Lefschetzの超平面定理
概要
Lefschetzの超平面定理（Lefschetz hyperplane theorem）とは、純 $n$ 次元の複素射影多様体 $V$ と、$V\setminus P$ が非特異となる超平面 $P$ について、超平面切断 $Y=V\cap P$ の包含が $i\le n-2$ で整係数のホモロジーとコホモロジーの同型を引き起こし、$i=n-1$ でホモロジーの全射とコホモロジーの単射を引き起こすという定理である。補集合 $V\setminus Y$ が $n$ 次元以下の CW 複体とホモトピー同値なアフィン多様体であることから従い、射影空間の超曲面のコホモロジーの計算に使われる。エタールコホモロジーでは Artin の消滅定理から同じ形が出る。
前提知識: 特異ホモロジー, 射影多様体, Lefschetz双対定理, Morse理論
Lefschetz の超平面定理（Lefschetz hyperplane theorem）は、射影多様体 $V$ の超平面切断 $Y=V\cap P$ が、次元の半分より下の次数で $V$ と同じホモロジー・コホモロジーをもつことを述べる定理である。$V\subset\mathbb P^N(\mathbb C)$ を純 $n$ 次元の射影多様体、$P$ を超平面とし、$V\setminus P$ が非特異であるとする。このとき包含 $Y\hookrightarrow V$ は、$i\le n-2$ で同型 $H_i(Y;\mathbb Z)\cong H_i(V;\mathbb Z)$ を引き起こし、$i=n-1$ で全射 $H_{n-1}(Y;\mathbb Z)\to H_{n-1}(V;\mathbb Z)$ を引き起こす（thm-lefschetz-hyperplane-main）。弱 Lefschetz 定理とも呼ばれる。
S. Lefschetz が 1924 年に示した。ここでは A. Andreotti と T. Frankel による Morse 理論を使う証明の筋に従う。その要は、超平面の補集合 $V\setminus Y$ がアフィン多様体であり、$n$ 次元以下の CW 複体とホモトピー同値になることである（thm-lefschetz-hyperplane-af）。同じ筋は、エタールコホモロジーでは Artinの消滅定理 を使って任意の代数閉体の上で働く（thm-lefschetz-hyperplane-etale）。
名前の似た Hard Lefschetz定理（Kähler 類の冪によるコホモロジーの同型）、Lefschetz不動点公式、Lefschetz双対定理 とは別の定理である。ただし Lefschetz双対定理 は証明の道具として使う。
設定
複素射影多様体とは、$\mathbb P^N(\mathbb C)$ の斉次多項式の共通零点として表される閉集合に、$\mathbb P^N(\mathbb C)$ の古典位相を入れたものをいう。既約成分がすべて複素 $n$ 次元のとき純 $n$ 次元という。超平面 $P\subset\mathbb P^N(\mathbb C)$ について $Y:=V\cap P$ を $V$ の超平面切断という。
超平面の補集合 $\mathbb P^N(\mathbb C)\setminus P$ は $\mathbb C^N$ と同一視でき（$P=\{x_0=0\}$ なら $x_i/x_0$ を座標にとる）、$U:=V\setminus Y$ はその中の多項式の共通零点、すなわち $\mathbb C^N$ のアフィン代数多様体になる。$U$ が非特異なら、$U$ は $\mathbb C^N$ の閉じた複素部分多様体である。$V\setminus P$ が非特異であるという仮定は、$P$ が $V$ の特異点をすべて含むという意味である。$V$ が非特異なら、どの超平面についても満たされる。
$d\ge1$ について、$d$ 次の単項式すべてを並べる写像 $v_d\colon\mathbb P^N\to\mathbb P^{M}$（$M=\binom{N+d}{d}-1$）は Veronese埋め込み であり、$\mathbb P^N$ の閉部分多様体を閉部分多様体に同相に移す。$d$ 次の斉次多項式 $f$ は $d$ 次の単項式の 1 次結合なので、$\{f=0\}=v_d^{-1}(P_f)$ となる超平面 $P_f$ がある。したがって $V\cap\{f=0\}$ は $v_d(V)$ の超平面切断と同相であり、以下の定理は超曲面による切断にも当てはまる。
Andreotti–Frankel の定理
