、$\boldsymbol{p}$ を $t$ に写す位相 $\mathbb{Q}$ 代数の同型 $\mathcal{Z}_{\widehat{\mathcal{A}}}\to(\mathcal{Z}/\zeta(2)\mathcal{Z})[\![t]\!]$ が存在するであろう。
これは金子昌信（Masanobu Kaneko）と Zagier の予想（対称多重ゼータ値 の予想「金子–Zagier予想」、$\zeta_{\mathcal{A}}(\boldsymbol{k})\leftrightarrow\zeta_{\mathcal{S}}(\boldsymbol{k})$）を $\boldsymbol{p}$ と $t$ の冪まで精密化したもので、OSY21 の Conjecture 4.3 は Jarossay と Rosen の予想を参照してこの形に述べている。$\widehat{\mathcal{A}}$ 側の調和関係式（有限多重ゼータ値）と thm-tsmzv-harmonic、$\widehat{\mathcal{A}}$ 側のシャッフル関係式と thm-tsmzv-shuffle が同じ形をしていることが、この予想を支える（OSY21 §1.2）。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\zeta(2)\mathcal{Z}[\![t]\!]$ を法とする | $\boldsymbol{k}=(1,1)$ | $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1,1)-\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1,1)=\zeta(2)$ で、正規化によらないこと |
| thm-tsmzv-harmonic で調和正規化 $\ast$ を使う | $\bullet=\mathbin{\text{ш}}$、$\boldsymbol{k}=\boldsymbol{l}=(1)$ | $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1\ast1)-\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)^{2}=2\zeta(2)$ で、$\mathcal{Z}[\![t]\!]$ の等式としての調和関係式 |
| 反転公式の $t$ の補正項を入れる | $\boldsymbol{l}=(1)$、$\bullet=\ast$ で $t$ の項を落とす | $\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)=-\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)$ となるはずが、$t$ の係数は $-\zeta(2)\neq0$ |
1 行目は ex-tsmzv-difference による。2 行目：$(1)\ast(1)=2(1,1)+(2)$ であり、$\zeta^{\ast}$ での調和関係式と 1 行目から $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1\ast1)=\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1\ast1)+2\zeta(2)$、一方 $\zeta^{\mathbin{\text{ш}}}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)=\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)$（ex-tsmzv-depth-one）なので差は $2\zeta(2)$ である。差は $\zeta(2)\mathcal{Z}$ に入るので、$\zeta_{\widehat{\mathcal{S}}}$ の調和関係式は両方の正規化で成り立つ。3 行目：ex-tsmzv-depth-one から $\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1)=-\zeta(2)t-\zeta(3)t^{2}-\cdots$ で、$0$ ではない。thm-tsmzv-reversal の正しい形では右辺が $-\sum_{e}\zeta^{\ast}_{\widehat{\mathcal{S}}}(1+e)t^{e}$ となり、$t$ の各べきで釣り合う。
関連項目
参考文献
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