Conwayの円

$B(0,0)$、$C(4,0)$、$A(0,3)$ とする。$a=BC=4$、$b=CA=\sqrt{4^2+3^2}=5$、$c=AB=3$ で、$s=\dfrac{4+5+3}2=6$ である。面積は $\dfrac12\cdot4\cdot3=6$ なので、内接円の半径は $r=\dfrac{6}{s}=1$、内心は $I(1,1)$ である（$B$ での角が直角なので、2 本の辺 $BC$、$BA$ から距離 $1$ の点）。
(1) 頂点 $A$ から延ばす。辺 $BA$ を $A$ の先へ $a=4$ だけ延ばすと、$y$ 軸の上の点 $A_c(0,7)$ に着く。辺 $CA$ を $A$ の先へ延ばす向きは、$C$ から $A$ への向き $(-4,3)$ で、長さ $1$ にすると $\left(-\dfrac45,\dfrac35\right)$ である。これを $4$ 倍して $A$ に足すと
$$ A_b=(0,3)+4\left(-\frac45,\frac35\right)=\left(-\frac{16}5,\ \frac{27}5\right) $$
である。
(2) 頂点 $B$、$C$ から延ばす。$B$ からは $b=5$ だけ延ばして $B_a(-5,0)$（辺 $CB$ の延長）と $B_c(0,-5)$（辺 $AB$ の延長）、$C$ からは $c=3$ だけ延ばして $C_a(7,0)$（辺 $BC$ の延長）と
$$ C_b=(4,0)+3\left(\frac45,-\frac35\right)=\left(\frac{32}5,\ -\frac95\right) $$
（辺 $AC$ の延長）を得る。
(3) 内心 $I(1,1)$ からの距離の 2 乗を計算する。
$$ IA_c^2=(0-1)^2+(7-1)^2=1+36=37,\qquad IA_b^2=\left(-\frac{21}5\right)^2+\left(\frac{22}5\right)^2=\frac{441+484}{25}=37 $$
である。同じように $IB_a^2=36+1=37$、$IB_c^2=1+36=37$、$IC_a^2=36+1=37$、$IC_b^2=\left(\dfrac{27}5\right)^2+\left(-\dfrac{14}5\right)^2=\dfrac{729+196}{25}=37$ となる。6 点とも $I$ から距離 $\sqrt{37}$ のところにあり、$I$ を中心とする半径 $\sqrt{37}$ の円の上にある。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ とする。$a=14$、$b=CA=\sqrt{9^2+12^2}=15$、$c=AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$、$s=21$ である。面積は $\dfrac12\cdot14\cdot12=84$ なので $r=\dfrac{84}{21}=4$ で、内心は
$$ I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}=\frac{14(5,12)+15(0,0)+13(14,0)}{42}=\left(\frac{70+182}{42},\ \frac{168}{42}\right)=(6,4) $$
である（重みが向かい合う辺の長さになる内心の公式、三角形の内心と傍心）。
直線 $BC$（$x$ 軸）の上の 2 点は、$B$ から左へ $b=15$ 進んだ $B_a(-15,0)$ と、$C$ から右へ $c=13$ 進んだ $C_a(27,0)$ である。直線 $AB$ の上の 2 点は、$\overrightarrow{BA}$ の向きの長さ $1$ のベクトル $\left(\dfrac5{13},\dfrac{12}{13}\right)$ を使って
$$ A_c=A+14\left(\frac5{13},\frac{12}{13}\right)=\left(\frac{135}{13},\ \frac{324}{13}\right),\qquad B_c=B-15\left(\frac5{13},\frac{12}{13}\right)=\left(-\frac{75}{13},\ -\frac{180}{13}\right) $$
である。直線 $CA$ の上の 2 点は、$\overrightarrow{CA}$ の向きの長さ $1$ のベクトル $\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)$ を使って $A_b=A+14\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)=\left(-\dfrac{17}5,\dfrac{116}5\right)$、$C_b=C-13\left(-\dfrac35,\dfrac45\right)=\left(\dfrac{109}5,-\dfrac{52}5\right)$ である。
$I(6,4)$ からの距離の 2 乗は、たとえば $IB_a^2=21^2+4^2=457$、$IC_a^2=21^2+4^2=457$ で、残りの 4 点でも $457$ になる。$s^2+r^2=441+16=457$ である。

3 辺が $a=7$、$b=5$、$c=3$ の三角形を考える。余弦定理で $\cos A=\dfrac{5^2+3^2-7^2}{2\cdot5\cdot3}=\dfrac{-15}{30}=-\dfrac12$ なので $A=120^\circ$ の鈍角三角形である。$s=\dfrac{15}2$、面積は $\dfrac12\cdot5\cdot3\sin120^\circ=\dfrac{15\sqrt3}4$ で、$r=\dfrac{15\sqrt3}4\cdot\dfrac2{15}=\dfrac{\sqrt3}2$ である。thm-cnw-main により Conway の円の半径の 2 乗は
$$ r^2+s^2=\frac34+\frac{225}4=\frac{228}4=57 $$
である。座標でも確かめる。$B(0,0)$、$C(7,0)$ とおくと、$AB=3$、$AC=5$ から $A\left(\dfrac{33}{14},\dfrac{15\sqrt3}{14}\right)$、内心は $I=\dfrac{7A+5B+3C}{15}=\left(\dfrac52,\dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。$x$ 軸の上の 2 点は $B_a(-5,0)$、$C_a(10,0)$ で
$$ IB_a^2=\left(\frac{15}2\right)^2+\left(\frac{\sqrt3}2\right)^2=\frac{225+3}4=57,\qquad IC_a^2=\left(\frac{15}2\right)^2+\frac34=57 $$
となり、thm-cnw-main と一致する。直線 $BC$ の接点は $T_A$ で $BT_A=s-b=\dfrac52$、つまり $T_A=\left(\dfrac52,0\right)$ で、$B_a$ と $C_a$ のちょうど中点である（cor-cnw-chord）。

