C^r構造の平滑化

要点：$N$ の $C^\infty$ 構造を $h$ で $M$ へ引き戻すと、$M$ の $C^r$ 構造と両立する 2 つ目の $C^\infty$ 構造が得られるので、一意性の定理を使う。

要点：$C^s$ 構造は、含まれる $C^\infty$ 構造の下にある $C^s$ 構造として作り、比べる。分類の全単射は、全射性が存在の定理、単射性が cor-smcr-diffeo である。

要点：$u:=g-\mathrm{id}$ は凸集合の上で $\frac12$-Lipschitz なので $g$ は単射で、微分は正則である。あとは逆関数定理と、$\mathbb{R}^n$ の連結性による。

要点：コンパクト集合による近似列の各「輪」を小さな座標球で覆う。

要点：$F$ を小さな半径の隆起関数で平均する（畳み込む）。平均は $C^\infty$ 級で、$F$ と $DF$ の一様連続性から、値も微分も $F$ に近い。

要点：$K$ を $\beta$ の有限個の座標近傍で覆い、各座標の中で $f$ を lem-smcr-mollify で近似し、$\beta$ に関して滑らかな 1 の分割で貼り合わせる。1 の分割の関数の微分の大きさを先に固定してから近似の精度を選ぶのが要点である。

$n=\dim M$ とする。lem-smcr-charts を $(M,\alpha)$ と $\mathcal{O}=\{M\}$ に使い、$\alpha$ の座標近傍 $(U_k,\varphi_k)$（$k=1,2,\dots$）で、$\varphi_k(U_k)=B_3$、$\overline{U_k}$ はコンパクト、$\{U_k\}$ は局所有限、$W_k=\varphi_k^{-1}(B_1)$ が $M$ を覆うものをとる。$\{\overline{U_k}\}$ も局所有限なので、コンパクト集合 $\overline{U_i}$ と交わる $\overline{U_k}$ は有限個である。
帰納法の主張． $k\ge1$ について、次を満たす $C^r$ 座標近傍 $(D_i^{(k)},\chi_i)\in\alpha$（$i=1,\dots,k$）を作る。

• (a) $\varphi_i^{-1}(\overline{B}_1)\subset D_i^{(k)}\subset U_i$。
• (b) $i,j\le k$ について $\chi_j\circ\chi_i^{-1}\colon\chi_i(D_i^{(k)}\cap D_j^{(k)})\to\chi_j(D_i^{(k)}\cap D_j^{(k)})$ は $C^\infty$ 級である。
• (c) $i< k$ について $D_i^{(k)}\subset D_i^{(k-1)}$ であり、$\overline{U_i}\cap\overline{U_k}=\emptyset$ なら $D_i^{(k)}=D_i^{(k-1)}$ である。

