de Rhamの定理

1：$\omega\in\Omega^p(M)$、$c\in C^\infty_{p+1}(M)$ に対し、定義と thm-de-rham-theorem-stokes により
$$ (\delta\mathcal{I}(\omega))(c)=\mathcal{I}(\omega)(\partial c)=\int_{\partial c}\omega=\int_cd\omega=\mathcal{I}(d\omega)(c) $$
である。よって $\mathcal{I}$ は閉形式を余輪体に、完全形式を余境界に移し、コホモロジーの写像を誘導する。
2：$F\circ\tilde\sigma$ は $F\circ\sigma$ の $C^\infty$ 級延長であり、$(F\circ\tilde\sigma)^*\omega=\tilde\sigma^*(F^*\omega)$ だから
$$ \mathcal{I}(F^*\omega)(\sigma)=\int_{\Delta^p}\tilde\sigma^*F^*\omega=\int_{\Delta^p}(F\circ\tilde\sigma)^*\omega=\mathcal{I}(\omega)(F\circ\sigma)=(F^\sharp\mathcal{I}(\omega))(\sigma) $$
である（$p=0$ でも両辺は $\omega(F(\sigma(\Delta^0)))$）。コホモロジーに移せば $\mathcal{I}_*\circ F^*=F^*\circ\mathcal{I}_*$ で、$F$ が微分同相写像なら $F^*$ は両辺で同型なので最後の主張が従う。
3：$U$ の $C^\infty$ 級特異単体は $M$ の単体でもあり、$\sigma^*(\omega|_U)=\sigma^*\omega$ である。$\square$

1：$\omega=d\eta$ なら thm-de-rham-theorem-stokes により $\int_c\omega=\int_{\partial c}\eta=0$ である。逆に $\mathcal{I}(\omega)$ が輪体の群 $Z_p=\ker\partial$ 上で $0$ なら、$\mathcal{I}(\omega)$ は像 $B_{p-1}:=\partial C^\infty_p(M)$ 上の準同型 $\psi_0$ により $\mathcal{I}(\omega)=\psi_0\circ\partial$ と書ける。$\mathbb{R}$ は可除群（入射的な $\mathbb{Z}$ 加群。入射加群）なので $\psi_0$ は $C^\infty_{p-1}(M)$ 上の準同型 $\psi$ に延長でき、$\mathcal{I}(\omega)=\psi\circ\partial=\delta\psi$ となる。すなわち $\mathcal{I}_*[\omega]=0$ であり、thm-de-rham-theorem-main の単射性から $[\omega]=0$ である（$p=0$ では $Z_0=C^\infty_0(M)$ なので仮定は $\omega=0$ を意味する）。
2：前半は thm-de-rham-theorem-main の全射性そのものである。後半：thm-de-rham-theorem-smooth-vs-continuous の鎖ホモトピー同値により $H_p(C^\infty_\bullet(M))\cong H_p(M;\mathbb{Z})$ であり、特異コホモロジー の記事の普遍係数定理の準同型 $h\colon H^p_\infty(M;\mathbb{R})\to\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_p(M;\mathbb{Z}),\mathbb{R})$ は $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{R})=0$（Ext関手）により同型である。よって $\lambda$ は余輪体 $\varphi$ で $\varphi(c)=\lambda([c])$（$c$ は輪体）となるものの類に対応し、前半の $\omega$ をとれば輪体 $c$ 上で $\int_c\omega=\varphi(c)+\psi(\partial c)=\lambda([c])$ である。$\square$

筋だけ記す（詳細は Lee12 Ch. 18）。$p\ge1$ では、$U$ は平行移動で原点に関して星型（星型領域）な開集合に移るので Poincaréの補題（de Rhamコホモロジー の記事のホモトピー不変性の系）により $H^p_{dR}(U)=0$ であり、他方 $U$ は可縮空間（$x_0\in U$ への直線ホモトピー）なので、特異コホモロジー の記事のホモトピー不変性と thm-de-rham-theorem-smooth-vs-continuous により $H^p_\infty(U;\mathbb{R})=0$ である。$p=0$ では、$U$ が連結なので $H^0_{dR}(U)$ は定数関数のなす $\mathbb{R}$ であり、$\delta\varphi=0$ なる $0$ 余鎖 $\varphi$ は線分（$C^\infty$ 級特異 $1$ 単体）で結ばれる 2 点で同じ値をとるので定数で、$H^0_\infty(U;\mathbb{R})=\mathbb{R}$ である。$\mathcal{I}_*$ は定数関数 $c$ を各点で値 $c$ をとる余鎖に移すので同型である。最後の主張は prop-de-rham-theorem-cochain-map の 2 から従う。$\square$