$M\subset\mathbb C^N$ を複素 $n$ 次元の閉じた複素部分多様体とする（たとえば非特異なアフィン代数多様体）。このとき $M$ は $n$ 次元以下の CW 複体とホモトピー同値である。とくに $i>n$ で $H_i(M;\mathbb Z)=0$、$H^i(M;\mathbb Z)=0$ である。
Mil63 §7 の定理 7.1・7.2（p. 39。証明は pp. 39–41）にある。この記事では証明しない。点 $p\in\mathbb C^N$ を一般にとると、距離の 2 乗 $L_p(x)=|x-p|^2$ は $M$ 上の Morse 関数で、各 $M^a=L_p^{-1}([0,a])$ はコンパクトである。臨界点 $q$ での指数は、$p$ と $q$ を結ぶ線分上の焦点の個数に等しい。$M$ が複素部分多様体なので、法線上の焦点は $q$ について対称に対で現れ、全部で $2n$ 個以下だから、線分上には $n$ 個以下しかない。よって指数は $n$ 以下で、Morse 理論（Morse理論）により $M$ は $n$ 次元以下の胞体だけで作られる CW 複体とホモトピー同値になる。コホモロジーの主張は、胞体コホモロジーが $n$ を超える次数で消えることによる。
実次元が $2n$ の多様体のコホモロジーは一般には次数 $2n$ まで残る。複素部分多様体であることが、上界を半分の $n$ にしている。
主定理
$V\subset\mathbb P^N(\mathbb C)$ を純 $n$ 次元の複素射影多様体、$P$ を超平面で $V\setminus P$ が非特異なもの、$Y=V\cap P$ とし、$\iota\colon Y\hookrightarrow V$ を包含とする。このとき次が成り立つ。
- $i\le n-1$ で $H_i(V,Y;\mathbb Z)=0$、$H^i(V,Y;\mathbb Z)=0$ である。
- $\iota_*\colon H_i(Y;\mathbb Z)\to H_i(V;\mathbb Z)$ は $i\le n-2$ で同型、$i=n-1$ で全射である。
- $\iota^*\colon H^i(V;\mathbb Z)\to H^i(Y;\mathbb Z)$ は $i\le n-2$ で同型、$i=n-1$ で単射である。
1 のホモロジー。 $U:=V\setminus Y$ は向き付けられた実 $2n$ 次元の多様体である（複素多様体は複素構造から向きをもつ）。$U\subset\mathbb C^N$ の上の固有な関数 $\psi(x)=\lvert x\rvert^2$ は実代数的なので、半代数的な Sard の定理により臨界値は有限個である。臨界値より大きい $a$ をとると、$W:=\psi^{-1}([0,a])$ は境界 $\partial W=\psi^{-1}(a)$ をもつコンパクトな多様体で、$\psi$ の勾配の流れにより $U$ の変位レトラクトになる。また $N_b:=Y\cup\psi^{-1}([b,\infty))$（$b\ge a$）は $b\to\infty$ で $Y$ の基本近傍系をなし、同じ流れにより包含 $N_{b'}\hookrightarrow N_b$（$b< b'$）はホモトピー同値である。対 $(V,Y)$ は $Y$ が部分複体になるように三角形分割でき、$Y$ に変位レトラクトする正則近傍と $N_b$ を交互に入れ子にとって比べると $H_r(V,Y)\cong H_r(V,N_a)$ を得る。切除と、臨界点のない $\psi^{-1}([a,a+1])$ が $\partial W$ の襟になることから $H_r(V,N_a)\cong H_r(W,\partial W)$ である。$W$ に Lefschetz双対定理 を当て、$W\simeq U$ を使うと
$$
H_r(V,Y;\mathbb Z)\cong H^{2n-r}(U;\mathbb Z)
$$
を得る（Mil63 系 7.3 の証明、p. 41）。$U$ は $\mathbb C^N$ の非特異なアフィン代数多様体なので、thm-lefschetz-hyperplane-af により $2n-r>n$、すなわち $r\le n-1$ で右辺は $0$ である。
1 のコホモロジー。 対のコホモロジーとホモロジーの間の 普遍係数定理
$$
H^r(V,Y;\mathbb Z)\cong\operatorname{Hom}\bigl(H_r(V,Y;\mathbb Z),\mathbb Z\bigr)\oplus\operatorname{Ext}\bigl(H_{r-1}(V,Y;\mathbb Z),\mathbb Z\bigr)
