Cartan–Hadamardの定理

測地線の持ち上げ。 $\tilde x\in\tilde M$ と、$\gamma(0)=\phi(\tilde x)$ となる $M$ の測地線 $\gamma\colon\mathbb{R}\to M$ をとる。$\tilde v:=(d\phi_{\tilde x})^{-1}\dot\gamma(0)$ を初速度とする $\tilde M$ の測地線 $\tilde\gamma$ は、$\tilde M$ の完備性により $\mathbb{R}$ 全体で定義される。$\phi\circ\tilde\gamma$ は測地線で、$\gamma$ と初期値が一致するので、測地線の一意性により $\phi\circ\tilde\gamma=\gamma$ である。$\tilde\gamma$ を $\tilde x$ を始点とする $\gamma$ の持ち上げとよぶ。
全射。 $\tilde x\in\tilde M$、$p:=\phi(\tilde x)$ とし、$q\in M$ を任意にとる。Hopf–Rinowの定理 により $p$ と $q$ を結ぶ速さ $1$ の測地線 $\gamma$ で $\gamma(d(p,q))=q$ となるものがある。その持ち上げ $\tilde\gamma$ について $\phi(\tilde\gamma(d(p,q)))=q$ である。
均等に被覆される近傍。 $p\in M$ を固定する。$d(\exp_p)_0$ は恒等写像なので、逆関数定理 により、ある $\varepsilon>0$ について $\exp_p$ は $B_\varepsilon(0)$ の上で単射な局所微分同相である。$M$ は完備なので、任意の $q\in B_\varepsilon(p)$ は $p$ と長さ $d(p,q)<\varepsilon$ の測地線 $t\mapsto\exp_p(tv)$（$0\le t\le1$、$\|v\|=d(p,q)$）で結ばれる。よって $U:=B_\varepsilon(p)=\exp_p(B_\varepsilon(0))$ である（逆の包含は、$\exp_p(v)$ が長さ $\|v\|$ の測地線で $p$ と結ばれることによる）。$\phi^{-1}(p)=\{\tilde p_\alpha\}_{\alpha\in A}$ と書き、$\tilde U_\alpha:=B_\varepsilon(\tilde p_\alpha)\subset\tilde M$ とおく。$\tilde M$ も完備なので、同じ理由で $\tilde U_\alpha=\exp_{\tilde p_\alpha}(B_\varepsilon(0))$ である。
(a) $\phi^{-1}(U)=\bigcup_\alpha\tilde U_\alpha$。$\phi$ は曲線の長さを保つので $d(\phi(\tilde x),\phi(\tilde y))\le d(\tilde x,\tilde y)$ であり、$\phi(\tilde U_\alpha)\subset U$ である。逆に $\phi(\tilde q)\in U$ とし、$q:=\phi(\tilde q)$ から $p$ への長さ $r< \varepsilon$ の測地線の、$\tilde q$ を始点とする持ち上げをとる。その終点は $\phi^{-1}(p)$ の点 $\tilde p_\alpha$ であり、長さ $r$ の曲線で $\tilde q$ と結ばれるので $\tilde q\in\tilde U_\alpha$ である。
(b) $\phi|_{\tilde U_\alpha}\colon\tilde U_\alpha\to U$ は微分同相写像である。測地線は測地線に写るので $\phi\circ\exp_{\tilde p_\alpha}=\exp_p\circ d\phi_{\tilde p_\alpha}$ が $T_{\tilde p_\alpha}\tilde M$ 全体で成り立つ。$d\phi_{\tilde p_\alpha}$ は $B_\varepsilon(0)$ を $B_\varepsilon(0)$ に写す線形等長写像なので、右辺は $B_\varepsilon(0)$ の上で単射で、像は $U$ である。よって $\exp_{\tilde p_\alpha}$ は $B_\varepsilon(0)$ の上で単射であり、$\phi$ は $\tilde U_\alpha=\exp_{\tilde p_\alpha}(B_\varepsilon(0))$ から $U$ への全単射である。全単射な局所微分同相写像なので微分同相写像である。
(c) $\alpha\neq\beta$ なら $\tilde U_\alpha\cap\tilde U_\beta=\emptyset$。三角不等式により $d(\tilde p_\alpha,\tilde p_\beta)\ge2\varepsilon$ を示せばよい。そうでないとし、$\tilde p_\alpha$ と $\tilde p_\beta$ を結ぶ長さ $\ell:=d(\tilde p_\alpha,\tilde p_\beta)$ の速さ $1$ の測地線 $\tilde\sigma\colon[0,\ell]\to\tilde M$ をとる（Hopf–Rinow の定理）。$0<\ell<2\varepsilon$ である。$\sigma:=\phi\circ\tilde\sigma$ は $p$ から $p$ への速さ $1$ の測地線である。$s\in[0,\ell/2]$ について、$\sigma(s)=\exp_p(s\,\dot\sigma(0))$、$\sigma(\ell-s)=\exp_p(s\,w)$（$w:=-\dot\sigma(\ell)$）であり、$s=\ell/2$ では両者が同じ点 $\sigma(\ell/2)$ を与える。$\frac\ell2\dot\sigma(0)$ と $\frac\ell2w$ はどちらも $B_\varepsilon(0)$ に入るので、単射性から $\dot\sigma(0)=w$ である。すると $\sigma(\ell-s)=\sigma(s)$（$0\le s\le\ell/2$）となり、$s=\ell/2$ で微分すると $-\dot\sigma(\ell/2)=\dot\sigma(\ell/2)$、すなわち $\dot\sigma(\ell/2)=0$ となって、速さが $1$ であることに反する。
(a)–(c) と、$\tilde U_\alpha$ が連結な開集合であることから、$U$ は均等に被覆される。$p$ は任意だったので、$\phi$ は被覆写像である。$\square$