制限写像は複体の同型 $\Omega^\bullet(M)\cong\prod_j\Omega^\bullet(M_j)$（直積）を与える。$\Delta^p$ は連結なので各 $C^\infty$ 級特異単体の像はちょうど一つの $M_j$ に含まれ、$C^\infty_\bullet(M)=\bigoplus_jC^\infty_\bullet(M_j)$（直和）、したがって $C^\bullet_\infty(M;\mathbb{R})=\prod_jC^\bullet_\infty(M_j;\mathbb{R})$ である。コホモロジーは直積と可換で、prop-de-rham-theorem-cochain-map の 3 によりこれらの同一視のもとで $\mathcal{I}_*$ は同型 $(\mathcal{I}_*)_{M_j}$ の直積なので同型である（Lee12 Ch. 18）。$\square$

$d$ は開集合への制限と可換なので、写像は複体の射である。単射性：$U$ と $V$ の上で $0$ になる形式は $M=U\cup V$ 上で $0$ である。中央での完全性：合成が $0$ であることは明らかで、逆に $\alpha\in\Omega^p(U)$、$\beta\in\Omega^p(V)$ が $U\cap V$ 上で一致すれば、$U$ 上で $\alpha$、$V$ 上で $\beta$ に等しい形式 $\omega\in\Omega^p(M)$ が定まる（$C^\infty$ 級であることは局所的な性質である）。
全射性：開被覆 $\{U,V\}$ に従属する $C^\infty$ 級の 1の分割 $\{\rho_U,\rho_V\}$（$\operatorname{supp}\rho_U\subset U$、$\operatorname{supp}\rho_V\subset V$、$\rho_U+\rho_V=1$）をとる（Lee12 Ch. 2）。$\gamma\in\Omega^p(U\cap V)$ に対し、$U$ 上の形式 $\alpha$ を「$U\cap V$ 上では $\rho_V\gamma$、$U\setminus\operatorname{supp}\rho_V$ 上では $0$」で定める。この二つの開集合は $U$ を覆い、共通部分の上では $\rho_V\gamma=0$ なので二つの定義は一致し、$\alpha\in\Omega^p(U)$ が定まる。同様に $V$ 上の形式 $\beta$ を「$U\cap V$ 上では $-\rho_U\gamma$、$V\setminus\operatorname{supp}\rho_U$ 上では $0$」で定めると
$$ \alpha|_{U\cap V}-\beta|_{U\cap V}=\rho_V\gamma+\rho_U\gamma=\gamma $$
である。長完全列は余鎖複体の短完全列に対する一般的な事実（蛇の補題、完全列）である。連結準同型は具体的には、閉形式 $\gamma$ に対し上の $\alpha,\beta$ をとると $d\alpha$ と $d\beta$ は $U\cap V$ 上で一致するので貼り合って $M$ 上の閉 $(p+1)$ 形式 $\tilde\gamma$ を定め、$\delta[\gamma]=[\tilde\gamma]$ である。$\square$