$$
により、$r\le n-1$ では $H_r(V,Y)=H_{r-1}(V,Y)=0$ から $H^r(V,Y;\mathbb Z)=0$ である（$r=0$ では $H_{-1}=0$ とする）。
2. 対 $(V,Y)$ のホモロジー完全列 $H_{i+1}(V,Y)\to H_i(Y)\xrightarrow{\iota_*}H_i(V)\to H_i(V,Y)$ を使う。$i\le n-2$ なら両端が 1 により $0$ なので $\iota_*$ は同型である。$i=n-1$ なら右端が $0$ なので $\iota_*$ は全射である。
3. コホモロジー完全列 $H^i(V,Y)\to H^i(V)\xrightarrow{\iota^*}H^i(Y)\to H^{i+1}(V,Y)$ を使う。$i\le n-2$ なら両端が $0$ なので $\iota^*$ は同型、$i=n-1$ なら左端が $0$ なので $\iota^*$ は単射である。$\square$
ホモトピー群についても同じ形の主張が成り立ち、相対ホモトピー群 $\pi_i(V,Y)$ は $i\le n-1$ で消える（Mil63 定理 7.4、p. 41。この記事では証明しない）。とくに $n\ge3$ なら $\pi_1(Y)\cong\pi_1(V)$ であり、$n=2$ なら $\pi_1(Y)\to\pi_1(V)$ は全射である（$V,Y$ は連結とする）。
帰結と例
$X\subset\mathbb P^{n+1}(\mathbb C)$ を $d$ 次の斉次多項式 $f$ の零点集合（超曲面）とし、$n\ge1$ とする。$X$ は特異点をもってもよい。このとき
$$
H^i(X;\mathbb Z)\cong H^i(\mathbb P^{n+1}(\mathbb C);\mathbb Z)=\begin{cases}\mathbb Z&(i\text{ が偶数})\\0&(i\text{ が奇数})\end{cases}\qquad(0\le i\le n-1)
$$
であり、ホモロジーについても同様である。とくに $X$ は連結で、$n\ge2$ なら $H^1(X;\mathbb Z)=0$ である。
rem-lefschetz-hyperplane-veronese により、$X$ は $V:=v_d(\mathbb P^{n+1})\cong\mathbb P^{n+1}(\mathbb C)$ の超平面切断 $V\cap P_f$ と同相である。$V$ は非特異で純 $n+1$ 次元なので、$V\setminus P_f$ は非特異である。thm-lefschetz-hyperplane-main の 2・3 を次元 $n+1$ で使うと、$i\le(n+1)-2=n-1$ で $H^i(V)\to H^i(X)$ と $H_i(X)\to H_i(V)$ は同型である。$\mathbb P^{n+1}(\mathbb C)$ のコホモロジーは偶数次で $\mathbb Z$、奇数次で $0$ である（複素射影空間）。$i=0$ から $X$ は連結であり、$n\ge2$ なら $i=1$ も範囲に入る。$\square$
同じ議論とホモトピー群の主張から、$n\ge2$ なら超曲面 $X$ は単連結である。$X$ が非特異なら、$X$ は実 $2n$ 次元の向き付けられた閉多様体なので、Poincaré双対性 により $H^i(X)\cong H_{2n-i}(X)$ となり、$i\ge n+1$ のコホモロジーも決まる（ねじれの部分は普遍係数定理で確かめる）。超曲面のコホモロジーで次数によって変わりうるのは、中間次数 $H^n(X;\mathbb Z)$ だけである。
- $n=1$：平面 $\mathbb P^2(\mathbb C)$ の曲線 $\{f=0\}$ は、特異点や既約成分がいくつあっても連結である。cor-lefschetz-hyperplane-hypersurface の $i=0$ の場合である。たとえば $\{xy=0\}$ は 2 本の直線の和で、1 点で交わる。