1. 3 辺 $4,5,3$（ex-cnw-start）：$s=6$、$(s-a)(s-b)(s-c)=2\cdot1\cdot3=6$ で、$R_C^2=36+\dfrac66=37$ である。
2. 3 辺 $14,15,13$（ex-cnw-def）：$s=21$、$(s-a)(s-b)(s-c)=7\cdot6\cdot8=336$ で、$R_C^2=441+\dfrac{336}{21}=441+16=457$ である。
3. 3 辺 $7,5,3$（ex-cnw-obtuse）：$s=\dfrac{15}2$、$(s-a)(s-b)(s-c)=\dfrac12\cdot\dfrac52\cdot\dfrac92=\dfrac{45}8$ で、$R_C^2=\dfrac{225}4+\dfrac{45}8\cdot\dfrac2{15}=\dfrac{225}4+\dfrac34=57$ である。
   どれも座標で計算した値と一致する。3 つの例では $\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}s=r^2$ が $s^2$ に比べて小さく（(2) では $16$ と $441$）、Conway の円の半径は $s$ より少しだけ大きい。

各頂点から、延長の側ではなく辺の側へ、向かい合う辺の長さだけ進んだ 6 点 $A_b'$、$A_c'$、$B_c'$、$B_a'$、$C_a'$、$C_b'$ をとる。たとえば $A_b'$ は $A$ から $C$ に向かって $a=14$ 進んだ点、$B_a'$ は $B$ から $C$ に向かって $b=15$ 進んだ点である（辺より長く進むときは、辺の先の延長に出る）。
$$ B_a'(15,0),\qquad C_a'(1,0),\qquad C_b'=C+13\left(-\frac35,\frac45\right)=\left(\frac{31}5,\ \frac{52}5\right),\qquad A_b'=A+14\left(\frac35,-\frac45\right)=\left(\frac{67}5,\ \frac45\right) $$
である。
$B_a'$、$C_a'$、$C_b'$ の 3 点を通る円を求める。$x$ 軸の上の 2 点 $(15,0)$、$(1,0)$ を通るので、中心は 2 点の垂直二等分線 $x=8$ の上にあり、中心を $(8,k)$ とおく。$C_b'$ までの距離の 2 乗と $(1,0)$ までの距離の 2 乗が等しいことから
$$ 7^2+k^2=\left(8-\frac{31}5\right)^2+\left(k-\frac{52}5\right)^2=\frac{81}{25}+k^2-\frac{104}5k+\frac{2704}{25} $$
で、整理すると $\dfrac{104}5k=\dfrac{2785}{25}-49=\dfrac{1560}{25}$、$k=3$ である。中心は $(8,3)$、半径の 2 乗は $49+9=58$ である。ところが $A_b'$ では
$$ \left(\frac{67}5-8\right)^2+\left(\frac45-3\right)^2=\left(\frac{27}5\right)^2+\left(\frac{11}5\right)^2=\frac{729+121}{25}=34\ne58 $$
なので、$A_b'$ はこの円の上にない。6 点は 1 つの円の上にない。
理由は接点からの距離にある。$A_b'$ は $A$ から $C$ の側へ $a$ 進んだ点で、$T_B$ は $A$ から $s-a$ のところにあるので、$A_b'T_B=\lvert a-(s-a)\rvert=\lvert 2a-s\rvert$ である。これは頂点ごとに $\lvert28-21\rvert=7$、$\lvert30-21\rvert=9$、$\lvert26-21\rvert=5$ と違い、6 点は $I$ から $\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$、$\sqrt{16+81}=\sqrt{97}$、$\sqrt{16+25}=\sqrt{41}$ の 3 つの同心円に 2 点ずつ分かれる（図 4 の破線）。

各頂点から、2 本の辺をどれも同じ長さ $5$ だけ頂点の先へ延ばした 6 点 $A_b''$、$A_c''$、$B_c''$、$B_a''$、$C_a''$、$C_b''$ をとる。
$$ B_a''(-5,0),\qquad C_a''(19,0),\qquad C_b''=C-5\left(-\frac35,\frac45\right)=(17,-4),\qquad A_b''=A+5\left(-\frac35,\frac45\right)=(2,16) $$
である。$B_a''$、$C_a''$、$C_b''$ を通る円の中心は $x=7$ の上にあり、中心を $(7,k)$ とおくと
$$ 12^2+k^2=10^2+(k+4)^2=k^2+8k+116 $$
から $8k=28$、$k=\dfrac72$ である。半径の 2 乗は $144+\dfrac{49}4=\dfrac{625}4$ である。$A_b''$ では
$$ (2-7)^2+\left(16-\frac72\right)^2=25+\frac{625}4=\frac{725}4\ne\frac{625}4 $$
なので、6 点は 1 つの円の上にない。
接点からの距離は、頂点 $A$ から延ばした点では $5+(s-a)=12$、$B$ からでは $5+(s-b)=11$、$C$ からでは $5+(s-c)=13$ で、頂点ごとに違う（図 5 の破線）。Conway の円では、延ばす長さ $a$ が接点までの長さ $s-a$ の違いをちょうど打ち消して、どの頂点でも $a+(s-a)=s$ になっていた。