$\exp_p$ は局所微分同相なので、$\tilde g$ は各点で正定値であり、作り方から $\exp_p$ は局所等長写像である。$w\in T_pM$ とし、直線 $\ell_w(t):=tw$ を考える。$\exp_p\circ\ell_w$ は $M$ の測地線 $t\mapsto\exp_p(tw)$ であり、$\exp_p$ は各点の近くで等長写像なので、$\ell_w$ は各点の近くで $\tilde g$ の測地線、したがって $\tilde g$ の測地線である。$d(\exp_p)_0$ は恒等写像なので、$\ell_w$ の初速度は $T_0(T_pM)=T_pM$ の元として $w$ である。よって原点を始点とする $\tilde g$ の測地線はすべて $\mathbb{R}$ 全体で定義され、原点での指数写像は $T_0(T_pM)$ 全体で定義される。Hopf–Rinowの定理 の条件 3 から 1 への含意により、$(T_pM,\tilde g)$ は完備である。$\square$

1. 断面曲率が非正なので、共役点 の定理「非正曲率なら共役点はない」により、どの測地線に沿っても共役点はなく、$M$ は完備なので $\exp_p\colon T_pM\to M$ は臨界点をもたない局所微分同相写像である。lem-ch-pullback-complete により、$\tilde g=\exp_p^*g$ について $(T_pM,\tilde g)$ は完備で連結であり、$\exp_p$ は局所等長写像である。lem-ch-covering により $\exp_p$ は被覆写像である。
2. $T_pM$ は $\mathbb{R}^n$ に微分同相で単連結なので、1 の被覆写像 $\exp_p$ は $M$ の普遍被覆である。普遍被覆 の系「普遍被覆の一意性と特徴づけ」により、$M$ の任意の普遍被覆は $T_pM$ と被覆として同型であり、とくに $\mathbb{R}^n$ に同相である。滑らかな普遍被覆として比べれば、局所微分同相な同相写像なので微分同相である。
3. $M$ が単連結なら、恒等写像 $M\to M$ も普遍被覆なので、2 と同じ系により $\exp_p$ は同相写像であり、局所微分同相なので微分同相写像である。$q\in M$ と、$p$ から $q$ への測地線 $\gamma\colon[0,1]\to M$ をとると、$\gamma(t)=\exp_p(t\dot\gamma(0))$ であり $\exp_p(\dot\gamma(0))=q$ である。$\exp_p$ は単射なので $\dot\gamma(0)=\exp_p^{-1}(q)$ と決まり、$[0,1]$ でパラメータ付けた測地線は一つしかない。$\square$

1：ホモトピー群 の命題「被覆空間と$n$-単純性」により、被覆写像 $\exp_p\colon T_pM\to M$ は $2$ 次以上のホモトピー群の同型を誘導する。$T_pM\cong\mathbb{R}^n$ は可縮空間なので、そのホモトピー群は $0$ である。
2：$\pi_1(M)$ が有限群だとすると、被覆写像 の定理「基本群との関係」の 2 により、普遍被覆 $\exp_p$ のファイバーは有限集合である。$M$ の各点は、均等に被覆される開集合に含まれるコンパクトな近傍 $K$ をもち、$K$ の逆像は $K$ と同相な有限個の集合の和なのでコンパクトである。$M$ はそのような有限個の $K$ で覆えるので、$T_pM$ はコンパクト集合の有限個の和となりコンパクトになる。ところが $n\ge1$ なので $\mathbb{R}^n$ はコンパクトでない。よって $\pi_1(M)$ は無限群である。$M$ が単連結なら $\pi_1(M)$ は自明で有限なので、そのような計量は存在しない。$\square$