1：まず鎖複体の列
$$ 0\to C^\infty_\bullet(U\cap V)\xrightarrow{\ c\mapsto(c,\,-c)\ }C^\infty_\bullet(U)\oplus C^\infty_\bullet(V)\xrightarrow{\ (a,b)\mapsto a+b\ }C^{U,V}_\bullet(M)\to0 $$
が完全であることを示す（$C^\infty_p(U)$ などは $C^\infty_p(M)$ の部分群とみなす）。第 1 の写像は明らかに単射で、合成は $0$ である。$a\in C^\infty_p(U)$、$b\in C^\infty_p(V)$ が $a+b=0$ を満たすとすると、$a=-b$ を単体の基底で書いたとき、係数が $0$ でない単体は像が $U$ にも $V$ にも含まれる（自由アーベル群における基底表示の一意性）。よって $a\in C^\infty_p(U\cap V)$ で、$(a,b)=(a,-a)$ は第 1 の写像の像に入る。第 2 の写像の全射性は $C^{U,V}_p(M)$ の定義そのものである。第 3 項は自由アーベル群なので、この短完全列は各次数で分裂し（分裂完全列）、加法的関手 $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{R})$ で短完全列に移る。二つの写像の双対は主張の $\varphi\mapsto(\varphi|_U,\varphi|_V)$ と $(\psi,\chi)\mapsto\psi|_{U\cap V}-\chi|_{U\cap V}$ であり、包含という鎖写像から誘導されるので $\delta$ と可換である。
2：$j$ が鎖ホモトピー同値であること（$C^\infty$ 級の小さい鎖の定理）は Lee12 Ch. 18 に譲る。連続の場合の証明（Hat02 2.21）は重心細分を繰り返して各単体を $U$ か $V$ に入る単体の和に鎖ホモトピックにするものであり、重心細分で現れる単体は元の単体とアフィン写像の合成なので、$C^\infty$ 級特異単体の範囲で同じ議論が通用する。$j$ の双対 $r$ は余鎖ホモトピー同値なのでコホモロジーの同型を誘導する。
3：$\omega\in\Omega^p(M)$ に対し、上の行を経由した像 $(\mathcal{I}(\omega|_U),\mathcal{I}(\omega|_V))$ と下の行を経由した像 $((r\mathcal{I}(\omega))|_U,(r\mathcal{I}(\omega))|_V)$ は prop-de-rham-theorem-cochain-map の 3 により一致する。第 2 の四角形の可換性 $\mathcal{I}(\alpha|_{U\cap V}-\beta|_{U\cap V})=\mathcal{I}(\alpha)|_{U\cap V}-\mathcal{I}(\beta)|_{U\cap V}$ も同じ理由と線型性から従う。余鎖複体の短完全列の射は、連結準同型と可換な長完全列の射を誘導する（蛇の補題の自然性）。$\square$

$M:=U\cup V$ とおき、prop-de-rham-theorem-mv-ladder の 3 の可換図式のうち、$p$ を固定した 5 項の部分を考える。上の行は
$$ H^{p-1}_{dR}(U)\oplus H^{p-1}_{dR}(V)\to H^{p-1}_{dR}(U\cap V)\to H^p_{dR}(M)\to H^p_{dR}(U)\oplus H^p_{dR}(V)\to H^p_{dR}(U\cap V) $$
であり、下の行は $H_\infty$ と $H^p(C^\bullet_{U,V}(M;\mathbb{R}))$ についての対応する列である（$p=0$ では左の 2 項を $0$ とする）。両方の行は完全で図式は可換であり、両端の 4 本の縦の写像は仮定により同型である。よって五項補題により中央の $r_*\circ\mathcal{I}_*\colon H^p_{dR}(M)\to H^p(C^\bullet_{U,V}(M;\mathbb{R}))$ は同型で、prop-de-rham-theorem-mv-ladder の 2 により $r_*$ が同型なので、$\mathcal{I}_*\colon H^p_{dR}(M)\to H^p_\infty(M;\mathbb{R})$ は同型である。$\square$

$k$ に関する数学的帰納法による。$k=1$ なら主張は仮定そのものである。$k\ge2$ のとき $U:=U_1\cup\cdots\cup U_{k-1}$、$V:=U_k$ とおくと、$U$ は帰納法の仮定により de Rham 開集合であり、$U\cap V=\bigcup_{i< k}(U_i\cap U_k)$ は $k-1$ 個の開集合で覆われ、それらの部分族の共通部分は $U_k$ を含む $U_i$ たちの共通部分なので de Rham 開集合である。よって帰納法の仮定により $U\cap V$ も de Rham 開集合であり、lem-de-rham-theorem-mv-step により $M=U\cup V$ は de Rham 開集合である。$\square$