- $n=2$：$\mathbb P^3(\mathbb C)$ の曲面は連結で、$H^1=0$ である。非特異な 2 次曲面 $\{xy=zw\}$ は $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ に同型で $H^2\cong\mathbb Z^2$ であり、中間次数 $H^2$ は $\mathbb P^3$ の $H^2\cong\mathbb Z$ より大きい。これは thm-lefschetz-hyperplane-main を $V=\mathbb P^3(\mathbb C)$（次元 $3$）に当てたときの $i=2$ の場合で、制限写像 $H^2(\mathbb P^3)\to H^2(X)$ は単射だが同型ではない。
- $n=3$：$\mathbb P^4(\mathbb C)$ の 5 次超曲面 $X$ では $H_2(X;\mathbb Z)\cong H_2(\mathbb P^4(\mathbb C);\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ であり、生成元は直線の類である。したがって $X$ 上の異なる 2 本の直線 $L,L'$ のサイクル $[L]-[L']$ はホモロジーで $0$ になる。それでも一般の $X$ では $L$ と $L'$ が代数的同値でないことが知られている（代数的同値）。
エタールコホモロジーでの形
$k$ を代数閉体、$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数、$\Lambda=\mathbb Z/\ell^\nu$ とする。$X\subset\mathbb P^N_k$ を純 $n$ 次元の閉部分スキーム、$H$ を超平面、$Y:=X\cap H$ とし、$U:=X\setminus Y$ が $k$ 上滑らかであるとする。このとき制限写像 $H^i(X,\Lambda)\to H^i(Y,\Lambda)$ は $i\le n-2$ で同型、$i=n-1$ で単射である。係数 $\mathbb Z_\ell$、$\mathbb Q_\ell$ の ℓ進コホモロジー についても同じことが成り立つ。
$j\colon U\hookrightarrow X$、$i\colon Y\hookrightarrow X$ を包含とする。$X$ のエタール層の列 $0\to j_!\Lambda\to\Lambda\to i_*\Lambda\to0$ は完全である（幾何学的点 $\bar x$ での茎は、$\bar x$ が $U$ の上なら $0\to\Lambda\to\Lambda\to0\to0$、$Y$ の上なら $0\to0\to\Lambda\to\Lambda\to0$ である）。$i_*$ は完全なので $H^q(X,i_*\Lambda)=H^q(Y,\Lambda)$ であり、$X$ は射影的、とくに固有なので $H^q(X,j_!\Lambda)=H^q_c(U,\Lambda)$ である（コンパクト台コホモロジー の節「層とℓ進コホモロジー」）。長完全列
$$
H^i_c(U,\Lambda)\to H^i(X,\Lambda)\to H^i(Y,\Lambda)\to H^{i+1}_c(U,\Lambda)
$$
を得る。$U$ は $\mathbb P^N_k\setminus H\cong\mathbb A^N_k$ の閉部分スキームなのでアフィンであり、$k$ 上滑らかで純 $n$ 次元である（空なら以下は自明）。Artinの消滅定理 の系「コンパクト台コホモロジーの消滅」を定数層 $\Lambda$ に当てると、$q< n$ で $H^q_c(U,\Lambda)=0$ である。$i\le n-2$ なら両端が $0$ なので同型、$i=n-1$ なら左端が $0$ なので単射である。
$\mathbb Z_\ell$ 係数については、$X$ と $Y$ は固有なので各 $H^i(X,\mathbb Z/\ell^\nu)$、$H^i(Y,\mathbb Z/\ell^\nu)$ は有限群であり（SGA4 XIV 系 1.2、p. 145）、各段の同型・単射は極限をとっても保たれる（単射は射影極限の左完全性による）。$\mathbb Q_\ell$ 係数はさらに $\mathbb Q_\ell$ とのテンソル積をとればよい（$\mathbb Q_\ell$ は $\mathbb Z_\ell$ 上平坦である）。$\square$
$k=\mathbb C$ で $X$ が多様体なら、比較定理（SGA4 XVI 定理 4.1）により $H^i(X,\Lambda)\cong H^i(X(\mathbb C);\Lambda)$ であり、thm-lefschetz-hyperplane-etale は thm-lefschetz-hyperplane-main の 3 を有限係数にしたものと一致する。エタール版の利点は、Morse 理論が使えない正標数の体の上でも成り立つことである。有限体上の多様体の ℓ 進コホモロジーを超平面切断へ帰納的に下ろす議論は、Deligne による Weil予想 の証明で使われた。