段 1（古い座標近傍を縮める）． $k-1$ まで作ったとする（$k=1$ なら何もない）。$I_k:=\{i< k\mid\overline{U_i}\cap\overline{U_k}\ne\emptyset\}$ とおく。$i\in I_k$ について、$\varphi_i(D_i^{(k-1)})$ は $\overline{B}_1$ を含む開集合なので、$\overline{B}_{t_i}\subset\varphi_i(D_i^{(k-1)})$ となる $t_i>1$ があり、$D_i^{(k)}:=\varphi_i^{-1}(B_{t_i})$ とおく。その閉包 $\varphi_i^{-1}(\overline{B}_{t_i})$ はコンパクトで $D_i^{(k-1)}$ に含まれる。$i\notin I_k$ なら $D_i^{(k)}:=D_i^{(k-1)}$ とする。
段 2（取り替える範囲）． $E:=\bigcup_{i< k}D_i^{(k-1)}$ とおき（$k=1$ なら $E=\emptyset$）、
$$ C:=\varphi_k^{-1}(\overline{B}_2)\cap\bigcup_{i\in I_k}\varphi_i^{-1}(\overline{B}_{t_i}) $$
とおく。$C$ はコンパクト集合の有限和とコンパクト集合の共通部分なのでコンパクトで、$C\subset U_k\cap E$ である。$A:=\varphi_k(U_k\cap E)\subset B_3$ は開集合であり、$A$ の上の族
$$ \beta':=\bigl\{\bigl(\varphi_k(U_k\cap D_i^{(k-1)}),\ \chi_i\circ\varphi_k^{-1}\bigr)\bigm| i< k\bigr\} $$
を考える。$\chi_i\circ\varphi_k^{-1}$ は $\alpha$ の 2 つの座標近傍の座標変換なので $C^r$ 微分同相写像であり、$\beta'$ の 2 つの座標近傍の座標変換は $\chi_j\circ\chi_i^{-1}$ なので (b) により $C^\infty$ 級である。よって $\beta'$ は lem-smcr-relative の仮定を満たす。
段 3（恒等写像を少し動かす）． lem-smcr-relative を $A$、$\beta'$、$K:=\varphi_k(C)$、$O:=\emptyset$、$f:=\mathrm{id}_A$、$\varepsilon:=\frac12$ に使い、$C^r$ 級写像 $\tilde f\colon A\to\mathbb{R}^n$、コンパクト集合 $L\subset A$、開集合 $N\supset\varphi_k(C)$ を得る。$g\colon B_3\to\mathbb{R}^n$ を、$A$ の上で $\tilde f$、$B_3\setminus L$ の上で恒等写像と定める（$A=\emptyset$ なら $g:=\mathrm{id}$）。両者は $A\setminus L$ で一致し、$A$ と $B_3\setminus L$ は $B_3$ を覆う開集合なので、$g$ は $C^r$ 級で、$B_3$ の上で $\|Dg-I\|<\frac12$ である。$B_3$ は凸なので、lem-smcr-near-identity の 1 により $g$ は $B_3$ から開集合 $g(B_3)$ への $C^r$ 微分同相写像である。
$$ D_k^{(k)}:=\varphi_k^{-1}(B_2),\qquad\chi_k:=g\circ\varphi_k|_{D_k^{(k)}} $$
とおく。$\chi_k$ は $\alpha$ の座標近傍と $C^r$ 微分同相写像の合成なので、$\alpha$ の座標近傍である。
段 4（主張の確かめ）． (a)(c) は作り方から成り立つ。(b) のうち $i,j< k$ の場合は、$k-1$ での (b) を小さな集合に制限したものである。$i< k$、$j=k$ とする。$i\notin I_k$ なら $D_i^{(k)}\cap D_k^{(k)}\subset U_i\cap U_k=\emptyset$ である。$i\in I_k$ なら $D_i^{(k)}\cap D_k^{(k)}\subset C$ であり、その点 $q$ で
$$ \chi_k\circ\chi_i^{-1}=g\circ(\chi_i\circ\varphi_k^{-1})^{-1} $$
は、$g=\tilde f$ の $\beta'$ の座標近傍 $\chi_i\circ\varphi_k^{-1}$ による局所表示であり、$\varphi_k(q)\in\varphi_k(C)\subset N$ なので $C^\infty$ 級である。逆向きの $\chi_i\circ\chi_k^{-1}$ は、この $C^\infty$ 級写像の逆写像で、この写像は $C^r$ 微分同相写像なので微分がいたるところ正則であり、逆関数定理の記事の定理「逆関数定理」の 3 により $C^\infty$ 級である。
極限． (c) により、$D_i^{(k)}$ が変わるのは $\overline{U_k}\cap\overline{U_i}\ne\emptyset$ となる $k$ だけで、有限回である。最後に変わった後の集合を $D_i$ とおく。(a) により $D_i\supset W_i$ で、$W_i$ は $M$ を覆うので、$\beta_0:=\{(D_i,\chi_i)\}_{i\ge1}$ は $M$ のアトラスである。$i< j$ について、$D_i\cap D_j\subset D_i^{(k)}\cap D_j^{(k)}$（$k$ を十分大きくとる）なので、(b) により座標変換は $C^\infty$ 級である。よって $\beta_0$ は $C^\infty$ アトラスで、各座標近傍は $\alpha$ に属する。
$\beta:=\mathcal{M}_\infty(\beta_0)$ とおく。$(U,\varphi)\in\beta$ は $\beta_0$ と $C^\infty$ 級、したがって $C^r$ 級で両立するので $\mathcal{M}_r(\beta_0)$ に属し、$\beta_0\subset\alpha$ より $\mathcal{M}_r(\beta_0)=\alpha$ である。よって $\beta\subset\alpha$ であり、$\beta$ が求める $C^\infty$ 構造である。$\square$