$M$ 上の $C^\infty$ 級の尽くし関数（exhaustion function）$f\colon M\to\mathbb{R}$、すなわち各 $c$ について $f^{-1}((-\infty,c])$ がコンパクトになる $C^\infty$ 級関数をとる（第 2 可算な多様体には存在する。Lee12 Ch. 2）。整数 $m$ に対し
$$ A_m:=f^{-1}([m,m+1]),\qquad A'_m:=f^{-1}\bigl((m-\tfrac12,\,m+\tfrac32)\bigr) $$
とおく。$A_m$ はコンパクトで $A'_m\supset A_m$ は開なので、$A'_m$ に含まれる有限個の $B_{m,1},\dots,B_{m,k_m}\in\mathcal{B}$ で $A_m$ を覆え、$U_m:=B_{m,1}\cup\cdots\cup B_{m,k_m}$ とおくと $A_m\subset U_m\subset A'_m$ である（$A_m=\emptyset$ なら $U_m:=\emptyset$）。$B_{m,i}$ たちの有限個の共通部分は仮定により de Rham 開集合なので、lem-de-rham-theorem-finite-cover により $U_m$ は de Rham 開集合である。
$|m-m'|\ge2$ なら区間 $(m-\frac12,m+\frac32)$ と $(m'-\frac12,m'+\frac32)$ は交わらないので $U_m\cap U_{m'}=\emptyset$ である。そこで $U:=\bigcup_{m\ \text{偶数}}U_m$、$V:=\bigcup_{m\ \text{奇数}}U_m$ とおくと、$U$ と $V$ はそれぞれ互いに交わらない de Rham 開集合の族の和なので、lem-de-rham-theorem-disjoint により de Rham 開集合であり、$M=\bigcup_mA_m$ なので $M=U\cup V$ である。
偶数 $m$ と奇数 $m'$ について $U_m\cap U_{m'}\ne\emptyset$ となるのは $|m-m'|=1$ のときに限るので、$W_m:=U_m\cap U_{m+1}$ とおくと $U\cap V=\bigcup_{m\in\mathbb{Z}}W_m$ である。$W_m\subset A'_m\cap A'_{m+1}=f^{-1}((m+\frac12,m+\frac32))$ で、これらの区間は $m$ が異なれば交わらないので $W_m$ たちは互いに交わらない。各 $W_m$ は有限個の開集合 $B_{m,i}\cap B_{m+1,j}$ の和であり、それらの有限個の共通部分は $\mathcal{B}$ の元の有限個の共通部分なので de Rham 開集合である。よって lem-de-rham-theorem-finite-cover により各 $W_m$ は de Rham 開集合（$W_m=\emptyset$ を含む）であり、lem-de-rham-theorem-disjoint により $U\cap V$ も de Rham 開集合である。以上により lem-de-rham-theorem-mv-step から $M=U\cup V$ は de Rham 開集合である。$\square$

thm-de-rham-theorem-main を示す。
第 1 段：$\mathbb{R}^n$ の任意の開集合 $W$ は de Rham 開集合である。実際、$W$ に含まれる開球の全体は $W$ の開基であり、開球の有限個の共通部分は空集合か凸開集合なので、lem-de-rham-theorem-convex により de Rham 開集合である。よって lem-de-rham-theorem-basis により $W$ は de Rham 開集合である。
第 2 段：一般の多様体 $M$。$\mathcal{B}$ を、$M$ のある局所座標近傍（チャートの定義域）$U_\alpha$ に含まれる開集合 $B$ 全体の族とすると、$\mathcal{B}$ は $M$ の開基である。チャート $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to\mathbb{R}^n$ は $B$ を $\mathbb{R}^n$ の開集合に微分同相に移すので、第 1 段と prop-de-rham-theorem-cochain-map の 2 により $B$ は de Rham 開集合である。$\mathcal{B}$ の有限個の元の共通部分は再び $\mathcal{B}$ の元なので、lem-de-rham-theorem-basis により $M$ は de Rham 開集合である。引き戻しとの可換性は prop-de-rham-theorem-cochain-map の 2 と thm-de-rham-theorem-smooth-vs-continuous で示した。$\square$

1：thm-de-rham-theorem-main により $H^p_{dR}(M)\cong H^p(M;\mathbb{R})$、$H^p_{dR}(N)\cong H^p(N;\mathbb{R})$ であり、特異コホモロジーはホモトピー同値で不変である（特異コホモロジー の記事のホモトピー不変性）。可微分構造を取り替えても下にある位相空間は同じなので最後の主張が従う。
2：コンパクト多様体は有限 CW複体とホモトピー同値なので（Hat02 Appendix A に譲る）$H_p(M;\mathbb{Z})$ は有限生成（有限生成加群）である。普遍係数定理により $H^p(M;\mathbb{R})\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}}(H_p(M;\mathbb{Z}),\mathbb{R})$（$\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(-,\mathbb{R})=0$）であり、その次元は $H_p(M;\mathbb{Z})$ の階数に等しい。$\square$