仮定を外したときの反例
各行は thm-lefschetz-hyperplane-main の仮定を 1 つだけ外している。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $Y$ が超平面切断 | $V=\mathbb P^1\times E$（$E$ は楕円曲線、Segre 埋め込みで射影多様体とみる）、$Y=\mathbb P^1\times\{e\}$ | $H^1(V)\to H^1(Y)$ が単射（$n=2$、$i=n-1$） |
| 同型の範囲 $i\le n-2$ | $V=\mathbb P^2(\mathbb C)$、$Y$ は非特異な 3 次曲線 | $H^1(V)\to H^1(Y)$ が同型（$n=2$、$i=n-1$） |
| $V\setminus P$ が非特異 | $V\subset\mathbb P^4(\mathbb C)$ を 1 点 $c$ で交わる 2 つの平面の和、$P$ は $c$ を通らない超平面 | $H^0(V)\to H^0(Y)$ が同型（$n=2$、$i=0$） |
詳細
1 行目：$V$ は非特異な射影曲面で、$Y$ も非特異な曲線、$V\setminus Y=\mathbb P^1\times(E\setminus\{e\})$ も非特異である。Künnethの公式 により $H^1(V;\mathbb Z)\cong H^1(E;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^2$ であり、$H^1(Y;\mathbb Z)=H^1(\mathbb P^1;\mathbb Z)=0$ なので、制限写像は単射でない。$Y$ はどの射影埋め込みでも超平面切断にならない。超平面切断なら $V\setminus Y$ はアフィン多様体になるが、$V\setminus Y$ はコンパクトな複素曲線 $\mathbb P^1\times\{e'\}$（$e'\ne e$）を含み、$\mathbb C^N$ の座標関数はその上で正則なので最大値の原理により定数になり、曲線が 1 点になってしまう。
2 行目：$Y=\{f=0\}$（$f$ は 3 次）は $v_3(\mathbb P^2)$ の超平面切断と同相で（rem-lefschetz-hyperplane-veronese）、$V$ は非特異である。非特異な平面 3 次曲線は種数 $1$ のコンパクト Riemann 面、すなわち 2 次元トーラスなので $H^1(Y;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^2$ であり、$H^1(\mathbb P^2;\mathbb Z)=0$ からは全射にならない。$i=n-1$ では単射までしか言えない。
3 行目：座標 $[x_0:\dots:x_4]$ で $A=\{x_3=x_4=0\}$、$B=\{x_0=x_1=0\}$ とおくと、$A\cap B=\{c\}$、$c=[0:0:1:0:0]$ である。$V=A\cup B$ は純 $2$ 次元で連結、$P=\{x_2=0\}$ は $c$ を通らない。$Y=(A\cap P)\sqcup(B\cap P)$ は交わらない 2 本の直線なので $H^0(Y;\mathbb Z)\cong\mathbb Z^2$、$H^0(V;\mathbb Z)\cong\mathbb Z$ であり、同型でない。$V\setminus P$ は $c$ で特異である（$c$ の近くで $V$ は 2 つの平面が 1 点で交わる形で、位相多様体ですらない。$c$ を除くと近傍が 2 つの成分に分かれる）。
関連項目
- 前提: 特異ホモロジー, 射影多様体, Lefschetz双対定理, Morse理論
- 道具: 普遍係数定理, Veronese埋め込み, Artinの消滅定理, コンパクト台コホモロジー
- 比較: Hard Lefschetz定理, Lefschetz不動点公式, Lefschetzファイブレーション
- 例: 複素射影空間, 代数的同値
- 発展: ℓ進コホモロジー, ℓ進層, Weil予想, 偏屈層
参考文献
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