$n=\dim M$ とし、$M$ に距離 $d$ を 1 つ固定する（位相多様体の記事の定理「多様体の分離公理・距離化・パラコンパクト性」）。$\beta_1,\beta_2\subset\alpha$ なので、$\beta_1$ の座標近傍と $\beta_2$ の座標近傍の座標変換は $C^r$ 級である。
段 0（座標近傍の選択）． lem-smcr-charts を $(M,\beta_2)$ と $\mathcal{O}=\{M\}$ に使い、$\beta_2$ の座標近傍 $(V_m,\chi_m)$ で、$\overline{V_m}$ がコンパクト、$\{V_m\}$ が局所有限なものをとる。次に lem-smcr-charts を $(M,\beta_1)$ と $\mathcal{O}=\{V_m\}$ に使い、$\beta_1$ の座標近傍 $(U_k,\varphi_k)$ で、$\varphi_k(U_k)=B_3$、$\overline{U_k}$ はコンパクトで $V_{m(k)}$ に含まれ、$\{U_k\}$ は局所有限、$W_k=\varphi_k^{-1}(B_1)$ が $M$ を覆うものをとる。$(V_k',\chi_k'):=(V_{m(k)},\chi_{m(k)})$ とおく。各 $m$ について、$\overline{V_m}$ と交わる $U_k$ は有限個なので $m(k)=m$ となる $k$ は有限個であり、$\{V_k'\}$ も局所有限である。
帰納法の主張． $F_0:=\mathrm{id}_M$ から始めて、$M$ から $M$ への $C^r$ 微分同相写像（$\alpha$ に関して）$F_1,F_2,\dots$ と開集合 $E_0:=\emptyset\subset E_1\subset E_2\subset\cdots$ で、次を満たすものを作る。

• (a) $F_k$ は $E_k$ の上で $(M,\beta_1)\to(M,\beta_2)$ として $C^\infty$ 級であり、$E_k\supset\overline{W_1}\cup\dots\cup\overline{W_k}$ である。
• (b) コンパクト集合 $L_k\subset B_3$ があり、$M\setminus\varphi_k^{-1}(L_k)$ の上で $F_k=F_{k-1}$ である。また $F_k=\Psi_k\circ F_{k-1}$ で、$\Psi_k$ は $M$ の $C^r$ 微分同相写像であり、コンパクト集合 $F_{k-1}(\varphi_k^{-1}(L_k))\subset V_k'$ の外で恒等写像である。
• (c) すべての $j$ について $F_k(\overline{U_j})\subset V_j'$ である。
  $F_0$ は (c) を満たす（$\overline{U_j}\subset V_j'$）。

段 1（座標で見る）． $F_{k-1}$ まで作ったとし、$(U,\varphi):=(U_k,\varphi_k)$、$(V,\chi):=(V_k',\chi_k')$ とおく。(c) により $F_{k-1}(\overline{U})\subset V$ なので、
$$ G:=\chi\circ F_{k-1}\circ\varphi^{-1}\colon B_3\to\chi(V)\subset\mathbb{R}^n $$
が定まる。$G$ は $C^r$ 級で、$B_3$ から開集合 $G(B_3)$ への $C^r$ 微分同相写像であり、$\varphi\in\beta_1$、$\chi\in\beta_2$ なので、$G$ は開集合 $O':=\varphi(U\cap E_{k-1})$ の上で（通常の意味で）$C^\infty$ 級である。
段 2（精度の選択）． $c:=\sup_{x\in\overline{B}_{5/2}}\|DG(x)^{-1}\|$ は有限である。コンパクト集合 $G(\overline{B}_{5/2})$ は開集合 $\chi(V)$ に含まれるので、$\delta'>0$ を、$Q':=\{z\mid\operatorname{dist}(z,G(\overline{B}_{5/2}))\le\delta'\}\subset\chi(V)$ となるようにとる。$\overline{U_j}\cap\overline{U}\ne\emptyset$ となる $j$ は有限個で、そのような $j$ について $F_{k-1}(\overline{U_j})$ はコンパクトで開集合 $V_j'$ に含まれるので、$\eta>0$ を、これらの $j$ すべてについて $F_{k-1}(\overline{U_j})$ の $\eta$ 近傍（距離 $d$ で）が $V_j'$ に含まれるようにとる。$\chi^{-1}$ はコンパクト集合 $Q'$ の上で一様連続なので、$\delta''\in(0,\delta']$ を、$z,z'\in Q'$、$\lvert z-z'\rvert<\delta''$ なら $d(\chi^{-1}(z),\chi^{-1}(z'))<\eta$ となるようにとる。$\varepsilon:=\min\{\frac1{2c},\delta''\}$ とおく。
段 3（近似）． lem-smcr-relative を、$A:=B_{5/2}$、$\beta:=\{(B_{5/2},\mathrm{id})\}$（通常の滑らかさ）、$K:=\overline{B}_1$、$O:=O'\cap B_{5/2}$、$f:=G|_{B_{5/2}}$、$\varepsilon$ に使い、$\tilde G\colon B_{5/2}\to\mathbb{R}^n$、コンパクト集合 $L:=L_k\subset B_{5/2}$、開集合 $N\supset\overline{B}_1$ を得る。$\tilde G$ を $B_3\setminus L$ の上で $G$ と定めて $B_3$ 全体に延ばす（$C^r$ 級）。$\tilde G$ は $N\cup O'$ の上で $C^\infty$ 級で、$\lvert\tilde G-G\rvert<\varepsilon$、$\|D\tilde G-DG\|<\varepsilon$ である。
段 4（微分同相写像 $\Theta$）． $\Theta\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ を、$G(B_3)$ の上で $\tilde G\circ G^{-1}$、その外で恒等写像と定める。$G(B_3)\setminus G(L)$ の上で $\Theta=\mathrm{id}$ であり、$G(L)$ はコンパクトなので、$\Theta$ は $C^r$ 級で $\{\Theta\ne\mathrm{id}\}$ の閉包は $G(L)$ に含まれる。$G(B_3)$ の上で
$$ D\Theta-I=\bigl((D\tilde G-DG)\,(DG)^{-1}\bigr)\circ G^{-1} $$
であり、$G^{-1}(z)\in L\subset\overline{B}_{5/2}$ の点以外では左辺は $0$ なので、$\|D\Theta-I\|\le\varepsilon c\le\frac12$ である。lem-smcr-near-identity の 2 により、$\Theta$ は $\mathbb{R}^n$ の $C^r$ 微分同相写像で、$\chi(V)\supset G(L)$ を自分自身に写す。さらに $z\in G(L)$ なら $\lvert\Theta(z)-z\rvert=\lvert\tilde G(x)-G(x)\rvert<\varepsilon$（$z=G(x)$）なので、$z,\Theta(z)\in Q'$ である。
段 5（$F_k$ の定義）． $\Psi_k\colon M\to M$ を、$V$ の上で $\chi^{-1}\circ\Theta\circ\chi$、$V$ の外で恒等写像と定める。$\Psi_k$ はコンパクト集合 $\chi^{-1}(G(L))=F_{k-1}(\varphi^{-1}(L))$ の外で恒等写像なので、$M$ の $C^r$ 微分同相写像である（逆写像は $\Theta^{-1}$ から同じように作る）。$F_k:=\Psi_k\circ F_{k-1}$ とおく。$\Theta\circ G=\tilde G$ なので、$U$ の上で
$$ F_k=\chi^{-1}\circ\tilde G\circ\varphi $$
である。$F_k(x)\ne F_{k-1}(x)$ なら $F_{k-1}(x)\in F_{k-1}(\varphi^{-1}(L))$、すなわち $x\in\varphi^{-1}(L)$ なので (b) が成り立つ。
段 6（主張の確かめ）． (a)：$U$ の上で $F_k=\chi^{-1}\circ\tilde G\circ\varphi$ は $\varphi^{-1}(N\cup O')$ の上で $C^\infty$ 級である。$E_{k-1}$ の点 $x$ で $x\notin U$ なら、$x$ は閉集合 $\varphi^{-1}(L)$ の外にあり、その近傍で $F_k=F_{k-1}$ は $C^\infty$ 級である。よって $E_k:=E_{k-1}\cup\varphi^{-1}(N)$ の上で $F_k$ は $C^\infty$ 級で、$\varphi^{-1}(N)\supset\varphi^{-1}(\overline{B}_1)=\overline{W_k}$ である。(c)：$F_k(\overline{U_j})\ne F_{k-1}(\overline{U_j})$ となりうるのは $\overline{U_j}\cap\varphi^{-1}(L)\ne\emptyset$ の $j$ だけで、段 2 の有限個の $j$ に含まれる。$\Psi_k$ は各点 $y=\chi^{-1}(z)$（$z\in G(L)$）を $d(\Psi_k(y),y)<\eta$ の範囲でしか動かさない（段 2・段 4）ので、$F_k(\overline{U_j})$ は $F_{k-1}(\overline{U_j})$ の $\eta$ 近傍に含まれ、$V_j'$ に含まれる。
極限． $\{U_k\}$ は局所有限なので、各点 $x$ は、有限個の $U_k$ としか交わらない近傍 $P_x$ をもつ。(b) により $k$ がそれより大きければ $P_x$ の上で $F_k=F_{k-1}$ なので、$P_x$ の上で $F_k$ はある番号 $k(x)$ 以降一定である。これを $F$ と書く。

• $F$ は $C^\infty$ 級：$x\in\overline{W_j}$ となる $j$ をとり、$k\ge\max\{j,k(x)\}$ とすると、$x$ の近傍 $P_x\cap E_k$ の上で $F=F_k$ は $C^\infty$ 級である（(a)）。$F=F_k$ は局所的に $C^r$ 微分同相写像なので微分は正則であり、$F$ は各点で局所微分同相写像である（微分同相写像の記事の命題「局所微分同相の判定」）。
• $F$ は単射：$F(x)=F(y)$ なら、$k\ge\max\{k(x),k(y)\}$ について $F_k(x)=F_k(y)$ で、$F_k$ は単射なので $x=y$ である。
• $F$ は全射：$y\in M$ をとる。(b) により $F_k^{-1}(y)\ne F_{k-1}^{-1}(y)$ となるのは $\Psi_k^{-1}(y)\ne y$、とくに $y\in V_k'$ の場合だけで、$\{V_k'\}$ は局所有限なのでそのような $k$ は有限個である。よってある番号以降 $F_k^{-1}(y)=x$ は一定で、$k\ge k(x)$ もとれば $F(x)=F_k(x)=y$ である。
  $F$ は全単射な局所微分同相写像なので、微分同相写像の記事の定理「全単射な局所微分同相は微分同相」により $C^\infty$ 微分同相写像 $(M,\beta_1)\to(M,\beta_2)$ である。$\square$